【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第09天 《一次函数》提升训练

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第09天：一次函数
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点，点，连接，则的最小值是（       ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】先求出点，点在直线和直线上运动，从而将求的最小值转化为求两条平行直线之间的距离，画出图象计算即可得出答案．
【详解】点的坐标为，
令得，即点在直线上运动，
点的坐标为，
令得，即点在直线上运动，
直线和直线平行，
的最小值即为这两条平行线之间的距离，
如图所示，设直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴、轴分别交于两点，则其各自的坐标为，
∴OC=OD，则∠CEG=∠OCD=45°，
过点作于点，则为等腰直角三角形，，
，
，得，即的最小值为．
故选：B．

【点评】本题属于一次函数与几何综合题，解题的关键是将两点的最小距离转化为两平行线之间的距离．
2．如图，直线经过点P（1，2），当时，则x的取值范围为（   ）


A．x＜1 B．x＜2 C．x＞1 D．x＞2
【答案】C
【解析】将P（1，2）代入y＝kx+b，可得k﹣2＝﹣b，再将（k﹣2）x+b＜0变形整理，得﹣bx+b＜0，求解即可．
【详解】解：由题意，将P（1，2）代入y＝kx+b（k≠0），
可得k+b＝2，即k﹣2＝﹣b，
整理（k﹣2）x+b＜0得，﹣bx+b＜0，即，
由图象可知b＞0，则，
，解得x＞1，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
3．一次函数与正比例函数（为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据a、a-1的取值，分别判断出两个函数图像所过的象限，要注意分类讨论．
【详解】解：A、若a>0，a-1>0，则y=ax+a-1经过一、二、三象限， 经过一、三象限，故本选项不符合题意；
B、若a>0，a-1<0，则y=ax+a-1经过一、三、四象限，经过二、四象限，故本选项不符合题意；
C、若a<0，a-1>0，则y=ax+a-1经过一、二、四象限，经过二、四象限，故本选项符合题意；
D、若a<0，a-1<0，则y=ax+a-1经过二、三、四象限，经过一、三象限故本选项不符合题意．
故选：C
【点评】本题主要考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数中和的几何意义是解答本题的关键.
4．已知一次函数（），如表示与的一些对应数值，则下列结论中错误的个数是（       ）

…

0
1
2
…

…
6
3
1

…

①随的增大而增大；②该函数的图象经过第一、二、三象限；③该函数的图象与轴的交点是；④关于的方程的解是．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】观察、分析表格中的所给数据，即可判断．
【详解】解：观察表格中数据可知，
随的增大而减小，故①错误；
点在第二象限，点在第一象限，点在第四象限，即该函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；
当时，，即该函数的图象与轴的交点是，故③错误；
当时，，即是关于的方程的解，故④错误；
综上，错误结论的个数是4，
故选D．
【点评】本题考查一次函数的性质，能够运用数形结合思想将一次函数图象与一元一次方程结合起来是解题的关键．
5．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（       ）
A．函数图象经过第一、二、四象限 B．图象与y轴的交点坐标为
C．y随x的增大而减小 D．图象与坐标轴调成三角形的而积为
【答案】B
【解析】根据一次函数系数特征与常数项可判断A，求函数与y轴的交点坐标可判断B，利用k符号可判断C，利用先求直线与两轴交点坐标，然后利用三角形面积公式可判断D即可．
【详解】解A．∵一次函数，k=-2＜0，b=1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，选项A正确，故不合题意；
B. 当x=0时，y=1，图象与y轴的交点坐标为（0，1），而不是（1，0），选项B不正确，故符合题意；
C. k=-2＜0，y随x的增大而减小，选项C正确，故不合题意；
D. 函数交y轴于（0，1），交x轴于（，0），图象与坐标轴调成三角形的面积为．
故选B．
【点评】本题考查一次函数选择，与两轴围成三角形面积，掌握一次函数的性质，和三角形面积公式是解题关键．
6．如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买x（千克）之间的函数图象如图所示，则一次性购买6千克这种水果比平均分2次购买可节省（       ）元．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设OA的解析式为，直线AB的解析为，求出两个解析式，然后计算出两种方式的花费，即可得到答案．
【详解】解：设OA的解析式为，直线AB的解析为，

由函数图像可知：，，
解得：，，
∴OA的解析式为，直线AB的解析为，
把代入中，得，
∴分2次购买的花费为元；
把代入中，得，
∴一次购买6千克的花费为28元．
∴一次购买比三次购买可节省元．
故选：C
【点评】题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
7．元旦期间，李华到市体育馆进行体有锻炼，锻炼一段时间后返回家中， 如图反映了这个过程中，李华离家的距离S（km）与时间t（h）之间的对应关系，根据图象，下列说法中：①体育馆与李华家之间的距离是6km；②李华在体育馆锻炼了2h；③李华从体育馆返回家中的平均速度是km/h；④李华离家4k m时的时间是h或h．其中正确的说法是（            ）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】①根据函数图像横、纵坐标表示的意义判断即可；
②根据函数图像横、纵坐标表示的意义判断即可；
③根据“速度=路程÷时间”列式计算即可；
④设李华离家4km时的时间为xh，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：由题意，体育馆和李华家之间的距离为6km，所以说法①正确；
李华在体育馆锻炼了：（h），所以说法②正确；
李华从体育馆返回家中的平均速度为：km/h，所以说法③不正确；
设李华离家4km时的时间为xh，则有：或，
解得： 或，即李华离家4k m时的时间是h或h，所以说法④正确．
所以正确的说法有：①②④．
故选：D
【点评】本题主要考查了利用函数的图像解决实际问题，正确理解题意、理解函数横、纵坐标的意义是解题关键．
8．一次函数y=-x-2m (m为常数〉图象上有两点A(，y1)、B(2，y2)，则y1与y2的大小关系是（       ）
A． y1＞ y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法确定
【答案】A
【解析】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】
y随x的增大而减小
图象上有两点A(，y1)、B(2，y2)，且

故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
9．已知，且，如果，那么的图象一定不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【解析】先由a+b+c=0可得a+c=-b，那么=-1，又由于b＞0，根据一次函数图象与系数的关系即可确定y=kx+b的图象经过的象限，进而求解即可．
【详解】解：∵a+b+c=0，
∴a+c=-b，
∴=-1＜0，
又∵b＞0，
∴y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：直线y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
10．函数y＝－3x＋1图象上有两点A（1，y₁），B（3，y₂），则y₁与y₂的大小关系是（       ）
A．y₁＞y₂ B．y₁＜y₂ C．y₁＝y₂ D．无法确定
【答案】A
【解析】由k=-3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1<3，可得出y1>y2．
【详解】解：∵k=-3<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（1，y1），B（3，y2）在一次函数y=-3x+1图象上，且1<3，
∴y1>y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
11．正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（        ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据一次函数自变量的系数为1，可判定一次函数的图象经过一、三象限，再对一次函数和正比例函数分类讨论，若 时，刚好符合题意的是C选项．
【详解】A选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，但图上经过二、四象限，不正确；
B选项，一次函数的图象错误，不正确；
C选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过一、三象限，正确；
D选项，若一次函数的图象正确，则，此时正比例函数图象经过二、四象限，但图上经过一、三象限，不正确；
故选C．
【点评】本题考查正比例函数和一次函数中、对图象的影响，熟练掌握、决定函数图象过的象限是解决本题的关键．
12．对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和△ABC，已知A（1，2），B（3，1），C（2，3），给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若△ABC中的任意一点Q（a，b）满足a≤x，b≤y，则称四边形PMON是△ABC的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点，例如P（4，5），P1（3，3）就是△ABC的某两个覆盖的特征点．若直线l：y =mx+5（m<0）的图象上存在△ABC覆盖的特征点，则m的取值范围是（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先找覆盖的特点，将特征点代入函数解析式，即可求得的值，结合函数图象即可求得范围
【详解】根据覆盖的定义， B（3，1），C（2，3）
当时，为覆盖的一个特征点，
在y =mx+5（m<0）的图象上存在△ABC覆盖的特征点，
在y =mx+5（m<0）的图象上，
当过时，解得
又
结合函数图形可知，
故选A
【点评】本题考查了新定义问题，一次函数的性质，找到覆盖特征点是解题的关键．
13．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（     ）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
【答案】D
【解析】求出A、B的坐标，分别求出横坐标是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的纵坐标，即可得出横坐标是1、2、3、4…时点的个数，再加上在两坐标轴上的点，即可得到答案．
【详解】解：当x＝0时，y＝﹣15，
∴B（0，﹣15），
当y＝0时，0x﹣15，
∴x＝12，
∴A（12，0），
x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点，
同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点
x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，通过做此题培养学生的理解能力和计算能力，本题题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
14．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（     ）

A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
【答案】B
【解析】根据定义轴上存在即可求得，根据题意联立即可求得的范围，结合定义所求范围即可求解
【详解】∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故选B
【点评】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
15．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．


则下列结论：
①A，B两城相距300千米；                         
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，或．
其中正确的结论有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可．
【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离，
∴①正确；
∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，
∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
∴②正确；
设，
∴300=5m，
解得m=60，
∴；
设，
∴
解得，
∴；
∴
解得t=2.5，
∴2.5-1=1.5，
∴乙车出发后1.5小时追上甲车；
∴③错误；
当乙未出发时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲后面时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲前面时，，
解得t=；
当乙到大目的地，甲自己行走时，，
解得t=；
∴④错误；
故选B．
【点评】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键．
二、填空题
16．己知一次函数：（a为常数），当时，，则a的取值范围是_________．
【答案】或
【解析】将变形可得，可知y2恒过定点（1,0），当时，即在第一象限，y1的函数图象在y2上方，结合函数图象作答即可．
【详解】解： 将变形可得，
可知当x=1时，无论a为何值，y2都等于0，
∴恒过定点（1,0），
当时，，即在第一象限，y1的函数图象在y2上方，
当x=0时，，即与y轴的交点B为：（0，1），
如下图， 当经过点B时，代入B（0,1）可得：1=-a，解得：a=-1，
让绕点A逆时针旋转至与x轴重合之前，此时在第一象限，y1的函数图象始终在y2上方，此时，

如下图， 当与平行时， a=2，
让绕点A顺时针旋转至与x轴重合之前，此时在第一象限，y1的函数图象始终在y2上方，此时，

综上，a的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了一次函数的图象与交点问题，注意数形结合思想的应用．
17．从A地向B地打长途电话，通话3分钟以内（含3分钟）收费2.4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收1元，某人一次通话5分钟应缴的话费是 _____元；如果有10元话费打一次电话最多可以通话 _____分钟．
【答案】     4.4     10
【解析】先列出收费用y与通话时间的函数关系式，根据题中给出的条件求出x所属范围，然后解答即可．
【详解】解：由题意可知所收费用y与通话时间的函数关系式为：y＝ （x为正整数），
当x＝5时，y＝2.4+（5﹣3）＝4.4元．
令y＝10，10＝2.4+（x﹣3），解得x＝10，
故答案为：4.4，10．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用和分段函数，解题的关键是解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
18．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为____________．

【答案】
【解析】先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为，即可求出直线l的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为（，0），求出直线CD的解析式为，则直线l与直线CD的交点坐标为（，），再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），
∴AC=7，
∴，
∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，
∴可设直线l的解析式为，
∴，
∴，
∴直线l的解析式为，
∴直线l与x轴的交点坐标为（，0）
∵点C坐标为（3，0），点D坐标为（0，3），
∴直线CD的解析式为，
∵当时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积
∴联立，
解得，
∴直线l与直线CD的交点坐标为（，），
∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
∴，
解得或（舍去），
∴直线l的解析式为 ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点在直线：上，点在直线：上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为__________．

【答案】或
【解析】如图，过点作轴，垂足为，过点作于点，证明，设，根据，列出二元一次方程组，解方程组求解即可．
【详解】如图，过点作轴，垂足为，过点作于点，

是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
,,






依题意，设，则,
,
，
解得
如图，当点在第二象限时，过点作轴，垂足为，过点作于点，

同理可得

则,
,
，
解得
或
或
故答案为：或
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解二元一次方程组，分类讨论是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，正方形OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，···的顶点B1，B2，B3，···在x轴上，顶点C1，C2，C3···在直线y=kx+b上，若正方形OA1B1C1，B1A2B2C2的对角线OB1=2，B1B2=3, 则点C5的纵坐标是_____．

【答案】（，）
【解析】利用正方形性质，求得C1、C2坐标，利用待定系数法求得函数关系式，再求C3坐标，根据C1、C2、C3坐标找出纵坐标规律，求得C5纵坐标，代入关系式，求得C5坐标即可.
【详解】如图：根据正方形性质可知：
OB1=2，B1B2=3
C1坐标为（1,1），C2坐标为（，）
将C1、C2坐标代入y=kx+b
解得：
所以该直线函数关系式为
设,则坐标为（1+2+a，a）
代入函数关系式为，
得：，解得：
则C3（，）
则C1（1,1），C2（，），C3（，）
找出规律：C4纵坐标为，C5纵坐标为
将C5纵坐标代入关系式，即可得：C5（，）

【点评】本题为图形规律与一次函数综合题，难度较大，熟练掌握正方形性质以及一次函数待定系数法为解题关键.
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B．过点B的直线y=-x+b与x轴交于点C．已知A（-4，0）、C（3，0），点D为x轴上一动点，将△ABD沿BD折叠得到△EBD，直线BE与x轴交于点F．

(1)求直线AB、BC的函数解析式；
(2)若点D在线段AO上，且△DEF与△BFC的面积相等，求线段BD的长；
(3)在点D的运动过程中，△DEF能否成为直角三角形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)直线AB解析式为：；直线AC解析式为：
(2)
(3)能；
【解析】（1）将C（3，0）代入直线BC解析式即可得到BC解析式，然后通过解析式求出点B的坐标，通过A、B两点的坐标即可求出直线AB的函数解析式；
（2）根据面积相等以及折叠的性质先证，然后用勾股定理先求出CD的值，再用勾股求出BD的值即可；
（3）分类讨论，分为、、三种情况，利用折叠的性质，直角三角形的性质依次求出对应的解即可，注意当时，点F共有两种情况，分别是点F在线段BE上和点F在直线EB的延长线上．
(1)
将C（3，0）代入直线BC解析式y=－x+b得，解得，
即直线BC的解析式为，
令，则，，
设直线AB的解析式为，
将A（－4，0）、代入得
，解得，
∴直线AB的解析式为；
(2)
，
，
即，
由折叠可得，
，
，
，
，
，
，
，，
，

(3)
分类讨论：
①当时，此时点F在线段BE上，且点F与点O重合，如图所示：

过点D作DG⊥AB，垂足为点G，如上图所示，
由折叠可知，即BD为∠ABE的角平分线，
，
由（2）可得，AB=5，OB=3，
设，则，
，
即，解得，
；
②当时，有两种情况：
Ⅰ）当点F在线段BE上时，如图所示：

∵，∴，
由折叠可得，
，
∴△OBD为等腰直角三角形，
，；
Ⅱ）当点F在直线EB的延长线上时，如图所示：

由折叠可得，
∴△OBD为等腰直角三角形，
，；
③当时，此时点F在EB的延长线上，且点F与O点重合，如图所示：

∵折叠，∴，，
设，则，
由折叠可得，则，
即，
，
解得，
∴，
综上，在点D的运动过程中，△DEF能成为直角三角形，此时点D的坐标为 ．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键．
22．在平面直角坐标系中，一次函数与（m为常数，且）的图象相交于点．
(1)当时，求点C的坐标；
(2)y与x的关系式记作函数F，函数F满足：当时，；当时，．
①若函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，求m的取值范围；
②在①的条件下，当时，y的最大值与最小值的差为，求m的值．
【答案】(1)（1，0）
(2)①m＞1；②．
【解析】（1）把代入两个解析式，把两个解析式联立方程组，解方程组即可；
（2）①把两个函数解析式联立方程组，可求出a、b的值，根据图象可知，当b>0时，函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，列不等式求解即可；②把代入，把代入，比较两个函数值大小，由①可知最大值为b，列出方程即可求解．
(1)
解：把代入两个解析式得，，，联立方程组得，
，解得；
则点C的坐标为（1，0）．
(2)
解：①把两个函数解析式联立方程组得，
解得；
画出函数图象如图，该函数的最高点为C点，坐标为（1，m-1）；
当m-1>0时，函数与x轴总有两个不同的交点，
解得m＞1；

②∵，且，所以，当时，把代入得，，把代入得，，
∵，
所以函数最小值为；
由①可知函数最大值为m-1，
则，
解得，；
当时，两个点都在直线上，因为y随x增大而减小，
所以最小值为，
同理可得．
【点评】本题考查了一次函数的综合，解题关键是熟练利用一次函数图象与性质，求出交点坐标，利用数形结合思想解题．
23．为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙口罩多5元，小丽从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元．
(1)求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元？
(2)根据消费者需求，药店决定用不超过10000元购进甲、乙两种口罩共500袋．已知甲口罩每袋的进价为23.4元，乙口罩每袋的进价为19元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少？
【答案】(1)甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元、20元；
(2)购进甲113，乙387袋时，药店获利最大，最大利润为567.8元．
【解析】（1）设该店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据“甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小明从该药店药购3袋甲种口罩和2袋乙种口罩共花费115元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设药店购进甲口罩m袋，总利润为w元，根据题意得到w与m的函数关系式，依据题意得到m的取值范围，最后根据函数的增减性确定最大利润即可．
(1)
解：设该药店甲口罩每袋的售价为x元，乙口罩每袋的售价为y元．
根据题意得，解得．     
答：该药店甲口罩每袋的售价为25元，乙口罩每袋的售价为20元；
(2)
设药店购进甲种口罩m袋，获利w元，根据题意得：，
解得，，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝113时，药店获利最大，最大利润为：（元）．
答：购进甲113，乙387袋时，药店获利最大，最大利润为567.8元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及根据各数量之间的关系，正确列出函数关系式，依据题意确定自变量取值范围是解题的关键．
24．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．

(1)求边AD的长；
(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
【答案】(1)AD＝6
(2)y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．
(3)梯形AEFD的面积为或32
【解析】（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，判定四边形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的长，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的长；
（2）首先确定PM＝PN，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，根据∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，从而得出y关于x的函数解析式，也能得出定义域；
（3）①当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面积；②当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面积．
(1)
解：过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，如图所示

∵梯形ABCD中，∠B＝90°，
∴DH∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∵∠C＝45°，
∴∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝AB＝8，
∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．
(2)
解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，
∴FG＝DG＝AE＝x，
∵EG＝AD＝6，
∴EF＝x+6，
∵PE＝PF，EF∥BC，
∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，如图所示

∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，
∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，
∵QR＝BE＝8﹣x，
∴，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．
(3)
解：当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，
∴（AD+EF）•AE＝，
当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，
∴（AD+EF）•AE＝．
【点评】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，综合性较强，对于此类题目，要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．
25．直线交y轴于点A，交x轴于点B，以为边在第一象限内作正方形，
(1)求顶点C、D的坐标；
(2)点P在x轴上，且的面积是正方形面积的一半，求点P坐标．
【答案】(1)点D的坐标为（2，3），点C的坐标为（3，1）；
(2)点P的坐标为（1，0）或（6，0）
【解析】（1）如图所示，过点D作DE⊥y轴于E，先求出点A、B的坐标从而得到OA=2，OB=1，然后证明△AED≌△BOA得到AE=OB=1，DE=OA=2，则OE=3，即可求出点D的坐标，同理即可求出点C的坐标；
（2）分两种情况：当点P与点B重合时，当点P是直线AC与x轴的交点时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：如图所示，过点D作DE⊥y轴于E，
∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAO=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO，
∵∠AED=∠BOA=90°，
∴△AED≌△BOA（AAS），
∴AE=OB=1，DE=OA=2，
∴OE=3，
∴点D的坐标为（2，3），
同理可求得点C的坐标为（3，1）；

(2)
解：如图所示，当点P与点B重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，即，
∴点的坐标为（1，0），
连接AC并延长交x轴于，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，CD=CB，
∴
又∵，
∴（SSS），
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴点的坐标为（6，0）；
综上所述，点P的坐标为（1，0）或（6，0）．

【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
26．为建设美丽乡村，改善农村生活环境，我区某村委会大力开展绿化行动，计划购买甲、乙两种树苗共400棵，甲种树苗每棵20元，乙种树苗每棵25元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．
(1)若购买这两种树苗共用去9250元，则甲、乙两种树苗各购买多少棵？
(2)若要使这批树苗的总成活率不低于93%，则甲种树苗至多购买多少棵？
(3)在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
【答案】(1)购买甲种树苗150棵，乙种树苗250棵
(2)购买甲种树苗至多购买160棵
(3)当购买甲种树苗160棵，乙种树苗240棵时，购买树苗的费用最低，最低费用为9200元
【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，由计划购买甲、乙两种树苗共400棵，购买这两种树苗共用去9250元，建立方程组，从而可得答案；
（2）设购买甲种树苗m棵，则乙种树苗棵，由甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．而这批树苗的总成活率不低于93%，再列不等式即可；
（3）设购买甲种树苗棵，则乙种树苗棵，购买树苗的费用为，再建立一次函数关系式，利用一次函数的性质即可作答．
(1)
解：设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
根据题意得：，
解得：，
答：购买甲种树苗150棵，乙种树苗250棵．
(2)
设购买甲种树苗m棵，则乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
答：购买甲种树苗至多购买160棵．
(3)
设购买甲种树苗棵，则乙种树苗棵，购买树苗的费用为，
根据题意得：
，
∵，
∴随的增大而减小，
由（2）可知，
∴当时，取得最小值，
其最小值为：（元），
∴（棵），
答：当购买甲种树苗160棵，乙种树苗240棵时，购买树苗的费用最低，最低费用为9200元．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系或不等关系建立方程或不等式或函数关系是解本题的关键．
27．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的电视机进行销售．知商店购进甲型电视机1台，乙型电视机2台，需要花费4700元．购进甲型电视机2台，乙型电视机1台，需要花费4900元．
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的电视机的单价分别为多少元？
(2)该商店购进甲、乙两种型号的电视机共60台，且购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍．甲型电视机的售价为2300元/台，乙型电视机的售价为2000元/台，全部卖出，问：应购进甲种型号的电视机多少台？才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是多少？
【答案】(1)甲型号的电视机的单价为1700元/台，乙型号的电视机单价为1500元/台
(2)甲种型号的电视机台时，最大利润为元
【解析】（1）设甲型号的电视机的单价为元/台，乙型号的电视机单价为元/台，根据题意列出关于的二元一次方程组，求解即可；
（2）设商店购进甲型号的电视机台，则购进乙型号的电视机台，总利润为，根据购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍得出的取值范围，然后根据总利润＝甲单台的利润×甲的数量＋乙单台的利润×乙的数量，然后根据一次函数的性质进行求解即可．
(1)
解：设甲型号的电视机的单价为元/台，乙型号的电视机单价为元/台，
则根据题意得：，
解得：，
答：甲型号的电视机的单价为1700元/台，乙型号的电视机单价为1500元/台；
(2)
设商店购进甲型号的电视机台，则购进乙型号的电视机台，总利润为，
根据题意可得：，
解得：，
总利润，
∵，
∴当时，最大利润元，
答：甲种型号的电视机台时，最大利润为元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的实际应用，读懂题意，根据题意列出相应的代数式是解本题的关键．
28．已知一次函数的图像经过点与．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)判断点是否在这个一次函数的图像上；
(3)直接写出关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解．
【答案】(1)这个一次函数的解析式为
(2)点C(,0)在这个一次函数的图像上
(3)
【解析】（1）把点(3,5)与(-4,-9)代入y=kx+b，得到 ，解得，得到一次函数的解析式为；
（2）当时，，推出点C(,0)在这个一次函数的图象上；
（3）根据点C(,0)在一次函数的图象上，得到一元一次方程kx＋b＝0的解为．
(1)
一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9)，
∴ ，
解得，
∴这个一次函数的解析式为；
(2)
当时，，
∴点C(,0)在这个一次函数的图象上；
(3)
∵点C(,0)在一次函数的图象上，
∴一元一次方程kx＋b＝0的解为：．
【点评】本题主要考查了一次函数，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数图象与点的位置关系，一次函数与一元一次方程的关系．