【暑假提升】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假-专题1.5《根与系数的关系》预习讲学案

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❊1.5 根与系数的关系
考点先知

知 识
考 点
根与系数的关系
1.利用根与系数的关系求根
2.利用韦达定理判断根的正负
3.利用韦达定理求代数式的值
4.根据代数式的值求参数的值
5.韦达定理在三角形中的应用

代根法
6.代根发与韦达定理的应用
7.构造方程求代数式的值
题型精析

知识点一 根与系数的关系


内容
根与系数的关系的推导
由求根公式可得：，，
1.；
2..
【注意】韦达定理的使用前提是△≥0.
题型一 利用韦达定理求方程的根

例1

已知关于x的方程有一个根为-2，则另一个根为（ ）
A．5
B．2
C．-1
D．-5
例2

已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值


变1
若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一根.


变2
若是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值.



题型二 利用韦达定理判断根的正负

例1

一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于5
D．有两个正根，且有一根大于4
例2

关于的方程为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根
B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根
D．无实数根
变1
关于的一元二次方程有（ ）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根
D．一个正数根和一个负数根
变2
关于的方程为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
例3

一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（ ）
A．a，c异号
B．a，c异号；a，b同号
C．a，c异号；b，c同号
D．b，c异号
变3
一元二次方程中，若，，，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大
D．有两个正的实数根
例4

若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

变4
若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点二 韦达定理与代数式


内容
代数式变形的目的
将代数式变形为含有与的形式，以便于能够利用韦达定理求代数式的值.
常见的代数式的变形
1.；
2.；
3.；
4.；
5.；
6.；
7.；
8..
题型三 利用韦达定理求代数式的值

例1

已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1）
（2）



（3）
（4）



（5）
（6）



（7）
（8）



变1
已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：
（1）
（2）



（3）
（4）



（5）




例2

一元二次方程x2+4x+1=0的两个根是x1，x2，则的值为______．（其中x2＞x1）
例3

已知方程，记两根为，求的值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．
变2
已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
变3
已知：m、n是方程的两根，则______．
变4
已知a、b是方程2x2+5x+1=0的两实数根，则式子的值为______．
题型四 根据代数式的值求参数的值

例1

已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则k的值为______．
【分析】该一元二次方程含有参数，所以务必要计算△.
【解答】
（注意：可以不用解出来）
∵
∴
将，代入得：
，解得，.
再将的值带入△，判断是否满足△≥0即可.
例2

已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，使得成立，则k的值______．






变1
已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为7，那么m的值是______．
【解答】_________________________（注意：可以不用解出来）
______；______；
由题意得：_____________________=7；
代入韦达定理得：_____________________=7；
解得：_________；
再将m的值代入△，满足△≥0即可得出正确答案.
变2
已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为______．
【解答】_________________________（注意：可以不用解出来）
______；______；
由题意得：_____________________=3；
代入韦达定理得：_____________________=3；
解得：_________；
再将m的值代入△，满足△≥0即可得出正确答案.
例3

已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．








变3
已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．







例4

已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）设为方程的两个实数根，且满足，试求出k的值．






例5

已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，且满足，求m的值．








变4
已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，且，求m的值．






变5
已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若，求k的值．






题型五 韦达定理与三角形

例1

已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
变2
直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．
例2

若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则的值为（ ）
A．32
B．36
C．32或36
D．不存在
变2
已知是关于的一元二次方程的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（　　）
A．-4
B．8
C．-4或-8
D．4或-8
例3

关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）在直角三角形中，，斜边，两直角边的长恰好是方程的两根，求的值．





变3
（1）不解方程，判别关于的一元二次方程的根的情况；
（2）在中，斜边，直角边、的长是（1）中方程的两个不相等的实数根，求的值．




例4

已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰的三边a，b，c中，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求值．





变4
已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值．




知识点三 代根法


内容
代根法
若是一元二次方程的两个根，则此时既可用韦达定理，也可将或代入方程.
题型六 代根法与韦达定理

例1

设α、β是方程的两根，则的值为（ ）
A．6076
B．-6074
C．6040
D．-6040
变1
已知，是方程的两根，则代数式的值是（　　）
A．18
B．-18
C．27
D．-27
例2

若α，β是方程的两个实数根，则代数式的值为______.
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“二次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵α，β是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：，
∴.
例3

已知，是方程的两个根，则代数式的值等于______．






变2
已知是方程的两个实数根，求的值为______．
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“二次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，
∴________________，
∴________________，
∵α，β是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：______，
∴___________=___________.
变3
已知是关于的方程的两个根，则的值为（　　）
A．2023
B．2022
C．2021
D．2020
例4

已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．-10
B．-7
C．-5
D．3
变4
若是方程的两个实数根，则的值为______．
例5

若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“三次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，∴，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：，
∴.
例6

一元二次方程的两个根为，则的值为（　　）
A．10
B．9
C．8
D．7
例7

已知α、β是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．4
B．
C．5
D．
变5
已知，是方程的两个实根，则的值为______.
【方法】此类题的方法是“降幂”.
【观察】代数式中，“”有“三次”，所以选择将降幂.
∵是方程的根，
∴，即，
∴__________，
∴________________，
∵，是方程的两个实数根，
∴根据韦达定理得：______，
∴___________=___________.
变6
已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045
B．4044
C．2022
D．1
变7
设，是一元二次方程的两根，则等于（ ）
A．1
B．5
C．11
D．13
变8
设，是方程的两个根，则的值为______．






知识点四 构造一元二次方程求值


内容
构造一元二次方程
若满足，，则是方程的两个根.
构造倒数关系的方程
若满足①，②，则将②两边除以，即③，所欲和是方程的两个根.（即b相同，a、c交换位置）
题型七 构造一元二次方程求值

例1

（1）已知m，n满足条件：，，则m，n可以看做那个方程的两个根？
答：m，n满足的方程是______________；m+n=______；mn=______.
（2）m，满足条件：，，则m，可以看做那个方程的两个根？
答：m，满足的方程是______________；m+______；m·=______.
变1
（1）已知p，q满足条件：，，则p，q可以看做那个方程的两个根？
答：p，q满足的方程是______________；p+q=______；pq=______.
（2）x，满足条件：，，则x，可以看做那个方程的两个根？
答：x，满足的方程是______________；x+______；x·=______.
例2

已知实数s、t满足，，且，则的值是______．
例3

已知实数、满足，，则______．
例4

如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2021=______．
变2
若实数a、b分别满足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，则的值为______．

变3
若实数m，n满足条件：，，则的值是（ ）
A．2
B．-4
C．-6
D．2或-6
例5

已知，且，，则______.
【观察】观察两个方程，两个方程的“b相同，a、c交换了位置”.
【解答】将除以得，，
【再次观察】方程与方程长得一模一样，
∴是方程的两个根.
∴（1）若，即（不合题意，舍去）
（2）若，则，所以.
例6

已知实数α，β满足α2+3α-1=0，β2-3β-1=0，且αβ≠1，则的值为______．
例7

已知a、b为非零常数，，满足，则______．
变4
实数x，y分别满足99x2+2021x=-1．y2+2021y=-99，且xy≠1．则______．
【观察】观察两个方程，两个方程的“b相同，a、c交换了位置”.
【解答】将除以得：_____________________，
【再次观察】方程_____________________与方程_____________________长得一模一样，
∴________是方程______________的两个根.
∴（1）若，即（不合题意，舍去）
（2）若，则________，________，
∴_________________________________.
变5
已知a2-2a-1=0，b2+2b-1=0，且ab≠1，则的值为______．
变6
已知，且有及，则的值为（ ）
A．
B．2018
C．3
D．


课后强化

1.已知关于x的一元二次方程2x2+mx-3=0的一个根是-1，则另一个根是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．
3.一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
4.一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
5.若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是______．
6.已知方程的两根分别为，则______．
7.已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是______．
8.已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2，不解方程求：
（1）x12+x22的值；
（2）(x1-2)(x2-2) 的值






9.已知方程的两根是、．
（1）求的值；
（2）求的值．





10.已知是方程的两个根，且满足，则______．
11.关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．







12.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足，求m的值．






13.已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求m的值．







14.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当的斜边长为，且两条直角边的长和恰好是这个方程的两个根时，求的周长．




15.已知关于的一元二次方程．
（1）若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根；
（2）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（3）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求的值．




16.已知：m、n是方程的两根，则______．
17.设、是方程的两根，则的值为（ ）
A．6076
B．
C．6040
D．
18.设，是一元二次方程的两个根，则______．
19.已知，是方程的两根，则的值为______．
20.一元二次方程的两根为，则的值为______．
21.设、是一元二次方程的两根，则等于（ ）
A．
B．8
C．6
D．0
22.设，是方程的两个实数根，则（ ）
A．2016
B．2017
C．2018
D．2019
23.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根和，且，则k的值
是______．
24.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的二根为，，且，则m=______．