【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第03讲《相反数和绝对值》同步讲学案

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第2讲 相反数和绝对值

一、相反数
1. 相反数：像2和-2,4和-4这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数
【特别注意】
①相反数是成对出现的；
②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2. 相反数的性质与判定
（1）任何数都有相反数，且只有一个；
（2）0的相反数是0；
（3）互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4. 相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5. 相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a
【分析】（1）根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可；
（2）先求出每个式子的值，再比较即可．
【详解】解：（1）∵ ，，
∵ ，
∴；
（2）∵ ，，
∴>
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
题型六：绝对值方程
【例6】数轴上，表示与2的点之间的距离是，表示与的点之间的距离是，即数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差，若不知道数轴上两数的大小，则表示数与的点之间的距离可以表示为，利用上述结论解决如下问题．
若，求的值．
【答案】或
【分析】根据题意可知表示的意义为数x与数5的距离为3，由此分当时，当时两种情况讨论求解即可．
【详解】解：由题意得表示的意义为数x与数5的距离为3，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，正确理解题意是解题的关键．
[变式]我们知道：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可以理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，表示5、之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数，那么A、B之间的距离可以表示为．试探索：
（1）若，则=___________；
（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示的点与表示__________的点重合；
（3）计算：．
【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5
【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；
（2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时， 即可求解．
【详解】解：（1），
∴，
解得：或-4；
（2）∵A点对应的数为，B点对应的数为4，折叠数轴，使得A点与B点重合，
∴折叠处点对应的数为 ，
∴表示的点与表示6的点重合；
（3）解：①当时，           
，解得：-2 ；
②当时，
，则，无解  ；
③当时，
，则5．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．



一、单选题
1．下面每组中的两个数互为相反数的是（    ）
A．或 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，对各选项进行分析即可一一判定．
【详解】解：、和不互为相反数，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，，的相反数为8，故该选项符合题意；
D、和不互为相反数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义即可求解．正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握是解题的关键．
3．下列为负数的是（     ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据负数的定义判断即可．
【详解】A.，是正数，故本选项不合题意；
B．是正数，故本选项不合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D．是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，绝对值以，掌握负数的定义是解答本题的关键．
4．如图，数轴上点A、、、表示的数中，表示互为相反数的两个点是（     ）

A．点和点 B．点A和点 C．点和点 D．点A和点
【答案】D
【分析】一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离相等．
【详解】解：点A和点分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等，
∴它们表示的两个数互为相反数．
故选D．
【点睛】本题主要考查一对相反数在数轴上的位置特点，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
5．下列各对数中，互为相反数的是（    ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】根据相反数的定义分别判断即可．
【详解】A．，，不互为相反数；
B．，，不互为相反数；
C．，，不互为相反数；
D．，，互为相反数；
故选D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）

A．a B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可知，，可判定，再根据绝对值的意义化简即可．
【详解】解：由图可知，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的意义，根据实数在数轴上的位置判断两个实数之差大于0或小于0是解决本题的关键．
7．2021年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是﹣4℃、5℃、20℃、﹣18℃，当时这四个城市中，气温最低的是（    ）
A．北京 B．上海 C．深圳 D．长春
【答案】D
【分析】根据有理数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴20＞5＞﹣4＞﹣18，
∴-18最小，
∴最低气温是-18℃，即长春的温度最低，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的法则是解题的关键．
8．下列各数：，，0，，其中比小的数是（   ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】求出，再根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴比小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和绝对值，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
二、填空题
9．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，C表示的数互为相反数，且，则点B表示的数是_____．

【答案】1
【分析】此题可借助数形结合的方法求解，由于、两点表示的数互为相反数，因此、一定是关于原点对称的，从而确定原点的位置，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出点表示的数．
【详解】解：由于点，表示的数互为相反数，且，
原点与各点的位置如图所示：

将单位长度视为1，
因此所表示的数为1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了数轴与相反数的有关内容，相反数在数轴的体现是关于原点对称，利用这个性质作为突破口．
10．化简： =___________； =___________； =___________；
【答案】
【分析】根据同号得正，异号得负化简即可
【详解】解：


故答案为：，，
【点睛】本题考查了双重符号的化简，掌握同号为正，异号为负是解题关键．
11．若，则的值为_____．
【答案】6或0
【分析】根据绝对值的性质化简，可得m值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即或，
故答案为：6或0．
【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握化简绝对值的方法．
12．若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________．
【答案】-9
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x-1|-|x+2|=x-1-x-2=-3；
当-2＜x＜1时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）-（x+2）=-2x-1；
当x≤-2时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）+（x+2）=3．
∵代数式|x-1|-|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a=3，b=-3．
∴ab=-9．
故答案为：-9．
【点睛】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
13．若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________．
【答案】-9
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x-1|-|x+2|=x-1-x-2=-3；
当-2＜x＜1时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）-（x+2）=-2x-1；
当x≤-2时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）+（x+2）=3．
∵代数式|x-1|-|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a=3，b=-3．
∴ab=-9．
故答案为：-9．
【点睛】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．

三、解答题
14．已知m是8的相反数，n比m的相反数小2，求n比m大多少？
【答案】n比m大14．
【详解】试题分析：根据相反数定义确定m和n的值，然后可得答案．
试题解析：由题意得：m=﹣8，n=8﹣2=6，
n﹣m=6﹣（﹣8）=14，
答：n比m大14．
15．把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按从小到大的顺序用“＜”连接．
，，，，，
【答案】画图见解析，
【分析】先化简，再在数轴上表示各数，根据各数在数轴上的位置可得答案．
【详解】解：，
在数轴上表示各数如下：

∴．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，熟悉数轴上各数的分布是解本题的关键．
16．若已知，试讨论四个数的大小关系，并用“”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）
【答案】
【分析】先根据题意在数轴上标出a，，b，的位置，再比较即可．
【详解】解：∵，，，
在数轴上表示如图：

∴．
【点睛】本题考查了数轴，相反数和有理数的大小比较，能知道a，，b，在数轴上的位置是解此题的关键．
17．若规定这样一种运算：，例如：.
(1)计算：；
(2)记，，请探究与的大小关系.
【答案】(1)3
(2)M=N

【分析】（1）利用公式代入计算即可；
（2）根据公式分别求出M及N，根据绝对值的性质判断M与N的关系．
（1）
解：∵，
∴==3；
（2）
∵，
∴M=，=，
∵，
∴M=N．
【点睛】此题考查了新定义计算，绝对值的性质，正确理解新定义的计算公式是解题的关键．