【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第11讲《多项式和整式》同步讲学案

第11讲 多项式和整式

一、多项式

1. 定义：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
2. 多项式的次数

多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，例如有三项，次数最高的是x2，则此多项式的次数为2

【特别提示】

（1）多项式每一个都要 包括它前面的符号；

（2）多项式的次数不是所有项的次数和；

（3）多项式的项数是指多项式中包含单项式的个数；

（4）无论是多项式还是单项式，分母中都不能出现字母。

题型一：多项式的判断

【例1】下列说法正确的有（    ）个．

①单项式x的系数和次数都是0；②的次数是11；③多项式是由1，，三项组成；④在，，，0中整式有2个；⑤的系数是 ．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据多项式、单项式、整式的相关概念解答即可．

【详解】解：①单项式的系数和次数都是，原说法错误；

②的次数是，原说法错误；

③多项式是由，，三项组成，原说法正确；

④在，，，中整式有个，原说法错误；

⑤的系数是，原说法错误．

∴说法正确的有个．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．

[变式1]下列各式中，，是多项式的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）逐个判断即可得．

【详解】解：是多项式，

是单项式，

是一个常数，是单项式，

不是整式，

综上，多项式有1个，

故选：A．

【点睛】本题考查了多项式，熟记多项式的定义是解题关键．

[变式2]下列代数式，0，，，，，中，多项式的个数有（     ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】A

【分析】根据多项式是几个单项式的和逐个判断即可．

【详解】解：、、为多项式，

0、、为单项式，

不是整式；

故选A．

【点睛】本题考查多项式的定义，要细致掌握概念并灵活运用是解题的关键，同时注意π不是字母是数字，是易错点．

二、  整式

1. 定义：单项式与多项式统称为整式；

2. 单项式、多项式和整式的联系

（1）多项式的依赖于其中各单项式的次数；

（2）各单项式的最高次数决定整个多项式的次数；

（3）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应全部写出；

（4）所有单项式和多项式都是整式，如果一个式子既不是单项式是，也不是多项式，那么它一定不是整式。

题型二：整式的判断

【例2】对于代数式：1，r，，，，，属于整式的有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】D

【分析】根据整式是单项式和多项式的统称进行逐一判断即可．

【详解】解：1是单项式，是整式；

r是单项式，是整式；

分母含有字母，不是整式；

是多项式，是整式；

是多项式，是整式；

是单项式，是整式；

∴整式一共有5个，

故选D．

【点睛】本题主要考查了整式的判断，熟知整式的定义是解题的关键．

[变式1]在代数式①，②，③，④0，⑤中，整式有（    ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【答案】B

【分析】根据整式是单项式和多项式的统称进行求解即可．

【详解】解：①是多项式，是整式；

②分母含有未知数，不是整式；

③是单项式，是整式；

④0是单项式，是整式；

⑤是单项式，是整式；

∴整式一共有4个，

故选B．

【点睛】本题主要考查了整式的判断，熟知整式的定义是解题的关键．

[变式2]在代数式，，，，，中，整式有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】B

【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．

【详解】解：根据整式的定义，整式有：

，，，，共4个．

故选：B．

【点睛】本题考查了整式的定义；熟记定义是解本题的关键．

题型三：整式的项与次数

【例3】多项式的次数和最高次项的系数分别是（    ）

A．5，2 B．5，1 C．4，2 D．3，2

【答案】D

【分析】根据多项式的项和次数的定义，即可求解．

【详解】解：多项式的次数和最高次项的系数分别是3，2．

故选：D

【点睛】本题主要考查了多项式的项和次数，熟练掌握多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数，一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．

[变式1]多项式的次数和项数分别为（    ）

A．6，2 B．8，3 C．8，2 D．6，3

【答案】B

【分析】根据多项式的项和次数进行作答即可．

【详解】解：多项式共有3项，分别是：，其次数为，

，其次数为，，其次数为，

多项式的次数为8，是八次三项式；

故选：B．

【点睛】本题考查了多项式的项和次数，多项式中每个单项式都是多项式的项，有几个单项式就是几项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，熟练掌握知识点是解题的关键．

[变式2]多项式的次数是（    ）

A．15次 B．6次 C．5次 D．4次

【答案】C

【分析】根据多项式的次数的定义即可求解．

【详解】解：多项式中，的次数为，是次数最高的项，

∴该多项式的次数是5，

故选C．

【点睛】本题考查多项式的次数，解题的关键是熟练掌握定义：一个多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

题型四：根据要求参数的值

【例4】多项式的次数是四次，那么m不可能是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】直接利用多项式的次数得出答案．

【详解】解：多项式的次数是四次，

∴m是小于或等于4的非负整数，

故选：D

【点睛】此题主要考查了多项式，正确理解多项式的次数是解题关键．

[变式1]已知关于x的多项式是二次多项式，则a+b的值为（     ）

A．6 B．5 C．4 D．8

【答案】A

【分析】根据该多项式是二次多项式，可知不含x的4次项，即4次项系数为0，可知，，代入代数式即可求得结果．

【详解】解：由题意可知，，

解得：，，

∴，

故选：A．

【点睛】本题主要考查利用多项式的定义求参数，注意4次项系数为0．

[变式2]如果多项式是关于x的三次多项式，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】根据多项式的定义分别分析得出a、b的值即可求解．

【详解】因为多项式是关于x的三次多项式，

所以（a-2）x4这一项系数应为0，应是最高次项．

所以a-2=0，b=3，

即a=2，b=3，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了多项式的定义，解决此类问题首先要明确是几次单项式或几次几项式，然后进行系数、指数的求解．

题型五：数字规律探索

【例5】在，，，…，2021，2022这一串连续的整数中，前100个连续整数的和为（    ）

A．465 B．550 C．560 D．606

【答案】B

【分析】先确定前100个连续的整数，观察可知其中前89个整数正负相加之和正好等于零，然后把剩下的11个数相加，得出最后结果．

【详解】解：这前100个连续整数是，，，…，，0，1，2，…54，55，

则这些数字的和为

，

故选：B．

【点睛】本题考查有理数的加法，乘法运算，正确找出规律是解题的关键．

[变式]我市某中学为便于管理，决定给每个学生编号，设定末尾用1表示男生，2表示女生．如果编号2203231表示“2022年入学的3班23号学生，是位男生”，那么2022年入学的10班20号女生同学的编号为（    ）

A．2201202 B．1021201 C．2210202 D．2210201

【答案】C

【分析】根据题中记录的方法判断即可．

【详解】解：根据题意可知，2022年入学的10班20号女生同学的编号为2210202，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查用数字表示事件，正确把握各位数表示的意义是解题的关键．

题型五：图形规律探索

【例5】如图所示，在图（1）中互不重叠的三角形共有4个，在图（2）中互不重叠的三角形共有7个，在图（3）中互不重叠的三角形共有10个，……，则在图（6）中，互不重叠的三角形共有（   ）

A．10个 B．15个 C．19个 D．22个

【答案】C

【分析】根据所给图示发现，后面的图比前一个图三角形的个数增加3个，据此解答．

【详解】解：在图（1）中，互不重叠的三角形共有4个，

在图（2）中，互不重叠的三角形共有7个，

在图（3）中，互不重叠的三角形共有10个，

……

则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个，

∴第6个图形中，互不重叠的三角形共有19个，

故选：C．

【点睛】本题考查了图形的规律探索，主要培养学生的观察能力和总结能力．

[变式]观察下列图形，则第2022个图形中三角形的个数是（   ）

A．8084 B．8088 C．2021 D．2022

【答案】B

【分析】根据图示，第1个图形中三角形的个数为：4个；第2个图形中三角形的个数为：（个；第3个图形中三角形的个数为：（个．第个图形中三角形的个数为：个，从而求得第2022个图形中三角形的个数．

【详解】解：第1个图形中三角形的个数为：个；

第2个图形中三角形的个数为：（个；

第3个图形中三角形的个数为：（个；

第个图形中三角形的个数为：个，

当时，个，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据．

一、单选题

1．下列结论中正确的是（    ）

A．单项式的系数是，次数是 B．是多项式

C．单项式的次数是，无系数 D．多项式是二次三项式

【答案】B

【分析】根据单项式和多项式的概念逐一求解可得．

【详解】解：A．单项式的系数是，次数是，故此选项不符合题意；

B．是多项式，故此选项符合题意；

C．单项式的次数是，系数是，故此选项不符合题意；

D．多项式是四次三项式，故此选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查单项式与多项式的概念．解题的关键是正确理解单项式与多项式．

2．下列说法正确的是（    ）

A．的系数是 B．的次数是8次

C．是多项式 D．的常数项为2

【答案】C

【分析】根据单项式的系数的含义可判断A，根据单项式的次数的含义可判断B，根据多项式的定义可判断C，根据多项式的项的含义可判断D，从而可得答案．

【详解】解：的系数是，故A不符合题意；

的次数是6次，故B不符合题意；

是多项式，故C符合题意；

的常数项为，故D不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数，多项式的定义与项的含义，熟记基本概念是解本题的关键．

3．式子、，，0，，a，中，下列结论正确的是（    ）

A．有4个单项式，2个多项式 B．有3个单项式，3个多项式

C．有5个整式 D．以上答案均不对

【答案】A

【分析】根据“数字或字母的积叫做单项式，单独一个数或一个字母是单项式，几个单项式的和是多项式，单项式和多项式统称为整式”即可进行解答．

【详解】解：单项式：，0，，a，

多项式：，，

既不是单项式也不是多项式：，

综上：单项式有4个，多项式2个，整式有6个，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义，整式的定义，解题的关键是掌握“数与字母的乘积形式是单项式，单独一个数或一个字母是单项式，几个单项式的和是多项式，单项式和多项式统称为整式”．

4．多项式的一次项系数是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】直接利用及多项式的项的定义分析得出答案．

【详解】解：多项式的一次项系数是，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．

5．多项式的常数项是，则“”是（    ）

A． B． C．5 D．3

【答案】C

【分析】根据多项式的常数项的定义即可求出答案．

【详解】解：，

“”是5，

故选：C．

【点睛】本题考查了多项式的相关概念，几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式，多项式里，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，解题的关键是正确理解多项式的常数项的概念．

6．如果整式是关于的二次三项式，那么等于（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】由于该多项式是关于x的二次三项式，可得n-2=2，即可求得n的值．

【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式，

∴n-2=2，

解得n=4，

故选：B．

【点睛】本题考查了根据多项式的次数求参数的值，理解二次三项式的含义是解决本题的关键．

7．下列各式：，，，，，，，其中整式有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【分析】直接利用整式的定义得出答案．

【详解】解：根据整式的定义，可知整式有：

，，，，，共有5个．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．

8．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第⑨个图形中字母“H”的个数是（    ）

A．16 B．18 C．20 D．22

【答案】C

【分析】列举每个图形中H和C的个数，找到规律即可得出答案．

【详解】解：∵第个图中H的个数为4，

第个图中H的个数为，

第个图中H的个数为，

∴第n个图中H的个数为，

∴第⑨个图形中字母“H”的个数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．

9．小明利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：

那么当输入数据时，输出的数据是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】观察表格可知输出的结果成规律排列，输入，输出的分数的分子为，分母为，由此即可求解．

【详解】解：输入，输出的分数的分子为，分母为，

∴当输入数据时，输出的数据是，

故选：．

【点睛】本题主要考查含有乘方的数字规律问，掌握乘方的计算，理解数字规律是解题的关键．

二、填空题

10．单项式的系数是________，次数是________次；多项式是________次多项式．

【答案】          4     四

【分析】直接利用单项式的次数与系数的确定方法，再结合多项式的次数确定方法得出答案．

【详解】解：单项式的系数是：，次数是4次；

多项式是四次多项式．

故答案为：，4，四．

【点睛】此题主要考查了单项式以及多项式的次数与系数的定义，正确把握其次数确定方法是解题关键．

11．若多项式中不含项，则k的值为_____．

【答案】

【分析】根据不含某项即该项的系数为0进行求解即可．

【详解】解：∵多项式中不含项，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了多项式项中的系数求值，熟知不含某项即该项的系数为0是解题的关键．

12．如果代数式的值与x的取值无关，那么的值是______．

【答案】

【分析】代数式的值与x无关，则合并同类项后x前面的系数为0，由此可算出m的值．

【详解】解：

代数式的值与x的取值无关

解得

故答案为：．

【点睛】本题考查了求代数式字母系数的问题，根据题意列出正确的等式解出字母系数是解决本题的关键．

13．下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6）．整式有___________．（填序号）

【答案】（1），（3），（5），（6）

【分析】根据整式的概念求解即可．整式包括单项式和多项式．

【详解】解：整式有：（1），（3），（5），（6）．

故答案为：（1），（3），（5），（6）．

【点睛】此题考查了整式的概念，解题的关键是熟练掌握整式的概念．整式包括单项式和多项式．

三、解答题

14．已知多项式与单项式的次数相同．

(1)求m的值；

(2)把这个多项式按x的降幂排列．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先确定单项式的次数，可知多项式的次数，进而求出m的值即可；

（2）按x的降幂排列即可．

【详解】（1）解：单项式是五次单项式，

可知该多项式是五次四项式，

所以，

解得；

（2）解：按x的降幂排列为．

【点睛】本题主要考查了单项式和多项式的次数，多项式的升（降）幂排列等，理解定义是解题的关键．

15．已知多项式是关于x的四次二项式，求的值．

【答案】

【分析】先合并同类项，再根据四次二项式的定义得到m，n的值，再代入计算求解即可；

【详解】解：

∵多项式是关于x的四次二项式，

∴，．

∴，．

∴．

【点睛】本题主要考查多项式的有关概念，解题的关键是熟练运用多项式的概念，本题属于基础题型．

16．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．

【答案】m=5．

【分析】根据单项式次数的定义：各字母指数的和；多项式中次数的定义：组成多项式的各单项式中次数最高的项，得出相应方程求解即可．

【详解】解：单项式的次数是7，

∴多项式的次数也是7，

∴，

∴．

【点睛】题目主要考查单项式与多项式中次数的定义，理解次数的定义是解题关键．