【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第13讲《整式的加减》同步讲学案

第13讲 整式的加减

1. 整式的加减

（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算；

（2）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列.

2. 整式加减的一般步骤

（1）如果有括号，那么先去括号；

（2）观察有无同类项；

（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项；

（4）合并同类项.

题型一：整式的加减运算

【例1】化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用整式的加减运算法则及去括号法则进行化简即可．

【详解】解：

．

故选：B．

【点睛】本题考查了整式的加减运算，去括号运算，熟练掌握相关运算规则是解题的关键．

[变式1]要使始终成立，则，，的值分别是（    ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】D

【分析】先把等号的左边去括号合并同类项，然后与右边比较可求出，，的值．

【详解】∵

，，，

，，．

故选D.

【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项．

[变式2]若，，则和的大小关系是（     ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】D

【分析】利用作差法比较M与N的大小即可．

【详解】解：∵，

∴

=

=，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．

题型二：整式加减在实际中的应用

【例2】如果长方形的周长为，一边长为，则另一边的长为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据长方形的周长等于长和宽的和的2倍进行求解即可．

【详解】解：由题意，得：另一边的长为；

故选C．

【点睛】本题考查整式加减的实际应用．熟练掌握长方形的周长等于长和宽的和的2倍，是解题的关键．

[变式1]如图，用含m，n的代数式表示阴影部分的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用周长等于各边之和进行计算，即可得出结果．

【详解】解：阴影部分的周长为：；

故选C．

【点睛】本题考查列代数式，正确的识图，是解题的关键．

[变式2]如图，一个正方形和一个长方形有一部分重叠在一起，重叠部分是边长为3的正方形，则未重叠部分的面积是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空白部分的面积等于大正方形面积减去重叠部分小正方形的面积，再加上长方形面积减去重叠部分小正方形的面积即可求解．

【详解】解：正方形面积为：，

长方形面积为：，

重叠部分小正方形面积为：

所以空白部分面积为：

故选：D

【点睛】本题主要考查整式的混合运算；解题的关键是根据图形列出未重叠部分面积的代数式及整式的混合运算顺序和运算法则．

题型三：整式加减中的化简问题

【例3】（1）化简：；

（2）先化简再求值： ，其中，．

【答案】（1）；（2），

【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可；

（2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．

【详解】解：（1）

；

（2）

，

当，时，原式．

【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值，正确计算是解题的关键．

[变式1]化简求值．

(1)，其中．

(2)已知：，，求下列代数式的值：

①；

②．

【答案】(1)，

(2)①；②

【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，再将字母的值代入进行计算即可求解；

（2）①根据已知式子可得，然代入代数式即可求解；

②原式化为，再将，整体代入即可求解．

【详解】（1）解：

；

当时，原式；

（2）解：①∵，，

∴

∴,

∴②

．

【点睛】本题考查了整式的加减与代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．

[变式2]（1）已知，，求代数式的值．

（2）已知代数式不含有项，求代数式的值．

【答案】（1）21；（2）14

【分析】（1）原式去括号合并整理后，将已知等式代入计算即可求出值；

（2）已知代数式合并后，根据结果不含项求出的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．

【详解】解：（1）原式

，

当，时，

原式；

（2）代数式不含有项，

得到，即，

则原式．

【点睛】此题考查了整式的加减化简求值，以及多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

题型四：整式加减中的无关型问题

【例4】已知： ．

(1)求 ；

(2)若 的值与的取值无关，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，原式，然后去括号，合并同类项，即可求解；

（2）根据的值与的取值无关，可得，即可求解．

【详解】（1）解：，

∵，，

∴原式

；

（2）解：若的值与的取值无关，

则与的取值无关，

即：与的取值无关，

∴，

解得 ．

【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则以及合并同类项是解题的关键．

[变式1]已知：，．

(1)化简：；

(2)若的值与字母的取值无关，求代数式的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将A与B的表达式代入所求式子，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．

（2）令含有m的项的系数为零，求得x的值，然后化简代数式并求值即可求出答案．

【详解】（1）∵，，

∴

；

（2）由（1）得：，

∵的值与字母的取值无关，

∴，

解得；

∴

.

．

【点睛】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．

[变式2]已知，．

(1)求；

(2)当，时，求的值；

(3)若的值与x的取值无关，求y的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；

（2）直接把x，y的值代入得出答案；

（3）直接利用的值与x的取值无关，得出，即可得出答案．

【详解】（1）解：

（2）解：当，时，

；

（3）解：，

∵的值与x的取值无关，

∴，

解得：．

【点睛】此题主要考查了整式的加减——化简求值，正确合并同类项是解题关键．

一、单选题

1．若，则代数式的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可直接将代入求解，也可先对原式化简，再代入求解．

【详解】解：

．

若，则原式．

故选：A．

【点睛】本题考查了代数式的代入求值，数列掌握相关计算是解题的关键．

2．当时，代数式的值是（　　）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先去括号，合并同类项，再代入即可求解．

【详解】

，

当时，原式，

故选：B．

【点睛】本题考查了合并同类项以及代数式求值的知识，解题时要注意去括号时的符号处理．

3．如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离即的长度为，一只蚂蚁从点出发沿着楼梯爬到点，共爬了．小明家楼梯的竖直高度即的长度为(　　)

A．  B． C． D．

【答案】A

【分析】从点沿着楼梯爬到点长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，依此用减去，即可求得小明家楼梯的竖直高度．

【详解】解：

米．

故小明家楼梯的竖直高度即：的长度为 米．

故选：A．

【点睛】考查了整式的加减的应用，整式的加减实质上就是合并同类项．

4．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】剪下的两个小矩形的长为，宽为，所以这两个小矩形拼成的新矩形的长为，宽为，然后计算这个新矩形的周长．

【详解】解：剪下的两个小矩形的长为，宽为，

则这两个小矩形拼成的新矩形的长为，宽为，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解题的关键用a和b表示出剪下的两个小矩形的长与宽．

5．若m，n互为相反数，则的值为（    ）

A．4 B．3 C．1 D．

【答案】D

【分析】直接利用绝对值以及互为相反数的定义分析得出答案．

【详解】解：∵m、n互为相反数，

∴，

则

．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了整式的加减－化简求值以及相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键．

6．已知代数式，则的值是（    ）

A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6

【答案】A

【分析】先将式子进行化简，然后将代入即可得出答案

【详解】解：原式＝，

当时，

原式．

故选：A．

【点睛】本题考查了整式的化简求值，整体代入的数学思想是解题的关键．

7．多项式的值（　　）

A．与x，y都无关 B．只与x有关

C．只与y有关 D．与x，y都有关

【答案】B

【分析】根据合并同类项法则即可解答．

【详解】解：∵原式

，

∴多项式的值只与x有关．

故选：B．

【点睛】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是正确合并同类项，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

8．若式子合并同类项后，不含项，则k的值为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】先去括号合并同类项，然后令不含项的系数等于0求解即可．

【详解】

，

∵并同类项后，不含项，

∴，

∴．

故选A．

【点睛】题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．

9．若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于（    ）

A．2 B．  C．4 D．﹣4

【答案】B

【分析】利用整式的减法的法则进行运算，再结合不含二次项，则其系数为0，从而可求解．

【详解】解：由题意得：

，

结果不含二次项，

，

解得：．

故选：B．

【点睛】本题主要考查整式的加减，解答的关键是明确不含二次项，则其系数为0．

二、填空题

10．若，则M与N的大小关系是________．

【答案】/

【分析】直接利用作差法进行求解即可．

【详解】解：∵，

∴

，

∵，

∴，

∴，即，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，熟知作差法比较大小是解题的关键．

11．有一道题目是一个多项式加上，小明误当成了减法计算，结果得到，正确的结果应该是______．

【答案】

【分析】首先按错误的说法，求出原多项式，然后再计算正确结果．

【详解】解：这个多项式为：

，

正确的结果为：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．

12．已知，则代数式______．

【答案】

【分析】先按照整式加减运算法则对整式进行化简，然后再整体代入求值即可．

【详解】解：∵，

∴

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是将整式化简为，注意整体代入．

13．已知多项式，，当时，代数式的值为__________．

【答案】

【分析】先化简可得结果为，再代入计算可得化简结果为，再把代入计算即可．

【详解】解：∵，，

∴

，

当时，

原式．

故答案为：-1.

【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“化简的先后顺序”是解本题的关键．

14．若代数式中，化简后不含项，则_______．

【答案】

【分析】先合并同类项，再根据化简后不含项得到关于的方程，求解后代入计算即可．

【详解】解：

∵原式化简后不含项，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了整式的加减运算，正确进行同类项的合并是解题的关键．

15．当m=________时，关于x的多项式 与多项式的和中不含项．

【答案】

【分析】先将两个多项式求和，根据和中不含项,即项的系数为0，据此求解即可．

【详解】解：，

∵关于x的多项式 与多项式的和中不含项，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查合并同类项，不含某一项，即合并后此项系数为0．

三、解答题

16．化简与求值：

(1)化简：；

(2)先化简，再求值：，其中，．

【答案】(1)；

(2)；．

【分析】（1）直接合并同类项进而得出答案；

（2）直接去括号进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．

【详解】（1）解：

；

（2）

当，时，

原式

．

【点睛】此题主要考查了整式的加减，掌握合并同类项和去括号法则是解题关键．

17．已知代数式，．

(1)当时，求的值．

(2)若的值与的取值无关，求的值．

【答案】(1)  (2)

【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，最后将代入进行计算即可求解；

（2）根据题意，令的系数为0，即可求解．

【详解】（1）解：∵，，

∴

，

当时，

原式

；

（2）解：∵

，与的取值无关，

即，

解得：，

∴．

【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，无关类型，掌握去括号，合并同类项是解题的关键．