【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-1.7《有理数的简单应用》同步讲学案

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❊1.7 有理数的简单应用
课前导入


七年级（2）班举行了立定跳远考试，规定1米90及格，下表是本班六位同学的跳远成绩：
小方
小明
小刚
小蔡
小徐
小坤
-5
+2
0
-1
-3
+8
【思考】同学们，根据上表数据，分析这六位同学有几人成绩合格？分别是哪几人？
题型精析

题型一 有理数的混合运算

例1
计算下列各题：
（1）
（2）





（3）
（4）

（1）【分析】把除法转化为乘法，先确定符号，把绝对值相乘，最后求和即可．
【解答】解：原式

．
（2）【分析】先算乘方和括号内的，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：原式


．
．
（3）【分析】根据有理数的混合运算法则，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法．
【解答】解：


．

（4）






例2
计算：
（1）
（2）


（1）-1；
（2）6
变1
计算下列各题：
（1）
（2）




（3）
（4）





(1)解：|
＝﹣11212﹣|﹣8﹣5|
＝﹣1+6+8﹣13
＝0．
(2)解：原式




(3)解：原式



（4）解：


=-12．
变2
计算下列各题：
（1）
（2）





（3）
（4）
【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）
题型二 非负数的应用

【方法点睛】1.对于，由于绝对值是非负数，所以当时，即时，；
2.对于，由于绝对值是非负数，所以当时，即时，.

例1
式子取最小值时，等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义可知，当时取得最小值，据此即可求解．
【详解】解：∵，
式子取最小值时，，
故选：C．
例2
代数式的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据绝对值是非负性进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴当，代数式取得最小值，即取最小值2．
故选：B．
例3
当______时，|有最大值，最大值是（ ）
A．1，
B．1，
C．，10
D．，9
【答案】B
【分析】根据绝对值具有非负性可得，据此可得，继而可得出答案．
【详解】，
，
，
∴当时，|有最大值，
即当时，|有最大值，最大值是．
故选：B．
变1
当x=______时，代数式有最小值，且最小值为______.
【答案】     4     7
【分析】根据绝对值的非负性解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴当，即x＝4时，代数式有最小值7．
故答案为：4，7．
变2
式子有最______值，这个值是______，此时______.
【答案】大，5，-2
例4
若与互为相反数，则的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可．
【详解】与互为相反数，即，
，，
解得，，


，
故选：C．
例5
若，那么代数式的值是______.
【答案】1
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为1．
变3
已知有理数x、y满足，则代数式的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用绝对值及平方的非负性先求出x、y值，再代入即可．
【详解】
解：∵，且，
∴，，
即：，，
解得：，，
∴，
故答案为：1．
变4
已知（2x-4）2+|x+2y-8|＝0，则（x-y）2021=　 　．
【解题思路】由非负数的意义求出x、y的值，再代入计算即可．
【解答过程】解：∵（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，
∴2x﹣4＝0，x+2y﹣8＝0，
解得，x＝2，y＝3，
∴（x﹣y）2021＝（2﹣3）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
变5
若，则的值是______．
【答案】1
【分析】根据偶次方的非负性和绝对值的非负性可得、的值，再将、的值代入即可得到答案．
【详解】解：，，
当，则，，
，，
．
故答案为：．
题型三 相反数、倒数、绝对值

例1
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，
∴a+b=0，cd=1，x=±2，
当x=2时，原式=23+1×22-0
=8+1×4-0
=8+4-0
=12；
当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0
=-8+1×4-0
=-8+4-0
=-4，
由上可得，原式的值为12或-4．
变1
若a与b互为相反数，c与d互为倒数，，求代数式的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案．
【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，|m|=2，
∴a+b=0，cd=1，m=±2，
当m=2时，
∴原式=0-2+2×23
=14；
当m=-2时，
∴原式=0-2+2×（-2）3
=--18，
综上所述：代数式的值为14或-18．
例2
已知有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度，互为相反数，且都不为零，互为倒数．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）或0
【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；
（2）根据相反数、倒数的性质算出相对应的值，带入求解即可；
【详解】（1）因为有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度
所以,的值为;
（2）由题意可知:，
所以,，
，
，
，
当时,原式；
当时,原式；
综上所述,的值为或0．

变2
已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，是最小的正整数，求的值．
【答案】1或-3．
【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．
【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1，
当m=1时，原式=2×1+0-1=1；
当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3；
综上，原式的值为1或-3．
题型四 定义新运算

例1
对于有理数a、b，定义一种新运算“”如下：，则______．
【答案】
例2
定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=mn+mn-n，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：
（1）（-2）☆4；
（2）（-1）☆[（-5）☆2]．
【答案】（1）4；（2）-27．
【分析】（1）根据m☆n=mn+mn-n，可以求得所求式子的值；
（2）根据m☆n=mn+mn-n，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）∵m☆n=mn+mn-n，
∴（-2）☆4
=（-2）4+（-2）×4-4
=16+（-8）+（-4）
=4；
（2）∵m☆n=mn+mn-n，
∴（-1）☆[（-5）☆2]
=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2]
=（-1）☆（25-10-2）
=（-1）☆13
=（-1）13+（-1）×13-13
=（-1）+（-13）+（-13）
=-27．
变1
已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b=2b-3a，例如：1※2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2※3）※5=______．
【答案】10．
【分析】根据a※b=2b-3a，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：∵a※b=2b-3a，
∴（2※3）※5
=（2×3-3×2）※5
=（6-6）※5
=0※5
=2×5-3×0
=10-0
=10，
故答案为：10．
变2
规定一种新运算a*b=a-b2，则4*[5*（-2）]=______．
【答案】3．
【分析】根据a*b=a-b2，可以求得所求式子的值
【解答】解：∵a*b=a-b2，
∴4*[5*（-2）]
=4*[5-（-2）2]
=4*（5-4）
=4*1
=4-12
=4-1
=3，
故答案为：3．


题型五 有理数的实际应用

例1
某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东
行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
（1）巡逻车在巡逻过程中，第______次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；
（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；
（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．
【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，
第二次距A地：15-8=7千米，
第三次距A地：7+6=13千米，
第四次距A地：13+12=25千米，
第五次距A地：25-4=21千米，
第六次距A地：21+5=26千米，
第七次距A地：26-10=16千米，
26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，
答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；
（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），
答：B地在A地东方，与A地相距16千米；
（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），
60×0.2=12（升），
12×7=84（元）．
答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．
故答案为：6．
变1
在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上
到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，
+13，-4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；
（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．
【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，
∴B地在A地的东边28千米；

（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，
应耗油74×0.6=44.4（升），
故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；

（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
15千米；15-8=7千米；
7+9=16千米；
16-6=10千米；
10+14=24千米；
24-5=19千米；
19+13=32千米；
32-4=28千米．
∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．
例2
汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽
油，他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油
价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．
调整次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
价格变化
-0.30
+0.27
+0.27
-0.12
+0.18
-0.05
-0.10
（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最
低，每升多少元？
（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶
的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求得这七次调整后92号汽油的价格，比较即可得到结论；
（2）根据单位油价乘以总用油量，可得答案．
【解答】解：（1）第一次价格：6.74-0.30=6.44（元），
第二次价格：6.44+0.27=6.71（元），
第三次价格：6.71+0.27=6.98（元），
第四次价格：6.98-0.12=6.86（元），
第五次价格：6.86+0.18=7.04（元），
第六次价格：7.04-0.05=6.99（元），
第七次价格：6.99-0.10=6.89（元），
∵6.44＜6.71＜6.86＜6.89＜6.98＜6.99＜7.04，
∴第五次调整后92号汽油的价格最高，每升7.04元，第一次调整后92号汽油的价格最低，每升6.44元；
（2）600÷100×8=48（升），
6.99×48=335.52（元），
答：在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是335.52元．
变2
2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+150
-200
+300
-100
-50
+250
+150
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；
（2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？
（3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人
的工资总额是多少元？
【答案】（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个；
（2）这周产量超产500个；
（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．
【分析】（1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
（2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个；
（3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．
【解答】解：（1）+300-（-200）=500（个），
（2）+150-200+300-100-50+250+150=500（个），
（3）6000×7+（150-200+300-100-50+250+150）=42500（个），
42500×0.2=8500（元），
答：（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个；
（2）这周产量超产500个；
（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．
课后强化

1.若，则（ ）
A．
B．
C．5
D．3
【答案】B
【分析】根据可知，可得，从而可得答案．
【详解】解：由得：

得：

故选：B
2.的最小值为______．
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性得到，进而得到即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则=______．
【答案】
4.当______时，有最值，最值是______．
【答案】         
【分析】先确定的最小值为，由此得到，确定有最小值．
【详解】解：∵，即的最小值为，
∴，
∴有最小值，最小值是，
此时，即，
故答案为：，．
5.计算：
（1）
（2）




（3）
【答案】(1)-3
(2)-13
(3)15
【解析】
【分析】
根据有理数的混合运算进行计算，注意运算顺序，先计算括号内的，然后按照先乘方，后乘除，再加减的顺序进行计算即可求解．
(1)
解：原式＝


(2)
解：原式＝


(3)
解：原式＝


6.计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）35
【解析】
【详解】
解：（1）原式


；
（2）原式

．
7.若a与b互为相反数，b与c互为倒数，并且m的平方等于它本身，试求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案
【解答】解：∵a与b互为相反数b与c互为倒数，并且m的平方等于它本身，
∴a+b=0，bc=1，m=1或0；
当m=1时，则原式=0+1-3=-2；
当m=0时，则原式=0+1-0=1．
8.已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是2，求代数式的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．
【解答】解：由题意得，a+b=0，cd=1，m=±2，
分两种情况：
（1）当m=2时，原式=；（2）当m=-2时，原式=
9.对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定ab=|a+b|-|a-b|．计算（-3）2的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a⊗b=|a+b|-|a-b|，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a⊗b=|a+b|-|a-b|，
∴（-3）⊗2
=|（-3）+2|-|（-3）-2|
=1-5
=-4.
10.定义一种新运算“”，即mn=（m+2）×3-n，例如23=（2+2）×3-3=9．根据规定解答下列问题：
（1）求6（-3）的值；
（2）通过计算说明6（-3）与（-3）6的值相等吗？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）分别计算出两式的值，即可做出判断．
【解答】解：（1）6⊗（-3）=（6+2）×3-（-3）
=24+3
=27；
（2）（-3）⊗6=（-3+2）×3-6
=-3-6
=-9，
所以6⊗（-3）与（-3）⊗6的值不相等．
11.有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：
袋号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
重量（kg）
+1
+1
+1.5
-1
+1.2
+1.3
-1.3
-1.2
+1.8
+1.1
（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？
（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？
【答案】（1）超过5.4kg；
（2）2263.5元．
【分析】（1）“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；
（2）先求10袋小麦的总重量，即乘单价即可求解．
【解答】解：（1）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1=5.4（kg）．
故这10袋小麦总计超过5.4kg；
（2）（90×10+5.4）×2.5=2263.5（元）．
故10袋小麦一共可以卖2263.5元．

12.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B
地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
【解答】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，
∴B地在A地的东边20千米；

（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14-9=5千米；
14-9+8=13千米；
14-9+8-7=6千米；
14-9+8-7+13=19千米；
14-9+8-7+13-6=13千米；
14-9+8-7+13-6+12=25千米；
14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37-28=9（升）