【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-2.4《整式的加减》同步讲学案

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❊2.4 整式的加减
课前导入

【思考】一个四次多项式加一个四次多项式结果一定为四次多项式吗？为什么？
题型精析

知识点 整式的加减


内容
整式的加减
1几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算；
2.运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列.
整式加减的一般步骤
1.如果有括号，那么先去括号；
2.观察有无同类项；
3.利用加法的交换律和结合律，分组同类项；
4.合并同类项.
题型一 多项式与多项式和的结果


例1

一个五次多项式的和与另一个五次多项式的和的结果，下列说法错误的是（ ）
A．可能是五次多项式
B．可能是十次多项式
C．可能是四次多项式
D．可能是0
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则判断和的次数．
【解答】解：根据题意，五次项没有同类项，所以和的最高次是五次．
由于五次多项式与一个五次多项式相加后可能成为五次单项式，也有可能是四次多项式或0，
不可能是十次多项式
故选：B．
例2

一个四次多项式与一个三次多项式相加，其结果是（ ）
A．可能是七次多项式
B．一定是大于四次的多项式
C．可能是二次多项式
D．四次多项式或单项式
【答案】D
【分析】根据题意和整式加减的计算方法，可以判断一个四次多项式与一个三次多项式相加的可能结果．
【解答】解：一个四次多项式与一个三次多项式相加，其结果不可能是七次多项式，不可能是二次多项式、一定是四次的多项式或单项式，
故选：D．
变1
两个三次多项式相加，和的次数是（ ）
A．三
B．六
C．大于或等于三
D．小于或等于三
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则的即可求出答案．
【解答】解：由合并同类项法则可知：两个同类项合并，其次数不能超过该单项式次数，
所以两个三次多项式相加，和的次数小于或等于三，
故选：D．
变2
一个五次六项式加上一个六次七项式等于几次几项式（ ）
A．十一次十三项式
B．六次十三项式
C．六次多项式
D．六次整式
【答案】D
【分析】六次多项式，即其次数最高次项的次数六次．也就是说，每一项都可以是六次，也可以低于六次，但不可以超过六次．
【解答】解：根据多项式的定义，可知六次多项式最少有两项，并且有一项的次数是6．
故选：D．
变3
若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（ ）
A．三次多项式
B．四次七项式
C．七次多项式
D．四次多项式
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，利用整式的加减法则判断即可．
【解答】解：若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是四次多项式．
故选：D．
题型二 多项式比较大小


例1

如果，，那么与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【方法总结】比较整式与整式之间的大小关系的方法是两整式相减．若A-B>0，则A>B；A-B<0，则A
【答案】A
例2

若，，则，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．与的取值有关
【答案】C
变1
若，，则与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
变2
若，，则，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
题型三 整式的加减-看错问题


例1

某位同学做一道题：已知两个多项式A、B，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求多项式A．
【答案】
【分析】根据即可求出多项式A．
【详解】解：∵，，
∴，
化简得，
即多项式A是．
例2

由于看错了运算符号，“小马虎”把一个整式减去多项式3ab-4bc+5误认为加上这个多项式，结果得出的答案是3bc-2ab-1，问原题的正确答案应是多少？
【答案】11bc-8ab-11
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：设该整式为A，
∴A+（3ab-4bc+5）=3bc-2ab-1
∴A=3bc-2ab-1-（3ab-4bc+5）
= 3bc-2ab-1-3ab+4bc-5
=7bc-5ab-6
7bc-5ab-6-（3ab-4bc+5）
=7bc-5ab-6-3ab+4bc-5
=11bc-8ab-11
答：原题的正确答案是11bc-8ab-11．
例3

已知，小明错将“”看成“”,算得结果.
（1）计算的表达式；
（2）求正确的结果的表达式；
（3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若求（2）中代数式的值
【答案】(1)
(2)
(3)对，与无关；0

【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（2）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（3）根据（2）中的结果，即可得到结论，进而代入求值即可 ．
（1）
解：，




（2）
解：



（3）
解：将，代入，得：
原式=



变1
有一道多项式加法计算题，题目是一个多项式加，某同学误当成了减法计算，得到的结果是．请求出正确的结果．
【答案】
【分析】先利用整式的加减运算得出元多项式，再结合整式的加减运算法则求解即可．
【详解】由题意得，这个多项式为：
，
∴正确的结果为：．
变2
小明在计算多项式减去多项式时，误计算成加上这个多项式，结果得到答案．
（1）请你帮小明求出多项式；
（2）对于（1）中的多项式，当，时，求多项式的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据整式的加减进行计算即可；
（2）直接代值计算即可．
（1）
解：由题意，得
  
  
；
（2）
当，时，


．
变3
小马虎同学做一道题：已知两个多项式A、B，计算A﹣3B他误将“A﹣3B”看成“3A﹣B”，求
得的结果为x2﹣14xy﹣4y2，其中B=2x2+2xy+y2，
（1）请你计算出多项式A．
（2）若x=﹣3，y=2，计算A﹣3B的正确结果．
【分析】（1）根据3A﹣B=x2﹣14xy﹣4y2，先求出3A，然后再求多项式A；
（2）先化简A﹣3B，然后代入求值．
【解答】解：（1）由题意：3A﹣B=x2﹣14xy﹣4y2，
∴3A=x2﹣14xy﹣4y2+B，
=x2﹣14xy﹣4y2+2x2+2xy+y2
=3x2﹣12xy﹣3y2，
∴A=13（3x2﹣12xy﹣3y2）=x2﹣4xy﹣y2，
即多项式A为x2﹣4xy﹣y2；
（2）A﹣3B=x2﹣4xy﹣y2﹣3（2x2+2xy+y2）
=x2﹣4xy﹣y2﹣6x2﹣6xy﹣3y2
=﹣5x2﹣10xy﹣4y2，
当x=﹣3，y=2时，
原式=﹣5×（﹣3）2﹣10×（﹣3）×2﹣4×22
=﹣5×9+60﹣4×4
=﹣45+60﹣16
=﹣1．
即A﹣3B的正确结果为﹣1．
题型四 整式的加减-遮盖问题


例1

某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿出自己的课堂笔记，认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：，空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将等式右边的已知项移到左边，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：依题意，空格中的一项是：
．
故选：．
例2

下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意得出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：由题意得，被墨汁遮住的一项

．
故选：．
变1
小张笔记上有一道练习题______+但空格处被墨水污
染了，请问被污染的一项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：，
故选：．
变2
某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回家后拿出自己的课堂笔记，认真的复习老师在课
堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：被墨水弄
脏了，请问横线上的一项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】此题涉及整式加减运算，解答时只要把求出的值，再减去即可知道横线上的数．
【解答】解：设横线上这一项为，
则
．
故选：．
变3
小明在做一道多项式加减运算题时，不小心把一滴墨水滴在上面：●，黑点处即为被墨水遮住的部分，那么被墨水遮住的项应是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先计算出的结果，然后与题目中式子的结果对比，即可得到被墨水遮住的项．
【解答】解：

，
●，
被墨水遮住的项应是，
故选：．
题型五 整式的加减-化简求值


类型一 化简求值（1）

例1

先化简，再求值：，其中
【答案】化简得：；代入得：．
【分析】先去括号、合并同类项，然后代入x、y的值进行计算即可．
【详解】解：原式==，
当时，原式=．
例2

先化简，再求值：，其中a=2，b=．
【答案】，10
【分析】先进行整式的加减运算，再求值即可．
【详解】解：原式=
=
当a=2、b=时，
原式=
=4+6
=10．
变1
先化简，再求值：．其中，．
【答案】， ．
【分析】先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式，从而可得答案．
【详解】解：原式

当，时，
原式


变2
先化简，再求值：
（1），其中，．
（2）   其中，.
【答案】(1)-8，详见解析
(2)12，详见解析

【分析】（1）去括号并合并同类项，化简为：，代入求值即可；
（2）原式去括号，合并同类项，化简为：，代入求值即可．
（1）
解：原式=
=
=，
当，时，原式=；
（2）
原式=
=，
当，时，原式=．
变3
先化简，求值：，其中，．
【答案】 ，多项式值为3
【分析】先去括号，再合并同类项，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式=

．
当，时，
原式．
类型二 化简求值（2）

例1

已知:
（1）化简．
（2）当，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先将的值代入，再去括号，计算整式的加减即可得；
（2）将代入（1）中的结果即可得．
（1）
解：，，



．
（2）
解：因为，
所以．
例2

已知，
（1）求；
（2）当，求的值.
【答案】(1)
(2)21

【分析】（1）把A和B代入，去括号，然后合并同类项即可求解；
（2）把x和y的值代入求解即可．
（1）
解：



（2）
解：当，y=1时，
原式=


=21
变1
已知多项式.
（1）求A-3B；
（2）当x=-2，y=1时，求A-3B的值．
【答案】(1)
(2)34

【分析】（1）将A、B整体代入，然后展开合并同类项即可求解；
（2）将x=﹣2，y=1代入（1）的化简结果即可求解．
（1）
解：


∴A﹣3B的值为；
（2）
解：当x=﹣2，y=1时，

=4+14+16
=34，
∴A﹣3B的值为34．
变2
已知代数式.
（1）求2A﹣B；
（2）当x=﹣1，y=﹣2时，求2A﹣B的值．
【答案】(1)
(2)1

【分析】（1）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；
（2）把x与y的值代入计算即可求出值．
（1）
2A﹣B

=
=；
（2）
当x=﹣1，y=﹣2时，
原式=4×（﹣1）×（﹣2）﹣（﹣1）+4×（﹣2）
=8+1﹣8
=1．
类型三 化简求值（3）

例1

试说明：不论x取何值，代数式的值恒不变．
【答案】见解析
【分析】先将代数式进行化简，化简后代数式中不含x，可得不论x取何值，代数式的值是不会改变的．
【详解】解：（x3+5x2+4x﹣1）﹣（﹣x2﹣3x+2x3﹣3）+（8﹣7x﹣6x2+x3）
=x3+5x2+4x﹣1+x2+3x﹣2x3+3+8﹣7x﹣6x2+x3
=x3﹣2x3+x3+5x2+x2﹣6x2+4x+3x﹣7x+10
=10，
∵此代数式恒等于10，
∴不论x取何值，代数式的值是不会改变的．
例2

已知，．求：
（1）；
（2）若的值与无关，求的值．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）根据整式的加减法则进行计算即可；
（2）根据的值与无关可令的系数为0，求出的值即可．
(1)
解：
；
(2)
解：因为该多项式的值与无关，所以，则．
例3

（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小明观察后提出：“已知是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释．
（2）已知整式，整式M与整式N之差是．
①求出整式N．
②若a是常数，且的值与x无关，求a的值．
【答案】（1）有道理，过程见解析；（2）①-2x2+（a-2）x-1；②
【分析】（1）根据整式的加减，可得答案．
（2）①根据题意，可得N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x），去括号合并即可；
②把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．
【详解】解：（1）整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理，理由如下：
原式=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-1
=（1-2+1）x3+（-6+1+5）x2+（-7+3+4）x+（8+3-1）
=10，
由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理．
（2）①N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x）
=x2+5ax-3x-1-3x2-4ax+x
=-2x2+（a-2）x-1；
②∵M=x2+5ax-3x-1，N=-2x2+（a-2）x-1，
∴2M+N=2（x2+5ax-3x-1）-2x2+（a-2）x-1
=2x2+10ax-6x-2-2x2+（a-2）x-1
=（10a-6+a-2）x-3
=（11a-8）x-3
由结果与x值无关，得到11a-8=0，
解得：a=．
变1
已知：
（1）当时，求的值；
（2）若的值与的值无关，求的值．
【答案】(1)，5
(2)y=1

【分析】（1）先利用整式的加减运算法则化简A+2B，再代值求解即可；
（2）根据题意使含有x的项的系数为0列出方程求解即可．
（1）
解：


，
当，
∴；
（2）
解：∵的值与的值无关，
∴y-1=0，
∴y=1．
变2
已知，．
（1）若，化简；
（2）若的值与无关，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)把，代入，化简得：；再把代入，即可．
(2) 把，代入，化简得，根据的值与无关，即可求出的值．
（1）
∵；
∴


把代入
∴

（2）
∵，
∴

∵的值与无关
∴
∴
变3
已知，.
（1）当，时，求的值；
（2）若的值与y的值无关，求x的值.
【答案】(1)−1
(2)x=1

【分析】（1）把A=2x2＋xy＋3y−1，B=x2−xy代入A−2B，通过去括号、合并同类项化简后，再把x=−1，y=3代入计算即可；
（2）把A=2x2＋xy＋3y−1，B=x2−xy代入3A−6B，通过去括号、合并同类项化简后，结合题意得出关于x的等式，即可求出x的值．
（1）∵A=2x2＋xy＋3y−1，B=x2−xy，∴A−2B=（2x2＋xy＋3y−1）−2（x2−xy）=2x2＋xy＋3y−1−2x2＋2xy=3xy＋3y−1，当x=−1，y=3时，原式=3×（−1）×3＋3×3−1=−9＋9−1=−1；
（2）∵A=2x2＋xy＋3y−1，B=x2−xy，∴3A−6B=3（2x2＋xy＋3y−1）−6（x2−xy）=6x2＋3xy＋9y−3−6x2＋6xy=9xy＋9y−3=（9x+9）y−3，∵3A−6B的值与y的值无关，∴9x+9=0，∴x=-1．
课后强化

1.两个三次多项式相加，和的次数是（ ）
A．三
B．六
C．大于或等于三
D．小于或等于三
【分析】根据合并同类项法则的即可求出答案．
【解答】解：由合并同类项法则可知：两个同类项合并，其次数不能超过该单项式次数，
所以两个三次多项式相加，和的次数小于或等于三，
故选：D．
2.若A是五次多项式，B是三次多项式，则A-B一定是　 　次　 　式．
【分析】根据合并同类项的法则即可求解．
【解答】解：根据题意，五次项没有同类项，所以差的最高次是五次．
所以A﹣B的一定是五次多项式或单项式．
故答案为：五、多项或单项
3.设A=x2-4x-3，B=2x2-4x-1，若x取任意有理数．则A与B的大小关系为（ ）
A．A B．A=B
C．A>B
D．无法比较
【分析】把A与B代入A﹣B中，判断差的正负，即可确定出大小关系．
【解答】解：∵A=x2﹣4x﹣3，B=2x2﹣4x﹣1，
∴A﹣B=（x2﹣4x﹣3）﹣（2x2﹣4x﹣1）
=x2﹣4x﹣3﹣2x2+4x+1
=﹣x2﹣2＜0，
则A＜B．
故选：A．
4.小刚在复习改错本上，发现 ，空格的地方被墨水污染了，则空格处应填（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可得出，再计算即可．
【解答】解：，
，
，
空格处应填，
故选：．
5.数学课上老师讲了合并同类项，小玉回到家后拿出自己的课堂笔记，认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现了一道题目：，横线上的一项被墨水弄脏了，则被墨水弄脏的一项是　 　．
【分析】将等式右边的已知项移到左边，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：依题意，空格中的一项是：
．
故答案是：．
6.有这样一道数学题：“已知两个多项式A、B，计算2A＋B”，小聪同学误将“2A＋B”看成“A＋2B”，求得的结果为，已知B=
（1）求多项式A．
（2）若，计算原题的正确结果．
【答案】(1)
(2)18．

【分析】（1）根据和减去一个加数得到另一个加数确定出A即可；
（2）把A与B代入2A+B中去括号合并，将x的值代入计算即可求出值．
（1）
解：由题意得：A=-2（）

；
（2）
解：2A+B

，
当x=2时，原式=-4+14+8=18．
7.某同学做一道数学题，“已知两个多项式A、B，B=2x2+3x﹣4，试求A﹣2B”．这位同学把“A﹣2B”误看成“A+2B”，结果求出的答案为5x2+8x﹣10．请你替这位同学求出“A﹣2B”的正确答案．
【分析】根据题意可以求得A，从而可以求得“A﹣2B”的正确答案．
【解答】解：∵B=2x2+3x﹣4，A+2B=5x2+8x﹣10，
∴A=5x2+8x﹣10﹣2（2x2+3x﹣4）
=5x2+8x﹣10﹣4x2﹣6x+8
=x2+2x﹣2，
∴A﹣2B
=x2+2x﹣2﹣2（2x2+3x﹣4）
=x2+2x﹣2﹣4x2﹣6x+8
=﹣3x2﹣4x+6．
8.先化简，再求值：3xy-（6xy-12x2y2）＋2（3xy-5x2y2），其中
【答案】6xy－4x2y2，-10
【分析】根据去括号法则，合并同类项法则，对整式的加减化简，然后根据非负数的意义求得x、y的值，再代入求值即可．
【详解】解：3xy－(6xy－12x2y2)＋2(3xy－5x2y2)
=3xy－3xy＋6x2y2＋6xy－10x2y2
=6xy－4x2y2，
∵，
∴，，
∴x=，y=－2，
∴原式=6××(－2)－4××(－2)2=－6－4=－10．
9.先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】；
【分析】先进行整式的加减运算，然后根据平方及绝对值的非负性得出，，代入求解即可．
【详解】解：原式

；
∵，
∴，，
∴，，
原式
．
10.化简求值 ，其中.
【答案】，4
【分析】根据整式的加减运算进行化简，然后将代入进行计算即可求解．
【详解】解：原式=

=，
当时，原式=4
11.已知A=3x2﹣x＋2y﹣4xy，B=2x2﹣3x﹣y＋xy．
（1）化简2A﹣3B．
（2）当x＋y=，xy=﹣1，求2A﹣3B的值．
【答案】(1)7x+7y﹣11xy
(2)17

【分析】（1）根据整式加减法则进行化简即可；
（2）整体代入数值求值即可．
（1）
解：2A﹣3B
=2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy）
=6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy
=7x+7y﹣11xy；
（2）
∵x+y=，xy=﹣1，
∴2A﹣3B=7x+7y﹣11xy=7（x+y）﹣11xy=7×﹣﹣11×（﹣1）=6+11=17．
12.已知代数式A=﹣6x2y＋4xy2﹣5，B=﹣3x2y＋2xy2﹣3
（1）求A﹣B的值，其中|x﹣1|＋（y＋2）2=0
（2）请问A﹣2B的值与x，y的取值是否有关系，试说明理由．
【答案】(1)12；
(2)无关，见解析．

【分析】（1）先计算A﹣B的值，再将x和y的值代入可得结果；
（2）先计算A﹣2B的值，再将x和y的值代入可得结果；
（1）
解：A﹣B
=（﹣6x2y+4xy2﹣5）﹣（﹣3x2y+2xy2﹣3）
=﹣6x2y+4xy2﹣5+3x2y﹣2xy2+3
=﹣3x2y+2xy2﹣2．
∵|x﹣1|+（y+2）2=0，|x﹣1|≥0，（y+2）2≥0，
∴x﹣1=0，y+2=0，
解得：x=1，y=﹣2．
∴A﹣B=﹣3×12×（﹣2）+2×1×（﹣2）2﹣2
=﹣3×1×（﹣2）+2×1×4﹣2
=6+8﹣2
=12；
（2）
解：A﹣2B的值与x，y的取值无关．理由：
∵A﹣2B
=（﹣6x2y+4xy2﹣5）﹣2（﹣3x2y+2xy2﹣3）
=﹣6x2y+4xy2﹣5+6x2y﹣4xy2+6
=1，
∴A﹣2B的值与x，y的取值无关．
13.已知代数式．
（1）求A﹣2B；
（2）当x=﹣1，y=3时，求A﹣2B的值；
（3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】(1)5xy﹣2x+2y
(2)-7
(3)

【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接把x,y的值代入得出答案；
（3）直接利用已知得出5y=2，即可得出答案．
（1）
∵，
∴
=
=5xy﹣2x+2y；
（2）
当x=﹣1，y=3时，
原式=5xy﹣2x+2y
=5×（﹣1）×3﹣2×（﹣1）+2×3
=﹣15+2+6
=﹣7；
（3）
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴5xy﹣2x=0，
∴5y=2，
解得：．