【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题12《一元二次不等式》讲学案

一元二次不等式

1. 一元二次不等式的定义：形如（或）（其中）的不等式称为关于的一元二次不等式.

2. 一元二次不等式的解法：

方法一、（因式分解法）按照以下步骤处理

（1）化二次项系数为正数；

（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积 ，则求出两根、，那么“”型的解集为或（两根之外），“”型的解集为（两根之间）；

（3）对两次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解.

方法二、（图像法）结合对应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：

（1）将二次项系数先化为正数；

（2）观察相应的二次函数图像.

①如果图像与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根、（也可以由根的判别式来判断）.

那么，如图1所示：；

②如果图像与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根（也可以由根的判别式来判断）.

那么，如图2所示：；

③如果图像与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根，（也可以由根的判别式来判断）.

那么，如图3所示：.

例1：通过因式分解法解一元二次不等式

解不等式：

【解答】

【解析】原不等式可化为，

于是或，

∴或，

∴或，

∴原不等式的解集为.

例2：通过图像法解一元二次不等式

利用二次函数的图像，解一元二次不等式和.

【解答】，.

【解析】先作出二次函数的图像，如图所示：

根据图像可以得到抛物线与轴的交点是，

当时，，对应图像位于轴的上方，即的解集为，

当时，，对应图像位于轴的下方，即的解集为.

巩固练习

1．一元二次不等式x2+2x+1＞0的解集是（　　）

A．x≠1 B．﹣1＜x＜1 C．﹣1＜x＜0 D．x≠﹣1

2．一元二次不等式kx2+2（2k+1）x+9＞0对一切实数x恒成立，则k的取值范围是（　　）

A．（0，1） B． C． D．（0，+∞）

3．关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（　　）

A． B．

C． D．

4．关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是 　   　．

5. 满足不等式的的取值范围是                    .

6. 若，则                     .

7. 解下列不等式

（1）

（2） 

8．求下列一元二次不等式的解集．

（1）5x2﹣x﹣6＞0；     （2）﹣x2+3x+10≥0；

（3）2x2﹣5x﹣3＜0；     （4）2x﹣x2+3＜0；

（5）

9．如图所示，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A（﹣1，0）．

（1）一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的解是 　   　；

（2）一元二次不等式ax2﹣2ax+c＞0的解集是 　   　；

（3）若抛物线的顶点在直线y＝2x上，则此抛物线的解析式是 　   　．

10．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0．

解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0．

由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得

①，②

解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2，

∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

（1）一元二次不等式x2﹣25＞0的解集为 　   　；

（2）求使代数式有意义的x的取值范围；

（3）试解不等式0．