【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题13《含参数的一元二次不等式》讲学案

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含参数的一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：1. 按二次项系数的符号分类，即；2. 按判别式△的符号分类，即△＞0，△＝0，△＜0；3. 按方程的根、的大小分类，即，，.例1：讨论二次项系数解不等式：【解答】见解析【解析】，解方程得，，∴当时，解集为；当时，不等式，解集为；当时，解集为.例2：谈论根的判别式解不等式：【解答】见解析【解析】，∴当，即时，解集为R，当时，即时，解集为；当或，即时，此时两根分别为，，此时，∴不等式的解集为.例3：讨论方程解的大小解关于的不等式：【解答】见解析【解析】原不等式可转化为，即，，当时，不等式化为，∵，∴不等式的解集为；当时，不等式化为，即，∴不等式的解集为；当时，不等式化为，∵，∴不等式的解集为.综上，原不等式的解集为当时，；当时，；当时，.例4：由解集求参数已知关于的不等式的解集为，求实数的值.【解答】【解析】原不等式可化为，由题意得，解得，∴.巩固练习一．选择题1．关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可知，函数的图像，如图所示，若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得，所以实数的取值范围是，，故选：．2．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集不可能是　　A．或 B． C． D．【解答】解：当，不等式的解集为或，故选项正确；当时，不等式的解集为，故选项正确；当时，不等式的解集为，故选项正确；故选：．3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为　　A． B． C． D．【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为，所以1和3为方程的两个根，所以，，，则，等价于，即，故不等式的解集为．故选：．4．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（　　）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6【解答】C【解析】关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即 （a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，二．填空题5．设关于x的不等式ax2+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为　     　．【解答】﹣10【解析】设y＝ax2+8（a+1）x+7a+16，其图象为抛物线．对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a＜0．因为0为其中的一个解可以求得a≥，又a∈Z，所以a＝﹣2，﹣1，则不等式为﹣2x2﹣8x+2≥0和﹣x2+9≥0，可分别求得和﹣3≤x≤3，∵x为整数，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0和x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3∴全部不等式的整数解的和为﹣106．已知关于x的不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　      　．【解答】0≤a＜8【解析】①若a＝0，则原不等式等价为2＞0，此时不等式恒成立，所以a＝0．②若a≠0，则要使不等式ax2﹣ax+2＞0恒成立，则有，即，所以，解得 0＜a＜8．综上满足不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立的实数a的取值范围0≤a＜8．7．不等式x2﹣ax+3＜0存在正整数解，则a的取值范围为          　．【解答】【解析】由题意知，x∈N*，由x2﹣ax+3＜0，可得，构造函数，其中x∈N*，则a＞f（x）min，由双勾函数的单调性可知，函数f（x）在x＝1或x＝2处取得最小值，因为f（1）＝4，f（2）＝，所以，函数f（x）的最小值为，所以，.8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　．【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为，则一元二次不等式对于恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．9．已知，，关于的一元二次不等式的解集为，则　　．【解答】解：不等式的解集为，所以对应方程的解是1和2，由根与系数的关系知，，解得，，所以．故答案为：．10．已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为 　         　．【答案】x＜﹣2或x＞4．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣4）＞0，求出解集即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．解得x＜﹣2或x＞4，∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．故答案是：x＜﹣2或x＞4．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化．三．解答题11．当取什么值时，一元二次不等式对切实数都成立？【解答】解：由题意知，一元二次不等式，所以；又时，应满足△，解得；所以时，一元二次不等式对一切实数都成立．12．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是（1）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．（2）已知二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为，求关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集．【解答】（1）（﹣3，）；（2）（﹣3，﹣2）【解析】（1）因为等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，所以和2是一元二次方程ax2+5x﹣2＝0的两根，，解得a＝﹣2，∴不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0，即2x2+5x﹣3＜0，∴（2x﹣1）（x﹣3）＜0，解得﹣3＜x＜，所以不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（﹣3，）；（2）由（1）知a＝﹣2，∴二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为，∴和是一元二次方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，，解得b＝，c＝，所以不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：，即x2+5x+6＜0，解得﹣3＜x＜﹣2．所以关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（﹣3，﹣2）．13．已知关于的一元二次不等式．（1）若时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数的取值范围．【解答】解：（1）若，则不等式为，即；解得，所以不等式的解集为．（2）不等式，即为；①当时，原不等式解集为，则解集中的三个整数分别为0、1，2，此时；②当时，原不等式解集为空集，不符合题意舍去；③当时，原不等式解集为，则解集中的三个整数分别为4、5，6，此时；综上所述，实数的取值范围是，，．14．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，求关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集．【解答】【解析】∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，∴ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣3）＝ax2﹣ax﹣6a，且a＞0；∴b＝﹣a，c＝﹣6a，∴不等式cx2+bx+a＞0变形为﹣6ax2﹣ax+a＞0，即6x2+x﹣1＜0，解得；∴不等式cx2+bx+a＞0的解集为．15．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，解不等式bx2+ax＜（b﹣ax）x．【解答】{x|0＜x＜}【解析】不等式ax2+5x+b＞0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，∴﹣1和6是方程ax2+5x+b＝0的实数根，∴，解a＝﹣1，b＝6，∴不等式bx2+ax＜（b﹣ax）x化为6x2﹣x＜（6+x）x，即5x2﹣7x＜0，解得0＜x＜，∴不等式的解集为{x|0＜x＜}．16．（1）若一元二次不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）由一元二次不等式的解集为，得恒成立且，所以，解得，即实数的取值范围是．（2）当时，不等式即为，当时不等式不成立；当时，要使当时，恒成立，则，设，图象开口向上，对称轴，则△，解得，即的取值范围是，．17．若不等式的解集是．（1）解不等式；（2）若关于的一元二次不等式的解集为，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由题知，和1是方程的两根，所以，解得，所以不等式为，即，所以或，故原不等式的解集为或．（2）一元二次不等式可化为，因为其解集为，所以，解得，所以实数的取值范围为，．