【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题15《基本不等式》讲学案

基本不等式

一、基本不等式

1.对公式及的理解.

（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

2.由公式和可以引申出常用的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

PS： 可以变形为：，可以变形为：.

二、基本不等式的证明

方法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）

方法二：代数法

∵，

当时，；

当时，.

所以，（当且仅当时取等号“=”）.

三、基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

注：

1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

四、用基本不等式求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

PS：

1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.

2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.

当a=b取等号，其含义是；

仅当a=b取等号，其含义是.

综合上述两条，a=b是的充要条件.

3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.

4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值.

5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

例1：，，给出下列推导，其中正确的有       .

（1）的最小值为；

（2）的最小值为；

（3）的最小值为.

【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.

（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.

（3）∵，∴，

（当且仅当即时取等号）

∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即

例2. 已知、、都是正数，求证：

【解析】∵、、都是正数

∴ （当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

∴（当且仅当时，取等号）

即.

例3.已知，求证:

【解析】

（当且仅当即,等号成立）.

例4.已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.

【解析】

方法一：∵，∴

∵x＞0，y＞0，∴

（当且仅当，即y=3x时，取等号）

又，∴x=4，y=12

∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.

方法二：由，得

∵x＞0，y＞0，∴y＞9

∵y＞9，∴y－9＞0，

∴

（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）

∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.

巩固练习

一、单选题

1．已知，，，则下列各式中正确的是（       ）

A．  B．1 C．2 D．1

2．已知集合，则=

A． B． C． D．

3．已知，且，则的最小值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．设正实数满足，则（       ）

A．的最小值为

B．的最小值为2

C．的最大值为1

D．的最小值为2

6．若，，且，则的可能取值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A．a＋b＋≥2 B．≥ C．≥a＋b D．(a＋b)≥4

8．已知正实数a，b满足，则（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

9．已知，且，则的最小值为___________.

10．若a、且a、，且，则ab的最大值为______．

11．若正数、满足，则的最小值为________.

12．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.

四、解答题

13．已知.

（1）已知x＞0，求y的最小值；

（2）已知x＜0，求y的最大值．

14．利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：

15．已知、，求证：.

16．某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.

（1）解释的实际意义；

（2）求y的最小值.

17．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本

（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；

（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？

18．正数x，y满足.

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值．