【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题20《充分条件与必要条件》讲学案

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充分条件与必要条件一、充分条件、必要条件、充要条件的概念1. 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.2. 充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件.②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.PS：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.PS：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.例1：若: ， : ，则是的什么条件？解：∵: 或, : ∴且,∴是的必要不充分条件．例2：已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（     ）A充分不必要条件    B必要不充分条件C充要条件          D既不充分也不必要条件【解析】q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.　如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看PQ， pq，但qp，所以选择（A）.例3：设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．例4：已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.【答案】【解析】由解得，又由解得，p是q的充分不必要条件，所以或解得．   巩固练习一、单选题1．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（       ）A． B． C．  D． 2．“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．4．“关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（       ）A．-4≤a≤0 B．-4<a≤0C．-4≤a<0 D．-4<a<0二、多选题5．使成立的一个充分条件可以是（       ）A． B．C． D．6．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（       ）A． B．C． D．7．下列叙述中正确的是（       ）A．，若二次方程无实根，则B．若，则“”的充要条件是“”C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“”是“”的充分不必要条件8．设全集，则下面四个命题中是“”的充要条件的命题是（       ）A． B． C． D．三、填空题9．若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.10．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．11．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作为“x2<1”的一个充分条件的所有序号为________．12．命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命题q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____.四、解答题13．已知,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.    14．已知集合，集合.(1)若；求实数m的取值范围；(2)命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值集合.  15．已知A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x| ≥0}，C＝{x|x2﹣mx+6＜0}且“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．  16．已知P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．（1）若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．   17．已知全集为，集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）.①；②；③.  18．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断合题真假，并给出证明.（1）存在实数x，使得；（2）有些三角形是等边三角形；（3）方程的每一个根都不是奇数.（4）若，则的充要条件是.