期末典例专项练习八：最大公因数和最小公倍数的实际应用-2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

期末典例专项练习八：

最大公因数和最小公倍数的实际应用（解析版）

1．春蕾小学五年级部分学生参加社区活动。参加活动的学生可以分成9人一组，也可以分成12人一组，都正好分完。春蕾小学五年级至少有多少名学生参加社区活动？

【答案】36名

【分析】要求春蕾小学五年级至少有多少名学生参加社区活动，由题意“按9人分一组或12人分一组都正好分完”可知：学生参加社区活动的人数既是9的倍数又是12的倍数，即求9和12的最小公倍数，先把9和12进行分解质因数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘的积；进行解答即可。

【详解】9＝3×3

12＝2×2×3

则9和12的最小公倍数是：2×2×3×3＝36。

即至少有36名学生参加社区活动。

答：春蕾小学五年级至少有36名学生参加社区活动。

【点睛】解答该题关键是会求两个数的最小公倍数，并用它解决实际问题。

2．第10路公交车5分钟发一趟，第15路公交车7分钟发一趟，早晨6：30同时发车，下一趟同时发车是几时几分？

【答案】7时5分

【分析】两辆公交车早晨6：30同时发车，等到再次同时发车所经过的时间既是5的倍数，又是7的倍数，所以只要先找出5和7的最小公倍数，再计算下一趟同时发车是几时几分即可。

【详解】5和7是互质的两个数，所以5和7的最小公倍数是5×7＝35

6时30分＋35分＝7时5分

答：下一趟同时发车是7时5分。

【点睛】本题考查用最小公倍数解决实际问题及时间的推算问题。

3．林浩和李军都喜欢到图书馆去借书，林浩每6天去一次，李军每8天去一次，如果7月6日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？

【答案】7月30日

【分析】求下一次都到图书馆是几月几日，先求出他俩再次都到图书馆所间隔的天数，也就是求6和8的最小公倍数，6和8的最小公倍数是24；所以7月6日他们在图书馆相遇，再过24日他俩就都到图书馆，也就是下一次都到图书馆是7月30日。

【详解】6＝2×3

8＝2×2×2

6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24。

6＋24＝30（日）

答：那么下一次都到图书馆是7月30日。

【点睛】此题考查用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题。

4．金沙路是3路、11路公交车的一个站点。3路车每隔8分钟发一次车，11路每隔12分钟发一次车，这两路车同时发车后，至少再过多长时间有同时发车？

【答案】24分钟

【分析】3路车每隔8分钟发一次车，那么3路车的发车间隔时间就是8的倍数；11路每隔12分钟发一次车，那么11路车的发车间隔时间就是12的倍数；两辆车同时发车的间隔是8和12的公倍数，最少的间隔时间就是8和12最小公倍数。

【详解】8＝2×2×2

12＝2×2×3

2×2×2×3

＝4×2×3

＝8×3

＝24（分钟）

答：至少再过24分钟有同时发车。

【点睛】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间的间隔时间就是8和12的最小公倍数。

5．有一筐鸡蛋，3个3个地数剩2个，5个5个地数也剩2个。这筐鸡蛋最少有多少个？

【答案】17个

【分析】根据题意，3个3个地数剩2个，5个5个地数也剩2个，说明这筐鸡蛋的总个数比3和5的公倍数还多2；求这筐鸡蛋最少的个数，就是求3和5的最小公倍数，再加上2即可。

【详解】3×5＋2

＝15＋2

＝17（个）

答：这筐鸡蛋最少有17个。

【点睛】本题考查最小公倍数的实际应用，利用求两个数的最小公倍数的方法解决问题。

6．某外滩公园的喷泉由内外双层构成，外面每6分钟喷一次，里面每4分钟喷一次。19∶45同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？

【答案】19时57分

【分析】先求出6和4的最小公倍数，再在19∶45的基础上加上时间，即可求出下次同时喷水的时间。

【详解】6＝2×3

4＝2×2

4和6的最小公倍数是2×3×2＝12

19时45分＋12分＝19时57分

答：下次同时喷水是19时57分。

【点睛】本题考查了最小公倍数的求法和应用，掌握最小公倍数的求法是解题的关键。

7．学校操场周围有一条环形小路，小路一圈的长度是600米。小明和小军在这条小路上骑自行车，小明每分钟骑200米，小军每分钟骑120米。他们俩在小路的同一起点同时朝同一个方向骑行，至少过多少分钟后两人在起点再次相遇？

【答案】15分钟

【分析】根据路程÷速度＝时间，分别求出小明和小军骑一圈用的时间，然后求出它们骑一圈用的时间的最小公倍数即可解答。

【详解】600÷200＝3（分钟）

600÷120＝5（分钟）

3×5＝15（分钟）

答：至少过15分钟后两人在起点再次相遇。

【点睛】本题考查求两个数的最小公倍数，明确互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积是解题的关键。

8．“3.14数学节”时，红星小学的同学们为了做海报，要将一张长99厘米，宽36厘米的画纸裁成大小一样且尽可能大的正方形，要求不能有剩余，裁得的正方形画纸边长最长是多少厘米？可以裁出多少块这样的画纸？

【答案】9厘米；44块

【分析】分别求出99和36的因数，再找出99和36的最大公因数，即为裁得的正方形画纸的最大边长；据此分别求出大画纸的长边、宽边含有的小正方形画纸的块数，再把两个数相乘即可求出可以需要的小正方形画纸的块数。

【详解】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；

99的因数：1，3，9，11，33，99；

36和99的最大公因数是：9

99÷9＝11（块）

36÷9＝4（块）

11×4＝44（块）

答：裁得的正方形画纸边长最长是9厘米，可以裁出44块这样的画纸。

【点睛】此题的解题关键是通过求两个数的最大公因数的方法解决实际的问题。

9．手工课上，张老师要求同学们将一张长32厘米，宽20厘米的长方形彩纸，在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形。正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？

【答案】4厘米；40张

【分析】由题意，所裁的正方形彩纸边长，既是32的因数、又是20的因数，因为要求尽可能大，所以彩纸的边长是32、20的最大公因数，可先求出它们的最大公因数；再看沿着长方形彩纸的长、宽分别能裁剪出多少张正方形彩纸，再把张数相乘，就是一共可以裁成多少张正方形彩纸。

【详解】32＝2×2×2×2×2

20＝2×2×5

32和20的最大公因数是：2×2＝4。

（32÷4）×（20÷4）

＝8×5

＝40（张）

答：正方形的边长是4厘米，一共可以裁成40张。

【点睛】“无剩余”“大小相等”“尽可能大”这些提示都说明是要求得长方形彩纸的长和宽的最大公因数，因此充分理解题意是关键。

10．美宜佳超市新进货70多个鸡蛋。如果把它放进6个装的盒子，正好装完；如果把它放进8个装的盒子也正好装完。超市新进了多少个鸡蛋？

【答案】72个

【分析】根据题意可知，把鸡蛋放进6个装、8个装的盒子都正好装完，说明鸡蛋的总数是6和8的公倍数且在70～80之间；先求出6和8的最小公倍数，再找出最小公倍数在70和80之间的倍数即可。

【详解】6＝2×3

8＝2×2×2

6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24

24×3＝72（个）

答：超市新进了72个鸡蛋。

【点睛】本题考查求两个数的最小公倍数解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最小公倍数。

11．大悟水果批发市场中有一个老板发现：某一筐苹果，3个3个地数、4个4个地数或5个5个地数，都多1个。这筐苹果至少有多少个？

【答案】61个

【分析】由题意可知，这筐苹果的数量比3的倍数多1，4的倍数多1，5的倍数多1，求出比三个数的最小公倍数多1的数就是这筐苹果的最少数量，据此解答。

【详解】3、4、5的最小公倍数为：3×4×5＝60

60＋1＝61（个）

答：这筐苹果至少有61个。

【点睛】本题主要考查最小公倍数的应用，理解苹果的最少个数比三个数的最小公倍数多1是解答题目的关键。

12．两根同样型号的钢筋，一相长42m，一根长56m，把它们锯成长度相等且没有剩余的小段（每小段长度是整数），最少能锯成多少段？

【答案】7段

【分析】求出42和56的最大公因数，即为每段的长度，再用两根钢筋的长度之和除以它们的最大公因数，即可求出最少能锯成多少段。

【详解】42＝2×3×7

56＝2×2×2×7

42和56的最大公因数是：2×7＝14。

（42＋56）÷14

＝98÷14

＝7（段）

答：最少能锯成7段。

【点睛】此题考查公因数的计算应用，掌握找公因数的方法是解答的关键。

13．五（2）班学生进行队列表演，每行12人或8人都正好排完。已知这个班的学生接近50人，你知道这个班有学生多少人吗？

【答案】48人

【分析】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到50人，所以也就是求12和8的公倍数是多少，先求出两个数的最小公倍数，再适当列举出公倍数，观察哪个数和50最接近，据此解答。

【详解】12＝2×2×3

8＝2×2×2

12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24

所以12和8的公倍数有24、48、72等等。

因为这个班的学生接近50人，所以人数是：

24×2＝48（人）

答：这个班有48人。

【点睛】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。

14．某校举行校庆活动，五（1）班同学表演团体操，每排8人或每排6人都正好排完。已知这个班的学生不超过50人，五（1）班学生最多有多少人？

【答案】48人

【分析】这个班的总人数每排8人或每排6人都正好排完，则总人数是8和6的公倍数，根据题意求出50以内两个数的最大公倍数即可。

【详解】

8和6的最小公倍数为：2×4×3＝24

24×1＝24

24×2＝48

24×3＝72，72＞50不符合题意。

因为24＜48＜50，所以五（1）班学生最多有48人。

答：五（1）班学生最多有48人。

【点睛】本题主要考查公倍数的应用，求出符合题意的两个数的公倍数是解答题目的关键。

15．小红买来5张颜色不同、大小相同的长方形彩纸，长80厘米、宽50厘米，如果把一张大长方形纸剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形纸片的边长最大是多少？5张纸可以剪多少个？

【答案】10厘米；200个

【分析】由题意可知，正方形的边长既是长的因数，又是宽的因数，求正方形的最大边长就是求两个数的最大公因数，求出80和50的最大公因数，可以剪的正方形个数＝长方形的面积÷正方形的面积×彩纸的张数，据此解答。

【详解】80和50的最大公因数是10，即小正方形纸片的边长最大是10厘米；

（80×50）÷（10×10）×5

＝4000÷100×5

＝40×5

＝200（个）

答：剪出的小正方形纸片的边长最大是10厘米，5张纸可以剪200个。

【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，掌握求两个数最大公因数的方法是解答题目的关键。

16．学校组织大扫除，一班来了32人，二班来了40人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？

【答案】8人

【分析】由题意，每个小组的人数能同时分别被两个班的人数整除，也就是两个班人数的公因数，要使每组人数最多，就是求两个班人数的最大公因数。

【详解】32＝2×2×2×2×2

40＝2×2×2×5

2×2×2＝8（人）

答：要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有8人。

【点睛】通过提取关键信息，如：人数相同、最多，再结合最大公因数的意义来确定题目是要求最大公因数。

17．五年一班有学生42人，五年二班有学生36人，如果把两个班的学生分别分成若干小组参加绿化校园活动，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？

【答案】6人

【分析】根据题意，要使两个班每个小组的人数相同，那么每个小组的人数是42和36的公因数；求每个小组最多的人数，就是求42和36的最大公因数。42、36分解质因数后，把公有的质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。

【详解】42＝2×3×7   

36＝2×2×3×3

42和36的最大公因数是：2×3＝6

即每组最多有6人。

答：每组最多有6人。

【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最大公因数。

18．幼儿园准备把24千克草莓和18千克苹果平均分给幼儿园的几个班。如果草莓和苹果都没有剩余，且保证分到草莓和苹果的班级个数相同，最多能分给多少个班？

【答案】6个

【分析】把24千克草莓和18千克苹果平均分都没有剩余，说明分到草莓和苹果的班级数是24和18的公因数，求最多能分到的班级，则是求24和18的最大公因数，按照求最大公因数的方法，解答即可。

【详解】24＝2×2×2×3

18＝2×3×3

24和18的最大公因数是：2×3＝6。

即最多分给6个班。

答：最多能分给6个班。

【点睛】此题的解题关键是灵活运用求两个数的最大公因数的方法解决实际的问题。

19．有一张长方形纸，长48厘米，宽36厘米。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？最多能剪多少个？先画一画再用算式表示你的思考过程。

【答案】图见详解；12厘米；12个

【分析】如果剪完正方形后长方形纸没有剩余，那么正方形的边长既是长的因数，又是宽的因数，正方形的最大边长就是长和宽的最大公因数，求出长上面可以剪正方形边长的个数和宽上面可以剪正方形边长的个数，最后相乘求出正方形的总个数，据此解答。

【详解】

48和36的最大公因数为：2×2×3＝12

（48÷12）×（36÷12）

＝4×3

＝12（个）

答：正方形的边长最大是12厘米，最多能剪12个。

【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，准确求出两个数的最大公因数是解答题目的关键。

20．有两根铁丝，一根长48厘米，另一根长60厘米，要截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长是多少厘米？一共可以截成几段？

【答案】9段

【分析】根据题意，可计算出48与60的最大公因数，即是每小段的最长，然后再用48除以最大公因数加上60除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。

【详解】48＝2×2×2×2×3

60＝2×2×3×5

48和60的最大公因数是：2×2×3＝12。

即这段铁丝最长是12厘米。

48÷12＝4（段）

60÷12＝5（段）

4＋5＝9（段）

答：每段最长是12厘米，一共可以截成9段。

【点睛】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长长度，然后再计算每根铁丝可以截成的段数，再相加即可。