期末典例专项练习三：表面积的增减变化问题-2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

期末典例专项练习三：表面积的增减变化问题

（解析版）

一、填空题。

1．有一个长方体，如果长减少2厘米，就变成一个正方体，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的长是(        )厘米，体积是(        )立方厘米。

【答案】     6     96

【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用96÷6即可求出正方体一个面的面积，进而求出正方体的棱长，也就是长方体原来的宽和高，根据题意可知，长方体原来的长比正方体的棱长多2厘米，据此求出长方体的长，然后根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积。

【详解】96÷6＝16（平方厘米）

16＝4×4

长方体的宽和高是4厘米，

长方体的长：4＋2＝6（厘米）

长方体的体积：6×4×4＝96（立方厘米）

原来长方体的长是6厘米，体积是96立方厘米。

【点睛】本题考查了长方体体积公式和正方体表面积公式的灵活应用，关键是熟记公式。

2．用两个棱长是5分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是(        )平方分米。

【答案】250

【分析】根据题意，用两个棱长是5分米的正方体拼成一个长方体，那么拼成的长方体的长是（5×2）分米，宽和高都是5分米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。

【详解】长方体的长是：5×2＝10（分米）

长方体的宽是5分米，高是5分米；

长方体的表面积：

（10×5＋10×5＋5×5）×2

＝（50＋50＋25）×2

＝125×2

＝250（平方分米）

拼成的长方体的表面积是250平方分米。

【点睛】本题考查正方体、长方体的拼接以及长方体的表面积公式的运用，也可以根据拼成的长方体的表面积比原来2个正方体的表面积少2个正方形的面积进行解答。

3．有一个底面是正方形的长方体，表面积是70平方分米，正好截成了3个体积相等的正方体，每个正方体的表面积是(        )平方分米。

【答案】30

【分析】如图，原长方体共（4×3＋2）个正方形的面，原长方体表面积÷正方形个数，求出一个正方形面积，正方形面积×6＝正方体表面积，据此列式计算。

【详解】70÷（4×3＋2）

＝70÷（12＋2）

＝70÷14

＝5（平方分米）

5×6＝30（平方分米）

每个正方体的表面积是30平方分米。

【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体和正方体表面积公式。

4．一个长方体的高增加2分米，就变成了一个棱长为11分米的正方体，原长方体的棱长总和是(        )分米，体积是(        )立方分米。

【答案】     124     1089

【分析】根据题意可知，原来长方体的长为11分米、宽为11分米、高为（11－2）分米，根据长方体的棱长和公式，用（11＋11＋9）×4即可求出原长方体的棱长和，根据长方体的体积公式，用11×11×9即可求出原长方体的体积。

【详解】11－2＝9（分米）

（11＋11＋9）×4

＝31×4

＝124（分米）

11×11×9

＝121×9

＝1089（立方分米）

原长方体的棱长总和是124分米，体积是1089立方分米。

【点睛】本题考查了长方体棱长和公式和体积公式的灵活应用。

5．将两个完全一样的小正方体拼成一个长方体，原来每个小正方体的每个面的面积是4平方厘米，拼成后的长方体的表面积是(      )平方厘米。

【答案】40

【分析】一个小正方体有6个面，两个小正方体有12个面；将两个完全一样的小正方体拼成一个长方体后，得到的长方体的总面积跟拼接前的两个小正方体的总面积相差2个面；因此，拼成后的长方体的表面积＝原来正方体的一个面的面积×（12－2），据此解答。

【详解】4×（12－2）

＝4×10

＝40（平方厘米）

【点睛】此题考查了立体图形的拼接，求拼接后的表面积关键是弄清楚拼接前后面数的变化。

6．如图，把一根长4米，横截面为正方形的长方体木料截成3段，表面积增加了64平方分米，原来这根木料的体积是(        )立方米，表面积是(        )平方米。

【答案】     0.64     6.72

【分析】看图，表面积增加的是4个底面积。用表面积增加的部分64平方分米除以4，求出长方体的底面积。根据底面积，求出这根木料的宽和高。最后，根据长方体的表面积和体积公式，列式求出原来这根木料的体积以及表面积。

【详解】64÷4＝16（平方分米）

4×4＝16（平方分米）

4分米＝0.4米

4×0.4×0.4＝0.64（立方米）

4×0.4×4＋0.4×0.4×2

＝6.4＋0.32

＝6.72（平方米）

所以，原来这根木料的体积是0.64立方米，表面积是6.72平方米。

【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。

7．把一个棱长为5分米的正方体切成两个长方体，表面积增加(        )平方分米。

【答案】50

【分析】把一个棱长为5分米的正方体切成两个长方体，表面积比原来增加了2个正方形面，据此解答。

【详解】5×5×2

＝25×2

＝50（平方分米）

表面积增加50平方分米。

【点睛】本题考查了立体图形的切拼，注意切一刀会增加2个面。

8．一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加100平方厘米，原来方钢的体积是(        )立方分米。

【答案】7.5

【分析】把方钢横截成3段时，表面积比原来增加了4个横截面的面积，即100平方厘米，据此求出一个横截面的面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，据此代入数值进行计算即可。

【详解】100÷4＝25（平方厘米）

3米＝300厘米

25×300＝7500（立方厘米）＝7.5（立方分米）

【点睛】本题考查长方体的体积，明确把方钢横截成3段时，表面积比原来增加了4个横截面的面积是解题的关键。

9．一根长方体木料，长20dm，宽12dm，高10dm，要把它锯成两个相同的长方体，表面积最多增加(      )dm2，最少增加(      )dm2。

【答案】     480

     240

【分析】根据长方体的特征，把这个长方体锯成两个相同的长方体，增加了两个截面，要使表面积增加最多，也就是横截（与底面平行）；要使表面积增加最少，也就是纵截（与左、右面平行）；再根据长方形面积公式：S＝ab计算，据此解答。

【详解】表面积增加最多：

20×12×2

＝240×2

＝480（dm2）

表面积增加最少：

12×10×2

＝120×2

＝240（dm2）

【点睛】此题考查了长方体的特征以及表面积的计算方法，关键是弄清楚怎样锯表面积增加的最多或最少。

10．一个正方体的棱长是8cm，它的表面积是(        )cm2，如果将它“十字形”切割成4块（如下图），表面积增加了(        ) cm2。

【答案】     384     256

【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出这个正方体的表面积；

如果将正方体“十字形”切割成4块，要切2刀；每切1刀增加2个截面的面积，切2刀增加4个截面的面积；每个截面是边长为8cm的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可求出增加的表面积。

【详解】正方体的表面积：

8×8×6

＝64×6

＝384（cm2）

表面积增加了：

8×8×4

＝64×4

＝256（cm2）

【点睛】本题考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是明白正方体切割后，增加了哪些面的面积，以此为突破口，利用面积公式求解。

二、解答题。

11．如图，将4.5米长的长方体木块沿横截面平均截成三段后，表面积比原来增加了72平方分米。这个长方体木块原来的体积是多少立方分米？

【答案】810立方分米

【分析】把4.5米长的长方体木块沿横截面平均截成三段后，表面积比原来增加了4个横截面的面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，据此代入数值进行计算即可。

【详解】4.5米＝45分米

72÷4×45

＝18×45

＝810（立方分米）

答：这个长方体木块原来的体积是810立方分米。

【点睛】本题考查长方体的体积，明确把长方体截成三段后，表面积比原来增加了4个横截面的面积是解题的关键。

12．一盒明信片的形状是长12厘米、宽8厘米、高3厘米的长方体，现在把3盒这样的明信片包装在一起成为一个长方体的礼品盒，怎样包装最节省包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计）

【答案】将3个最大的面长12厘米，宽8厘米重合，拼成一个长12厘米，宽8厘米，高9厘米的长方体最节省包装纸；552平方厘米

【分析】要想包装最节省包装纸，大长方体的表面积最小，即把明信片的最大的面重合在一起，组合后的长方体的长和宽不变，高是原来小长方体高的3倍，即：大长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是3×3＝9厘米，根据长方体的表面积公式，求出大长方体的表面积，即可解答。

【详解】将3个最大的面长12厘米，宽8厘米重合，拼成一个长12厘米，宽8厘米，高3×3＝9厘米的长方体最节省包装纸。

（12×8＋8×9＋12×9）×2

＝（96＋72＋108）×2

＝276×2

＝552（平方厘米）

答：至少需要552平方厘米的包装纸。

【点睛】解答本题的关键是按什么样的方法组成的长方体的表面积最小，以及长方体表面积公式的应用，熟记公式。

13．把三个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与三个正方体的表面积之和谁大？相差多少？

【答案】三个正方体表面积之和大；相差36平方厘米

【分析】拼成的长方体的长、宽、高分别是3厘米、3厘米和9厘米，根据长方体的表面积公式求出它的表面积。根据正方体的表面积公式，求出一个正方体的表面积，再乘3，求出三个正方体的表面积之和。最后，比较出表面积谁更大，同时利用减法求出相差多少。

【详解】3×3＝9（厘米）

长方体表面积：

3×3×2＋3×9×4

＝18＋108

＝126（平方厘米）

三个正方体表面积之和：3×3×6×3＝162（平方厘米）

162＞126

162－126＝36（平方厘米）

答：三个正方体的表面积之和更大，与长方体的表面积相差36平方厘米。

【点睛】本题考查了长方体、正方体的表面积，解题关键是熟记公式。

14．一根3米的方钢，沿横截面把它截成3段时，表面积增加了80平方分米，原来方钢的体积是多少立方米？

【答案】0.6立方米

【分析】把方钢截成3段时，需要锯2次，每锯一次增加2个面的面积，所以共增加了2×2个面，用增加的面积除以4，求出1个横截面的面积，即长方体方钢的底面积，根据长方体的体积公式，再乘方钢的长度，即可求出原来方钢的体积。

【详解】2×（3－1）

＝2×2

＝4（个）

80平方分米＝0.8平方米

0.8÷4×3

＝0.2×3

＝0.6（立方米）

答：原来方钢的体积是0.6立方米。

【点睛】此题的解题关键是理解立体图形切割后表面积的变化情况，灵活运用长方体的体积公式求解。

15．一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？

【答案】192立方厘米

【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。

【详解】96÷4＝24（平方厘米）

24÷3＝8（厘米）

8×8×3

＝64×3

＝192（立方厘米）

答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。

【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。

16．把一个长方体木块截成两个完全一样的正方体（如图），这两个正方体的棱长之和比原来长方体增加了48厘米，原来长方体木块的表面积是多少平方厘米？

【答案】360平方厘米

【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加48厘米，即增加的8条棱的长度和是48厘米，进而用48÷8＝6厘米得出一条棱的长度，则原长方体的长是6×2＝12厘米，宽和高都是6厘米，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此计算即可。

【详解】48÷8＝6（厘米）

6×2＝12（厘米）

（12×6＋12×6＋6×6）×2

＝（72＋72＋36）×2

＝180×2

＝360（平方厘米）

答：原来长方体木块的表面积是360平方厘米。

【点睛】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据长方体的表面积计算公式进行解答。

17．三名同学观察并测量了一个长方体后，描述了以下信息。

甲：如果高增加2分米，它恰好是一个正方体。

乙：长方体的前后左右四个面的面积之和是60平方分米。

丙：它的底面周长是20分米。

请你根据他们描述的信息，求出这个长方体的体积。

【答案】75立方分米

【分析】由题意可知，这个长方体上下两个面是正方形，前后左右四个侧面是形状相同的长方形，根据底面周长求出底面正方形的边长，再利用长方体四个面的面积之和求出一个面的面积，并根据底面正方形的边长求出长方体的高，最后利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。

【详解】底面正方形边长：20÷4＝5（分米）

长方体的高：60÷4÷5

＝15÷5

＝3（分米）

长方体的体积：5×5×3

＝25×3

＝75（立方分米）

答：这个长方体的体积是75立方分米。

【点睛】掌握长方体的特征并求出长方体的长、宽、高是解答题目的关键。

18．一根长9米的长方体木料，横截成3段，表面积增加了100平方分米，原来这根木料的体积是多少立方米？

【答案】2.25立方米

【分析】长方体截成3段，表面积增加了4个横截面，先用增加的总面积÷4即可求出横截面的面积，再乘长方体的长即可求出长方体的体积。

【详解】100平方分米＝1平方米

1÷4×9

＝0.25×9

＝2.25（立方米）

答：原来这根木料的体积是2.25立方米。

【点睛】本题考查了长方体的体积的灵活应用和立体图形的切割。

19．一个正方体的底面不变，高增加了3厘米，得到了一个长方体，这个长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了108平方厘米，原来正方体的体积是多少立方厘米？

【答案】729立方厘米

【分析】由题意可知表面积增加的部分是以原来正方体的底面边长为高是3厘米的4个侧面的面积，由此可以求出增加部分一个侧面的面积，进而求出原来正方体的底面边长，然后根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。

【详解】108÷4＝27（平方厘米）

27÷3＝9（厘米）

9×9×9

＝81×9

＝729（立方厘米）

答：原来正方体的体积是729立方厘米。

【点睛】抓住正方体的高的变化特点，得出增加的表面积是长方体上高3厘米的侧面积，从而求出原正方体的底面周长，利用正方形的周长公式即可求出原正方体的棱长。

20．一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

【答案】490立方厘米

【分析】根据如果高减少3厘米就成了一个正方体，可知这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少84平方厘米，84÷4÷3＝7厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后7＋3＝10厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的体积即可。

【详解】84÷4÷3

＝21÷3

＝7（厘米）

7＋3＝10（厘米）

7×7×10

＝49×10

＝490（立方厘米）

答：原长方体的体积是490立方厘米。

【点睛】根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为3厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体体积的计算方法即可求解。