压轴专题05 平面向量综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西5省通用）

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 压轴专题05 平面向量综合问题小题综合

一、单选题
1．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.
【详解】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；
由可知当在上的投影长最长时，即 与圆 相切时，可取到最小值；

，
当时，，所以的最小值为.
故选：B.
2．（2022秋·云南红河·高三云南省泸西县第一中学校考期末）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到和两点的距离之和的最小值的求解问题，根据直线与圆相交可知所求最小值即为两点间距离，由此计算得到结果.
【详解】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和，
和两点确定的直线为，即，
原点到的距离，
与相交，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将所求模长之和的最值通过几何意义进行等价转化，将问题转化为单位圆上的点到两个定点距离之和的最值的求解问题.
3．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】，，
，，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设
又，知，解得，
又E为的外心，，
，为等边三角形，，
∴，∴．
故选：A

4．（2022秋·山西朔州·高三统考期末）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向量所在直线为OA（A为向量的终点），当点P位于与直线OA垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.
【详解】如图所示，向量所在直线为OA（A为向量的终点），则，则设与直线OA垂直且与圆相切的直线为，所以圆心到直线的距离，

根据图形可知，当时投影最大，设此时与直线OA交于B，
易得，直线OA：，联立：，解得：，
所以，则向量在向量方向上投影的最大值为.
故选：B.
5．（2022春·安徽滁州·高三校考期中）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析位置,寻求临界值.
【详解】设.
如图,不妨设.
设为AB的中点,为OC的中点,为BD的中点,为AD的中点.
则.

,点在平行四边形内(含边界).
由题知恒成立.
为了使最大,则思考为钝角,即思考点在第一或第四象限.
思考临界值即与重合,与重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变的位置，使得
所以,即

即,即.
所以.
所以

所以向量与夹角的最大值的余弦值为
故选:A.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出所在的位置.
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）如图，在ΔABC中，∠BAC=，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】由题可知，
根据三点共线即可求出，所以，
即 ，
又△ABC的面积为，可知，，求得，再根据基本不等式，即可求出的最小值．
【详解】因为，所以，由三点共线可得，
，即，所以，由向量的模的公式可得，
，
而，可得，
根据基本不等式，
，
所以的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量共线定理推论、向量的模的计算公式以及基本不等式的应用，意在考查学生综合运用知识的能力，属于难题．
7．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．
由，，
两边平方，得
即

，
当且仅当，即时取等号，即，
∴线段CD长度的最小值为．
故选：D．
8．（2022春·吉林·高三吉林一中校考阶段练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.
【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
9．（2022·山西晋城·统考三模）在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到 的取值范围
【详解】设，则，解得（舍去）或=4，
所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，
由题可知k<0.当直线与相切时，解得k=或.
所以k的取值范围为
故选：A
10．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）已知向量的夹角为60°的单位向量，若对任意的､，且，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案.
【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则
所以
所以对任意的，且，则
所以，即，
设，即在上单调递减，
又时，，解得，
所以在上单调递增；
在上单调递减，所以，
故选：A．
11．（2022春·安徽合肥·高三校考阶段练习）设点，，动点满足，设点的轨迹为，圆：，与交于点，为直线上一点（为坐标原点），则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意先求动点P的轨迹的方程,联立和求出的坐标,如图由平面几何知识和向量数量积的运算规则可求得.
【详解】
设点P(),由可得,
化简得动点P的轨迹的方程为:,联立
解得:,如图所示,有平面几何知识可得:,
向量数量积的运算规则可得:
.
故选:C.
【点睛】本题考查了由已知条件求动点轨迹的问题,考查了求两圆交点坐标的运算,借助于平面几何知识求向量的数量积的问题,考查了综合运算能力,属于中档题.

二、多选题
12．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ABC
【分析】根据，计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；设中点为，进而结合正弦定理得可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；

对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；

对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）平面向量，，，满足，且，，则下列说法正确的是（    ）
A． B．在方向上的投影向量为
C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用向量的数量积运算律和模的运算求解，根据投影向量定义求解在方向上的投影向量，构造如图所示的几何图形集合几何意义求的最小值，作出满足题意的几何图形求解的最小值.
【详解】因为，且，
所以，所以，
，所以，的夹角为，
因为，所以A正确;
在方向上的投影向量为,所以B错误;

如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆，
则，
因为，所以,符合题意，
由图可知，当同过两圆的圆心时最大，
此时的最大值等于圆心距加半径为，
所以C正确;

作如图，,
所以,
令，由得,
在射线上取点，使得,过作直线,
则有点在直线l上，取中点,过作，垂足为,
连接,


当且仅当重合时取得等号，所以的最小值为.
所以D正确.
故选:ACD.
【点睛】结合向量间的关系作出满足题意的几何图形，利用几何意义求解相关最值问题是向量最值问题有效的手段.
14．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（    ）
A．-3 B． C．20 D．15
【答案】BD
【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，设，得到，式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，作出辅助线，得到到点距离最值，求出的取值范围，选出正确答案.
【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向，所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系，

所以，，圆C的方程为，
设，
则，
式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，

连接直线，交圆C于两点，
当位于点时，到点距离最大，最大距离为，
此时最大，最大为，
当位于点时，到点距离最小，最小距离为，
此时最小，最小为，
所以的取值范围是，
其中，.
故选：BD.
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）已知平面向量，，满足，，，则（    ）
A．点C轨迹是圆 B．的最大值是3
C．的最小值是1 D．的取值范围是
【答案】BD
【分析】先假设点A，B固定，即与夹角是定值，设点A关于O的对称点为，根据得到，即点C的轨迹是一个点或以为圆心，以为半径的圆；若点A，B不固定，即与夹角不是定值，可判断A错误；
结合，的几何意义，数形结合得到，B正确；
C选项可举出反例；
D选项，求出，得到，求出当时，取得最大值为5，当时，取得最小值0，得到的取值范围.
【详解】对A,先假设点A，B固定，即与夹角是定值.
设点A关于O的对称点为，由得，，
当时，，此时点C的轨迹是一个点，
当时，点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.
若点A，B不固定，即与夹角不是定值，此时点C的轨迹也在变动，故A错误；
对B，∵，，
∴点A，点B在以O为圆心，分别以1，2为半径的圆上，，∴B正确；
对C，当点A，B固定且时，，
∵在以O为圆心，以1为半径的圆上，而点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
∴点A在点C的轨迹上，即，∴C错误；
对D，由于的最大值为，最小值为.
∵，，根据假设，.
∵，∴，.
如果点A，B不固定，则是变量，且，
∴当时，取得最大值为5，当时，取得最小值为0，所以D正确.
故选：BD
【点睛】向量相关的压轴题，通常要数形结合进行求解，结合向量的线性运算和数量积运算进行求解，本题关键在于要先假设点A，B固定，即与夹角是定值，设点A关于O的对称点为，根据得到，即点C的轨迹是一个点或以为圆心，以为半径的圆，再讨论四个选项的正误.

三、填空题
16．（2022春·安徽合肥·高三校考阶段练习）如图，已知圆半径为2，是圆内一定点，，圆上的两动点满足，存在点使构成矩形，则的取值范围是：________.

【答案】
【分析】先证明，得到，得到答案.
【详解】首先证明在为矩形平面内的任意一点，则，
如图所示：设，，，
则，
，故.
故，故，
设，故.
故答案为：.

【点睛】本题考查了向量的数量积，确定是解题的关键.
17．（2022秋·安徽滁州·高三校考期末）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为________.
【答案】
【分析】取的中点D，则可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.
【详解】设中点为，则 ，
所以，
∴，
∴，
由得角为锐角，
故，
当且仅当，时最小，又在递减，故此时最大.
此时，恰有，即为直角三角形，
∴.
故答案为：.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．（2022·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设的面积为S，，已知，，则函数的值域为______．
【答案】
【分析】由向量数量积公式和三角形面积公式得到，求出，三角恒等变换化简得到，结合的范围，结合正弦函数图象求出值域.
【详解】由题意，，
所以，所以，
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，最小值为；
当，即时，取得最大值，最大值为；
故.
故答案为：
19．（2022·山西太原·山西大附中校考三模）如图，已知点是平行四边形的边的中点，点在线段上，且满足，其中数列是首项为1的数列，则数列的通项公式为_____________

【答案】
【分析】根据平面向量的运算可得，再根据向量共线的性质可得，再根据条件得到，从而构造等比数列求解即可
【详解】为中点，，，
又、、三点共线，，又，
，化简可得，，又
数列是首项为4、公比为2的等比数列.，.
故答案为：
20．（2022秋·山西·高三统考阶段练习）已知G为的内心，且，则___________．
【答案】##
【分析】本题利用结论得，结合本题的条件与正弦定理得，即，同理得到另外两角相等，则得到的大小.
【详解】首先我们证明一个结论：
已知是所在平面上的一点，,,为的三边长，若,则是的内心.
证明:,
则,
等式两边同时除以得，
，
表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知表示的角平分线方向上的向量，
则为的角平分线，同理、分别为的角平分线，所以是的内心.
于是我们得到本题的一个结论．
又∵，
∴由正弦定理与题目条件可知．
由可得，
可得，同理可得，即．
故答案为：.
【点睛】结论点睛：三角形四心与向量的关系结论：
重心：1.已知是所在平面上的一点，若,则是的重心.
2.已知是所在平面上的一点，若,则是的重心.
垂心：1.已知是所在平面上的一点，若,则是的垂心.
2.已知是所在平面上的一点，若
则是的垂心.
内心：本题中的结论.
外心：1.已知是所在平面上的一点，若,则是的外心.
2.已知是所在平面上的一点，若
,则是的外心.
21．（2022春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知圆，点，若上存在两点满足，则实数的取值范围___________
【答案】
【分析】令，根据得，由在圆上代入坐标，整理可将问题转化为两个圆有公共点，则两圆的圆心距离在内，进而求的范围.
【详解】由题意，可得如下示意图，

令，由知：，又在上，
∴，整理得，即两圆有公共点，
∴两圆的圆心距离为，半径分别为、，故当时符合题意，
∴，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，利用向量共线的坐标表示求B坐标，将点代入圆的方程将问题转化为两圆有公共点，求参数范围.
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考期末）椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，已知，，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】由已知向量关系化简求出，得到，再根据已知向量关系求出，得到，再取的中点，由得到勾股定理，进而得到关于、的方程，即可求出离心率.
【详解】解：且



，
设的中点为，则
，

代入数据并整理得：，等式两边同时除以得：

解得或（舍去）
所以椭圆的离心率为
故答案为：.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求离心率的值，关键在于根据题目已知的等量关系或者根据题目中的几何关系构建关于、、的等量关系，进而列出方程求解.
23．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知三个内角A，B，C的对边a，b，c依次成等比数列，且，，点T为线段AB（含端点）上的动点，若满足的点T恰好有2个，则实数t的取值范围为______．
【答案】
【分析】由三角恒等变换与等比中项的性质可得为等边三角形，设BC中点M，则，由题意若满足的点T恰好有2个，即需要，故，求解即可.
【详解】由，
又由，
所以，
∴，∴，或(舍).
，∴，从而，∴，
即为等边三角形．
设BC中点M，则，
，
由题意若满足的点T恰好有2个，即需要，
故，
∴实数t的取值范围为．
故答案为：.

【点睛】本题的解题关键是将数量积转化为，结合题意从而根据点到线段的距离以及几何知识可知
的范围，再解不等式即可求出.

24．（2023春·安徽阜阳·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为_____________
【答案】
【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根据双曲线离心率的定义求解即可.
【详解】设直线交轴于点，如图，

设的外接圆半径为，由，
有，
故，所以直线过的内心，
设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、，

由切线长定理可得，，，
所以，，
结合图形可得，所以，，
故的内心的横坐标为，
因为点在直线上，所以点为的内心.
由可得，
所以，，记，
设，则，所以，，
所以，点在直线上，又因为，故点与点重合，
且有，
由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等，
故，同理可得，
令，则，且，
故.
则双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点为的内心，再结合角平分线定理推导出，以及，再利用双曲线的定义来进行求解.
25．（2022·安徽合肥·合肥市第五中学校考模拟预测）如图所示，点为的边上一点，，为上一列点，且满足：，其中数列满足，且，则______

【答案】
【分析】首先利用向量的线性运算进而得到，整理得，利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用通项公式求出数列的和．
【详解】因为点D为△ABC的边BC上一点，且，
∴，因为为上一列点，
所以又，
即： ，
所以，
即 .
故答案为．
【点睛】本题考查了平面向量线性运算的应用，数列的递推关系式求通项公式，分组求数列的前n项和，也考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
26．（2022秋·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）在中，，D为BC上一点，E为AD上一点，F为EC上一点，且，，，，则____________．
【答案】
【分析】先利用表达，利用数量积为0得到，设，利用余弦定理求出，作出辅助线，设出，平方后求出，得到F为EC上靠近点E的三等分点，求出，得到答案.
【详解】设，
，，
则


，
解得：或（舍去），
所以，即，
，故，
在三角形中，，
解得：，，
在三角形中，，
取中点为，因为，所以，

设，
且，所以，
即，两边平方得：
，
即，
整理得：，
即，解得：，
，所以M为FC的中点，F为EC上靠近点E的三等分点，
所以，
所以，故.
故答案为：
【点睛】本题解题关键在于作出辅助线，利用数量积为0先得到，再结合余弦定理和数量积运算法则求出，难度大，综合性强.

四、双空题
27．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知抛物线E：的焦点为F，现有不同的三点A，B，C在抛物线E上，且，，则p的值是____________；若过点的直线PM，PN分别与抛物线E相切于点M，N，则____________.
【答案】     4     ##8.5
【分析】根据向量的坐标运算化简可得，再利用抛物线的定义求出，根据切线的方程可求出直线的方程，根据直线过焦点利用弦长公式
求解.
【详解】设，
则,
，即，
又，解得.
设，由可得，则，
所以直线PM的方程为即①，
同理直线PN的方程为②
由直线均过点P可得，，
即直线的方程为，过焦点，
联立，消元得，
所以，
，
故答案为：4；
28．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则______；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为______．



【答案】     4    
【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；
第二空：由为的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可.
【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为，
椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
不妨设点在双曲线的右支上，
由双曲线的定义：，
由椭圆的定义：，
可得：，
又，由余弦定理得：
，
即，
整理得：，
所以：；
②为的内心，
所以为的角平分线，则有，同理：，
所以，
所以，即，
因为，
所以，故，
为的内心，三点共线，
即为的角平分线，则有，又，
所以，即，
因为，
所以，故，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：4，.
【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，
（1）直接法：由题意知道利用公式求解即可；
（2）一般间接法：由题意知道或利用的关系式求出，在利用公式计算即可；
（3）齐次式方程法：建立关于离心率的方程求解.
29．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则___________，设数列，则的通项公式为___________.

【答案】         
【分析】根据平面向量线性运算得到，结合题干条件得到，整理后得到，从而根据求出，得到，构造法得到为等比数列，求出的通项公式.
【详解】因为是边上一点，且，
故，
为直线上一点列，则，
因为，
则，故，
整理得：，即，
若，则，解得：，此时，解得：，
故为常数为1的数列，但，不合要求，故，
故，
令得：，
因为，所以，解得：
令，则，
即，因此，
所以为等比数列，公比为，首项为，
故，故
故答案为：，
【点睛】由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法，
（1）若，采用累加法；
（2）若，采用累乘法；
（3）若，可利用构造进行求解；
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，为圆上的两个动点，，是的中点，则点的轨迹方程是______；若点为直线上一动点，则的最小值为______.
【答案】          6
【分析】利用相关点代入法解得点的轨迹方程；利用极化恒等式求出的最小值为6.
【详解】圆圆心为，半径2，是的中点，，所以，，
点的轨迹方程是，，
点为直线上一动点，点是上一点，圆心到的距离是4，
所以的最小值是3，的最小值为6.
故答案为：； 6