天津市宝坻区第一中学2022-2023学年高一数学下学期阶段练习四试题（Word版附解析）

宝坻一中高一年级阶段性练习四数学科目试卷

一、单选题

1. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简，可得与.

【详解】，

，，

所以，

故选：A.

2. 已知平面向量与夹角是，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案

【详解】由可得，

因为平面向量与的夹角是，且

所以

故选：C

3. 已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（    ）

A. 若且，则 B. 若且，则

C. 若且，则 D. 若且，则

【答案】D

【解析】

【分析】对于A：直接判断出m与n可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断出m与n可能平行，也可能异面；对于C：直接判断出与可能相交，也可能平行；对于D：利用线面垂直的判定定理直接判断.

【详解】对于A：若且，则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误；

对于B：若且，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；

对于C：若且，则与可能相交，也可能平行，故C错误；

对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确.

故选：D.

4. 如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.

【详解】∵，

∴，

故选：B．

5. 在平面直角坐标系中，，，，则在上的投影向量的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据在上的投影向量为可求出结果.

【详解】因为，，，

所以，，

所以在上的投影为，

所以在上的投影向量为.

故选：C

6. 在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案.

【详解】如图，过点作，垂足,则.

若有两解，所以，则，即，得.

故选：B

7. 如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.

【详解】

如图所示，连接直线，

因为分别为直线和直线的中点，

所以为的中位线，

所以，

则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值，

因为,

所以平面,

平面,

所以,

所以为直角三角形，

所以.

故选：B.

8. 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.

【详解】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，

若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：，，，，，，，，共计9个，

选出的2名教师性别相同的结果有，，，共计4个，

故选出的2名教师性别相同的概率为．

故选：B

9. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】因为，由正弦定理得得，

所以，又，所以，

因为，所以，所以，

由，得，

所以，当且仅当时，取等号，

则，

所以的面积的最大值为.

故选：B.

二、填空题

10. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.

【答案】##

【解析】

【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.

【详解】设圆锥的母线长为，

所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，

所以，所以圆锥的高.

故圆锥的体积为：.

故答案为：.

11. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是________．

【答案】4

【解析】

【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.

【详解】由图象知：，，

，为的中点，

的面积.

故答案为：4.

12. 甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，目标至少被命中1次的概率为________．

【答案】0.8##

【解析】

【分析】先求两次都未命中目标的概率，然后由对立事件的概率公式可得.

【详解】记事件A：两次都未命中目标.

则

所以目标至少被命中1次的概率为.

故答案为：0.8

13. 的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意，由余弦定理求出c，结合三角形的面积公式计算即可求解.

【详解】在中，由余弦定理得，

即，解得.

所以.

故答案为：.

14. 如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用等体积法求得到平面的距离.

【详解】，为边长为的等边三角形，

设到平面的距离为，根据，

则，

解得.

故答案为：.

15. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.

【详解】，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.

故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

16. 在中，角所对的边分别为．已知 ．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；

（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

，

又因为，所以；

（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；

（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，

进而，

所以.

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

17. 某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．

（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动时间的众数，中位数，平均数；

（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．

【答案】（1）众数是20；中位数是；平均数为20.32   

（2）23.86

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；

（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；

由，解得，

∵，且，

∴中位数位于之间，设中位数为，

，解得，故中位数是；

平均数为；

【小问2详解】

75百分位数即为上四分位数，

又∵，，

∴上四分位数位于之间，设上四分位数为，

则，解得．

18. 已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．

（1）求甲、乙、丙都通过测试的概率；

（2）求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；

（3）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）（2）（3）利用独立事件的乘方公式及对立事件概率求法求各对应事件的概率.

【小问1详解】

甲、乙、丙都通过测试的概率为.

【小问2详解】

甲未通过且乙、丙通过测试的概率为.

【小问3详解】

甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为.

19. 如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积；

（3）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；

（2）根据棱锥的体积公式即可求得答案;

（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.

【小问1详解】

证明：因为在正方形中，

折叠后即有，

又平面，

所以平面，而平面,

故；

【小问2详解】

由题意知，故，

故；

小问3详解】

取线段的中点G，连接，

因为，

所以有，平面,平面,

所以即为二面角的平面角，

又由（1）得平面，平面，

故,而,,

故,