2023年北京重点中学中考数学验收（6月份）（含解析）

2023年北京重点中学中考数学验收（6月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某几何体的三视图如图，则该几何体是(    )

A. 圆柱
B. 圆锥
C. 长方体
D. 三棱柱

2.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  若一个多边形的内角和为，则该多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，分别是边，上的点，，若的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，为的直径，，为上的点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一组数据：，，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  如图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．

下面有四个推断：
当移植的棵树是时，成活的棵树是，所以“移植成活”的概率是；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是；
与试验相同条件下，若移植棵这种树苗，可能成活棵；
在用频率估计概率时，移植棵树时的频率一定比移植棵树时的频率更准确
其中合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下面三个问题中都有两个变量：
如图，货车匀速通过隧道隧道长大于货车长，货车在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间；
如图，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线圆心表示王大爷家的位置，他离家的距离与散步的时间；
如图，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积与所用时间
其中，变量与之间的函数关系大致符合图的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______．

10.  分式方程的解是______ ．

11.  写出一个比大且比小的整数是          ．

12.  如果，那么代数式的值为______ ．

13.  在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，的值可以是______ 写出一个即可

14.  如图，在矩形中，点，分别为，的中点，若，则的长为______ ．

15.  如图，将矩形纸片折叠，使点与边的中点重合，折痕恰好为，则的值为______ ．

16.  在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数写出甲的三张牌上的数字是______ ，丙的三张牌上的数字是______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组并写出其整数解．

19.  本小题分
已知：如图，直线及外一点．

求作：直线，使得．
作法：如图，
在直线上任取一点，连接；
为圆心，长为半径作弧，交直线于点；
分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在直线外交于一点；
作直线．
直线就是所求作的直线．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接．
______ ，
四边形是______ 形______ 填推理的依据．
．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程
求证：该方程总有两个不相等的实数根；
若，且该方程的一个根是另一个根的倍，求的值．

21.  本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作交于点．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象过点，．
求该函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取名居民的两次问卷成绩百分制，并对数
据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
这名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如图：

这名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下：

结合讲座后成绩，被抽取的名居民中有人获得“参与奖”，有人获得“优秀奖”，有人获得“环保达人奖”，其中成绩在这一组的是：

根据以上信息，回答下列问题：
居民小张讲座前的成绩为分，讲座后的成绩为分，在图中用“”圈出代表居民小张的点；
写出表中的值；
参加公益讲座的居民有人，估计能获得“环保达人奖”的有______ 人

24.  本小题分
如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分经测量拱桥的跨度为米，拱桥顶面最高处到水面的距离为米．

在边长为的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点，，，并用平滑曲线连接；
结合中所画图象，求出该抛物线的表达式；
现有一游船截面为矩形宽度为米，顶棚到水面的高度为米当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．

25.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．
求证：是的切线；
若，，求半径的长．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点．
若，点在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；
若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，在等边中，点，分别在，的延长线上，且，的延长线交于点．
求的度数；
延长至点，使，连接交于点依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点不与点重合和线段，给出如下定义：连接，平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段”，则称点为线段的“中移点”已知的半径为．
如图，点，点，
点为与轴正半轴的交点，，求的值；
点为上一点，若在直线上存在线段的“中移点”，求的取值范围．
点是上一点，点在线段上，且若是外一点，点为线段的“中移点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
该几何体是一个柱体，
俯视图是一个圆，
该几何体是一个圆柱；
故选：．
根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
故此选项不符合题意；
B、，，
，
正确，
故此选项符合题意；
C、，，异号两数和取绝对值大的数的符号，
，
故此选项不符合题意；
D、，
，
故此选项不符合题意；
故选：．
利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．
本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是会利用数轴进行判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：由多边形的内角和公式可得，
，
解得：，
故选：．
根据多边形的内角和的公式，解方程即可求出的值．
本题考查的是多边形的内角和，利用内角和公式进行列方程是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
∽，
，
的面积为，
的面积是．
故选：．
由，得到，由，得到∽，由相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出的面积．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，
，
，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数，再利用圆周角定理即可求得答案．
本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，利用其求得，的度数为解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数仍为，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故B不符合题意符；
C、原来数据的众数是，添加数字后众数仍为，故C与不符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故D符合题意．
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是统计量的选择，众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当移植的棵树是时，成活的棵树是，所以“移植成活”的频率是，但概率不一定是，故错误；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是，故正确；
试验条件下“移植成活”的概率是，因此与试验相同条件下，若移植棵这种树苗，可能成活棵，故正确；
在用频率估计概率时，移植棵树时的频率不一定比移植棵树时的频率更准确，故错误；
其中合理的是，
故选：．
根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案．
本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某一个常数的附近，那么事件发生的概率，掌握上述内容是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可知货车进入隧道的时间与货车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：当货车开始进入时逐渐变大，货车完全进入后一段时间内不变，当货车开始出来时逐渐变小，
反映到图象上应符合图；
根据题意可知，开始时随的增大而增大，在圆上部分的值不变，最后随的增大而减小，
反映到图象上应符合图；
往一个圆柱形空杯中匀速倒水，随的增大而增大，中间一段时间，的值不变，的值不变，随的增大而减小，
反映到图象上应符合图；
故选：．
根据货车进入隧道、货车完全进入入隧道以及货车开始出离开隧道三段时间判断即可；
根据王大爷圆心，在圆上以及回家三段时间判断即可；
往一个圆柱形空杯中匀速倒水，注满后停止一会以及匀速倒出杯中的水三段时间判断即可．
本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

11.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
，
比大且比小的整数是或．
应用估算无理数大小的方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小的方法进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，




．
故答案为：．
先根据已知条件式得到，再把所求式子去括号并合并同类项化简得到，把整体代入求解即可．
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的化简求值的方法是解题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：如图，

当时，、的坐标分别为，，
，
．
故答案为：答案不唯一．
根据反比例函数的图象的特点即可得出答案．
本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形是矩形，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
连接，由矩形的性质得，证是的中位线，由三角形中位线定理即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
将矩形纸片折叠，使点与边的中点重合，
，
，即，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质，，根据折叠可得，进而得出，则，进而得出，即可求解．
本题考查了矩形与折叠问题，正弦的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】，，  ，， 

【解析】解：已知红桃有数字，，，，，，，，共计张牌，
甲的三张牌数字之和为的情况有，，；，，；，，三种组合，
张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，
甲最多只能有一个奇数，只有，，符合，
乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，
乙的三张牌数字为，，，丙的三张牌数字为，，，
故答案为：，，；，，．
根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可．
本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用特殊锐角的三角函数值，二次根式性质，绝对值的性质及负整数指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】解：，
由得，由得．
此不等式组的解集为：．
满足题意的整数解为或或或． 

【解析】依据题意，由不等式组的解题步骤可以得解．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时应先解出不等式组的解集然后再找出其整数解．
 

19.【答案】  菱  四边相等的四边形是菱形 

【解析】解：直线如图所示：
证明：连接．
，
四边形是菱形四边相等的四边形是菱形．
．
故答案为：，菱，四边相等的四边形是菱形．
根据题意，按照步骤补全作图即可；
根据菱形的判定与性质求解即可．
本题考查尺规作图，菱形的判定与性质，解题的关键是根据作图方法判断出．
 

20.【答案】证明：，
该方程总有两个不相等的实数根；
解：设方程的一个根为，则另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
解得，，
，
的值为． 

【解析】先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
设方程的一个根为，则另一个根为，利用根与系数的关系得，，消去得到，然后解关于的方程，从而得到满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：如图，

四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由可知，四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
即的长为的长为． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，进而由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：把，代入中得：
，
，
函数的解析式为；
当函数的值大于函数的值时，则，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
，
． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
先求出不等式的解集，再根据当时，，即可得到，解不等式即可得到答案．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图所示：

讲座后成绩的中位数是第和第个数的平均数，所以；
估计能获得“环保达人奖”的有人．
故答案为：．
根据统计图可得横坐标是，纵坐标是的点，即代表居民小张的点；
根据中位数的定义可得的值；
用总人数乘以抽样中获得“环保达人奖”的百分比即可．
本题考查了中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：以点为原点，所在的直线为轴，过点作垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

根据题意得：，，
根据交点式，设抛物线的表达式为，
代入点得：，
解得，
抛物线的表达式为；
能安全通过，理由如下：
游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为，游船也关于直线对称，
宽度为米，对称轴左右两边各米，
当时，，
，
该游船能安全通过此拱桥． 

【解析】过点作垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系即可；
待定系数法求抛物线的表达式即可；
游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为游船也关于直线对称，宽度为米，对称轴左右两边各米，当时，求出的值，再进行比较即可
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

25.【答案】证明：连接，
，，
，
，
，
，
弦，
，
，
，
半径，
是的切线；
解：设圆的半径是，
直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径的长是． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质推出，由直角三角形的性质得到，即可证明是的切线；
由锐角的正切求出长，由勾股定理列出关于半径的方程，即可求出半径的长．
本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出；由锐角的正切求出长，由勾股定理列出关于半径的方程．
 

26.【答案】解：若，则抛物线为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线为，
抛物线的对称轴为直线；
当时，如图．

抛物线的对称轴为直线，
将点向右平移个单位长度，得到点，抛物线与线段恰有一个公共点，
，
；

(ⅱ)当时，如图．

抛物线的对称轴为直线，
抛物线与线段只有一个公共点，
，
综上所述，的取值范围是：或． 

【解析】利用待定系数法求得抛物线的解析式后，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；
分、两种情况，结合函数图象，分别求解即可．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．
 

27.【答案】解：是等边三角形，
，．
．
，
≌．
．
，
．
即．
补全图形，如图：

猜想，理由如下：
在上截取，连接，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
．
即．
≌．
．
．
．
．
．
，，
．
． 

【解析】证明≌得出，再利用三角形外角的性质得出；
先根据题意补全图形，在上截取，连接，，证明≌，得出，，再证明，最后利用平行线分线段成比例定理得出．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：连接，如图：

点与线段的中点重合，
，
点为与轴正半轴的交点，
，
，
，
解得或，
由可得，点为与轴正半轴的交点时，，
在直线上存在线段的“中移点”，
，解得，
即有最小值，
如图，当点为与轴正半轴的交点时，

点与线段的中点重合，
，
点为与轴正半轴的交点，
，
，
在直线上存在线段的“中移点”，
，解得，
即有最大值，
的取值范围为．
如图，经分析，当点、在同一象限内，存在最小，当、在相对象限内，存在最大值，

，
当，，，，在同一直线上且， 关于原点对称时，有最小值，
设，，则，
，，
，，
． 

【解析】如图，连接，根据“中移点”确定点和的坐标，然后根据勾股定理即可求出的值，
分点为与轴正半轴的交点和负半轴交点两种情况求得的值即可．
如图，当点、在同一象限内，存在最小，当、在相对象限内，存在最大值，再根据三角形三边的关系可得当，，，，在同一直线上且， 关于原点对称时，有最小值，设、的坐标，分别求出，即可．
本题主要考查平移的性质和圆的性质，两点间的距离公式，勾股定理等知识，正确画出图形，明确线段间的关系是解题关键．