2022-2023学年安徽省芜湖市无为三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖市无为三中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知平行四边形一边长为，一条对角线长为，则它的另一条对角线的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D. 以上答案都不正确

4.  在中，点为的中点，平分，且于点，延长交于点，若，，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  在如图的网格中，每个小正方形的边长为，、、三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知四边形中，，，，点、分别是边、的中点，连接，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在和中，，，是的中点，连接，，，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，透明的圆柱形容器容器厚度忽略不计的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  若，则______．

12.  已知，则化简的结果是______．

13.  如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则为______ ．

14.  在平面直角坐标系中，点在第一象限，点的坐标为，若在轴上有一点，使得为等腰三角形，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算
；
．

16.  本小题分
已知，，分别求下列代数式的值：
；
．

17.  本小题分
在中，、、三边的长分别为、、，
请在正方形网格中画出格点；
求出这个三角形的面积．

18.  本小题分
已知如图，为平行四边形的对角线的中点，经过点，且与交于，与 交于．
求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
如图所示，以的三边在的同侧分别作三个等边三角形，即：，，，求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处已知，．
求证：是等腰三角形；
求线段的长．
 

21.  本小题分
阅读材料：像，这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：；
．
解答下列问题：
请写出一个的有理化因式；
将分母有理化；
应用：当为正整数时，通过计算比较式子和的大小．

22.  本小题分
已知：如图，在四边形中，与不平行，，，，分别是，，，的中点．
求证：四边形是平行四边形；
当与满足条件______ 时，四边形是菱形，在的基础上此时判定菱形的依据是______ ．
当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论．

23.  本小题分
按要求回答下列问题：
发现问题．

如图，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，易证：不必证明；
类比延伸
如图，在正方形中，如果点，分别是边，延长线上的动点，且，则中的结论还成立吗？请写出证明过程；
如图，如果点，分别是边，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是______ 不要求证明
拓展应用：如图，若正方形的边长为，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故不是最简二次根式，不合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不合题意；
D、，故不是最简二次根式，不合题意；
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了已知代数式求值和完全平方公式，开平方运算，开平方运算时，一般要取“”．
由完全平方公式得：，先代值，再开平方即可求解．
【解答】
解：
，
．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：如图，若▱中，，，
，，
，
即，
，
即它的另一条对角线长的取值范围为：．
故选：．
首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的性质，可得，，再由三角形三边关系，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可．
【解答】
解：平分，且
，
在和中，
，

，，
点为的中点，
，
又，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：；
，
，
，
，
，
同一三角形面积相等，
，
．
故选：．
利用勾股定理求出、、的长的平方，再根据勾股定理判断是直角三角形，求出三角形面积，由同一三角形面积相等即可求出．
本题考查勾股定理和同一三角形的面积相等，关键是判断是直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

矩形的两边，，
，，，，，
，，
，
，
故选：．
首先连接由矩形的两边，，可求得，然后由求得答案．
本题考查了矩形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、，

、分别是边、的中点，
且，
且，
，
，
．
故选：．
取的中点，连接、，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出、，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
，
，
，
．
，
故选：．
根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

9.【答案】 

【解析】解：

过作于，
，，是的中点，
，，
，
，，
，
由勾股定理得：，
的面积为，
故选：．
过作于，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
，，
将容器侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
．
故选：．
将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．由二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
即，
，
原式．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
．
故答案为：．
先将原式被开方整式化为完全平方式，再由化简求解．
本题考查二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的性质与化简方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，，
，，
平分，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
．
故答案为：．
由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，推出，求出、的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出的度数和求．
 

14.【答案】或或或 

【解析】解：点在轴上，
设点的坐标为，
，，
，
，
，
分三种情况：
当时，
，
，
解得：，
点的坐标为；
当时，
，
，
解得：或，
点的坐标为或；
当时，
，
，
解得：或，
点的坐标为或；
综上所述：点的坐标为或或或或，
故答案为：或或或或．
根据已知可设点的坐标为，然后根据两点间距离公式分别求出，，的值，最后分三种情况，当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，分三种情况讨论是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】根据零指数幂、绝对值的意义、乘方的定义；
根据多项式乘法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是关键．
 

16.【答案】解：，，
，，
；




． 

【解析】根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算；
根据完全平方公式计算．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示；



． 

【解析】根据题意画出图形即可；
根据三角形的面积正方形的面积三个角上三角形的面积即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：平行四边形中，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】求证四边形是平行四边形．只要求证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证．依据≌即可证明．
本题主要考查了平行四边形的判定，正确求证是证明的关键．
 

19.【答案】证明：，都是等边三角形．
，，，
，
即，
，，，
≌，
，
又是等边三角形，
，
，
同理可证：，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，得，再由等边三角形的性质得，则，同理可证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

20.【答案】证明：由折叠性质可知，，
由长方形性质可得，
，
．
，
故为等腰三角形．
解：由折叠可得，设，
则，
，
在中，有，
即，解得：．
由结论可得，
故FD． 

【解析】由折叠性质可知，由可得，所以，由等角对等边即可得证；
由折叠性质并结合中结论可设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即，解得，则．
本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键．
 

21.【答案】解：的一个有理化因式为；
原式；
，，
，
，
即． 

【解析】根据有理化因式的定义求解；
把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；
利用分母有理化得到，，然后比较与的大小即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．
 

22.【答案】  一组邻边相等的平行四边形是菱形 

【解析】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
同理，，，
，，
四边形是平行四边形；
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
当时，，
四边形是菱形；
当与满足条件时，四边形是菱形，在的基础上此时判定菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为：；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形的判定定理证明结论；
根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；
根据矩形的判定定理解答．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：把绕点顺时针旋转至，如图，

，，，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
≌，
，
；
解：不成立，结论：．
证明：如图，将绕点顺时针旋转至，

，，，，
，
，
≌，
；
结论：．
理由：如图，将绕点逆时针旋转至，

，，
，
，
，
，
≌，
，
．
即．
故答案为：；
解：由可知，

正方形的边长为，
，
．
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：．
．
证明≌，可得出，则结论得证；
将绕点顺时针旋转至根据可证明≌，可得，则结论得证；
将绕点逆时针旋转至，证明≌，可得出，则结论得证；
求出，设，则，，在中，得出关于的方程，解出则可得解．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．