2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）期中数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法正确的是(    )

A. 命题“存在，”的否定是“任意，”
B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C. 函数在其定义域上是减函数
D. 给定命题、，若“且”是真命题，则是假命题

2.  已知椭圆的两焦点为、，过点且存在斜率的直线与椭圆交于、两点，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  抛物线的准线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若函数在处的瞬时变化率为，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知曲线在处的切线垂直于直线，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  双曲线的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设椭圆的长轴两端点为、，点在椭圆上，则与的斜率之积为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数的定义域为，为的导函数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  命题，的否定是______．

14.  已知函数的图象在点处的切线方程是，则______．

15.  函数的单调递减区间是          ．

16.  已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为______．

三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知，．

若，且为真，求实数的取值范围

若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18.  本小题分
曲线的方程：．
当为何值时，曲线表示焦点在轴上的椭圆？
当为何值时，曲线表示双曲线？

19.  本小题分
设椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
求椭圆的方程．
若是该椭圆上的一个动点，、分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值和最小值．

20.  本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若方程有两个根，求的取值范围．

21.  本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论函数在定义域内的极值点的个数；
Ⅱ已知函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，命题“存在，”的否定是“任意，”，A错误；
对于，两个三角形面积相等，不能得出这两个三角形全等，必要条件不成立，B错误；
对于，函数在其定义域的两个区间和上分别是减函数，C错误；
对于，给定命题、，若“且”是真命题，、都是真命题，是假命题，D正确．
故选：．
中，写出命题的否定，判定A错误；
中，由两三角形面积相等，不能推出两三角形全等，判定B错误；
中，函数在其定义域的两个区间上分别是减函数，判定C错误；
中，由“且”是真命题，得出、都是真命题，从而得是假命题，判定D正确．
本题通过命题真假的判定，考查了命题的否定、充分与必要条件，函数的单调以及复合命题的真假性问题，是综合性题目．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意结合椭圆的定义可得：，并且，
又因为，
所以的周长为：．
故选：．
根据椭圆的定义可得：，，并且，进而得到答案．
解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了抛物线的简单性质．解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所在位置，避免出错．
先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程．
【解答】
解：由题得：，
所以：，即
所：
故准线方程为：．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知，．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数是关于的函数，因此是一个常数．
则函数的导数，
故选：．
根据导数的公式进行求解即可．
本题主要考查函数的导数的计算，根据导数的公式进行求解即可，注意是个常数．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
由题意可得，解得．
故选：．
求出函数的导数，利用已知条件，转化求解即可．
本题考查函数的导数的应用，考查计算能力．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线离心率的求解问题，一定要找到关于，的关系，隐含条件的应用是解答该题的关键，此题是基础题．
首先求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在轴上的椭圆，且求得半焦距，然后利用求出椭圆的半长轴，则离心率可求．

【解答】

解：由抛物线，得，，其焦点坐标为．
因为椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
所以椭圆的右焦点为．
则椭圆是焦点在轴上的椭圆，由，得．
所以椭圆的离心率为．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：双曲线，其渐近线方程是，
整理得．
故选：．
双曲线，其渐近线方程只须将等号右边的常数换成零，整理后就得到双曲线的渐近线．
本题主要考查利用双曲线的方程以及双曲线的有关性质，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由的图象知，当时，函数为减函数，排除，，
设右侧第一个零点为，当时，，函数为增函数，且是函数的极小值点，排除，
故选：．
根据函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，结合导数图象，判断导数的符号，利用单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数在内单调递减，
在内恒成立，
即在内恒成立，
，
，
故选A
求出导函数，令导函数小于等于在内恒成立，分离出参数，求出函数的范围，得到的范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意可知，，是椭圆上任意一点，设坐标为
，、的斜率分别是
，
于是

故选：．
根据椭圆方程求得，的坐标，设的坐标为，进而表示出、的斜率，二者相乘整理可求得答案．
本题主要考查了椭圆的简单性质．从近几年年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，故应熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，
因为，
所以，
所以单调递增且，
所以当时，，当时，，
故时，恒成立，
故选：．
构造函数，然后对其求导，结合导数与单调性关系分析各选项即可判断．
本题主要考查了函数的导数与单调性关系的应用，解题的关键是根据已知不等式灵活的构造函数，属于中档题．
 

13.【答案】， 

【解析】解：原命题为：，
原命题为全称命题
其否定为存在性命题，且不等号须改变
原命题的否定为：，
故答案为：，
根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定
本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：“若，则”的否定为“若，则”；全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题．本题考查第二种形式，属简单题
 

14.【答案】 

【解析】解：点是切点，
点在切线上，
，
函数的图象在点处的切线的方程是，
切线斜率是，
即，
．
故答案为：．
因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出的值，把和代入即可．
本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求出函数的导函数，由导函数小于求出自变量在定义域内的取值范围，则函数的单调递减区间可求．
 

【解答】

解：由，得：．
因为函数的定义域为，
由，得：，即，
解得：．
所以函数的单调递减区间是．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】根据双曲线与抛物线有一个公共的焦点，可得双曲线的右焦点坐标为，双曲线的左焦点坐标为，利用，可求的坐标，从而可求双曲线方程．本题重点考查双曲线的标准方程，考查抛物线的定义，有一定的综合性．

解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为直线，
双曲线与抛物线有一个公共的焦点，
双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的左焦点坐标为，
，
点的横坐标为，
代入抛物线，，
不妨设，
根据双曲线的定义，得出，
，
，
，
双曲线方程为，
故答案为：．
 

17.【答案】解：由，得，
：；
当时，：．
若为真，，同时为真命题．，
则，即；
由，得：．
是充分不必要条件，
，
，解得．
实数的取值范围为． 

【解析】分别求解一元二次不等式化简，，然后利用为真，取交集求得实数的取值范围；
求解一元二次不等式化简，结合是充分不必要条件，可得，转化为关于的不等式组得答案．
本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，是中档题．
 

18.【答案】解：根据题意，若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则有，
解可得，
则当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；
若方程表示双曲线，
则有，
解可得或，
则当或时，曲线表示双曲线． 

【解析】根据题意，由焦点在轴的椭圆的标准方程的形式可得，解可得的取值范围；
由双曲线的标准方程，分析可得，解可得的取值范围．
本题考查椭圆、双曲线的标准方程，关键是掌握椭圆、双曲线的标准方程的形式．
 

19.【答案】解：由题意得
解得，，，
故所求椭圆的方程为，
由知，，设，
则
，
，，
故，
故最大值，最小值． 

【解析】本题主要考查了椭圆的应用．解答的关键是利用待定系数法求椭圆方程及平面向量的基本计算．
由题意得，求出，的值即可；
设出点的坐标，进而可表示出，进而根据的范围确定的范围．
 

20.【答案】解：时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
有两个根，即有个根，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，函数取得极大值，也是最大值，
因为，时，，时，，
故，
所以的取值范围为 

【解析】把代入，对函数求导，结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；
由已知先进行分离参数，转化为求解函数的交点，结合导数与单调性关系及函数性质可求．
本题主要考查了导数的几何意义，导数与单调性关系的应用，函数与导数综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ，
，分
当时，在上恒成立，函数在单调递减，
在上没有极值点；分
当时，得，得，
在上递减，在上递增，即在处有极小值．分
当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．
Ⅱ函数在处取得极值，
，
，分
令，则，
由得，，由得，，
在上递减，在上递增，分
，即分 

【解析】Ⅰ由可求得，对分与讨论的符号，从而确定在其定义域单调性与极值，可得答案；
Ⅱ函数在处取得极值，可求得，于是有，构造函数，即为所求的的值．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题．