2022-2023学年陕西省西安市阎良区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市阎良区高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，则的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  直线为参数的倾斜角是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点的直角坐标为，则它的极坐标可能为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  二项式的展开式中含项的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列以为参数的参数方程中，能够表示方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  方程和的曲线的位置关系为(    )

A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

8.  已知函数的导函数为，若的图象如图所示，下列结论错误的是(    )

A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，取得极大值
D. 当时，取得最大值

9.  某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到、、三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学由于交通原因，乙不能去社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  函数的定义域为，导函数为，若对任意，成立，则称为“导减函数”下列函数中，是“导减函数”的为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在一次与“概率”相关的研究性活动中，老师准备了个不透明的纸箱，每个箱子中装了个形状大小相同的小球个红球，个黑球，分甲、乙两组让同学们来摸球甲组：在个纸箱中各任意摸出一个小球；乙组：在剩下的个纸箱中各任意摸出两个小球将甲组至少能摸出一个红球的概率记为，乙组至少能摸出一个红球的概率记为，则(    )

A.  B.
C.  D. 以上三种情况都有可能

12.  已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知离散型随机变量服从二项分布，则 ______ ．

14.  若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于______ ．

15.  在数字通信中，信号是由数字和组成由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或已知发信号时，接收为的概率为；发送信号时，接收为的概率为，若发送信号和是等可能的，则接受信号为的概率为______ ．

16.  若函数在上不单调，则实数的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高二年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，现随机抽取了人，统计选择两门课程人数如表：
补全列联表；

是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？计算结果保留到小数点后三位，例如：
参考附表：参考公式：，其中．

18.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求的极值；
Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．

19.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
若与交于，两点，点的直角坐标为，求的值

20.  本小题分
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的分布列和数学期望．

21.  本小题分
“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：

Ⅰ根据以上数据知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
Ⅱ建立关于的线性回归方程，并预测车辆发车间隔时间为分钟时乘客的等候人数附：对于一组数据，，，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；．

22.  本小题分
已知，，设函数，其中为自然对数的底数，．
当时，证明：函数在上单调递增；
若对任意正实数，函数均有三个零点，求实数的取值范围

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
将化简，再由共轭复数得定义即可得到结果．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：直线为参数，
消去参数，可得，
即直线的斜率为，
设直线为参数的倾斜角是，，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，消去参数，可得，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】因为点的直角坐标为，设点对应的极坐标为，
则，，
对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
利用，，对选项逐一分析判断即可．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】因为，
所以由组合数性质得，，
所以．
故选：．
由组合数性质求出，再用排列数公式求值．
本题主要考查组合数与排列数的公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为二项式的展开式通项为，
令，则，
所以二项式的展开式中含项的系数为．
故选：．
根据二项式展开式的通项即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由可知，，且．
对于，因为，所以，显然不满足题意，故A错误；
对于，因为，且，显然不满足题意，故B错误；
对于，因为，且，显然不满足题意，故C错误；
对于，两式相乘可得，
又，且，所以，且，故D正确．
故选：．
先求出方程中的范围，再结合幂函数、正弦函数、余弦函数以及正切函数的值域，对选项逐一判断即可．
本题主要考查参数方程的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，则，即，得，
由，则，即，得，
则两圆的圆心距，
故两曲线的位置关系为外切，
故选：．
将极坐标方程化为平面直角坐标系方程后利用两圆的位置关系求解即可．
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由的图象可得：函数在上单调递减，，；
函数在上单调递增，，；
函数在上单调递减，．
时，函数取得极大值，
因此ABC正确，D错误．
故选：．
由的图象可得函数的单调性，进而得出导数的正负，即可判断出结论的正误．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、数形结合方法，考查了推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由于乙不能去社区，则乙可以去或社区，共种，
剩余的人可以分成，两组或，，三组两种情况，
分成，两组，去和乙不同的两个社区，有种，
分成，，三组，去三个社区且甲和乙不能同去一个社区，有种，
所以不同的安排方法数为种，
故选：．
先确定特殊情况，再分组分配，根据乘法与加法计数原理计算即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：若函数的定义域为，若对任意，，，当时，，则不符合导减函数的定义；
，，当时，，则不符合导减函数的定义；
，，当时，，则不符合导减函数的定义；
，，则符合导减函数的定义．
故选：．
理解题目新定义，对各选项进行计算分析即可得出答案．
本题以新定义为载体，主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：甲组从一个纸箱中任意摸出一个球，摸出是红球的概率为，
甲组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，因此，
乙组从一个纸箱中任意摸出两个球，摸出有红球的概率为，
乙组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，
因此，因为，
所以．
故选：．
根据给定条件，求出甲组、乙组从一个纸箱中摸出有红球的概率，再利用独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式，列式比较大小作答．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，
所以，
即有两解，
所以有两解，
令，
则，
所以当时，，此时函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以在处取得极大值，，
且时，的值域为，时，的值域为，
因此有两解时，实数的取值范围为，
故选：．
根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为随机变量服从二项分布，
所以．
故答案为：．
利用二项分布的方差公式直接计算．
本题主要考查二项分布的方差公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
曲线在点处的切线的斜率，
切线与直线垂直，直线的斜率为，
．
故答案为：．
利用导数的几何意义求解即可．
本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设“发送的信号为”，“接收到的信号为”，
则“发送的信号为”，“接收到的信号为”，
所以，
所以接收信号为的概率为：．
故答案为：．
运用全概率公式计算即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为函数在上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有根，即方程在上有根，
又函数定义域为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
将问题转化为方程在上有根，结合的定义域得到关于的不等式组，解之即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，补全列联表如下，

根据列联表数据，得：
，
所以有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关． 

【解析】直接根据表中数据即可完成列联表；
根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ因为，定义域为，所以，
令，解得，或，
当变化时，，的变化情况如下表所示：

所以当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
Ⅱ由Ⅰ知，在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上的最小值为，
因为，，
所以在区间上的最大值为，最小值为． 

【解析】Ⅰ利用导数可求得单调性，由此得到极值点，代入可得极值；
Ⅱ由Ⅰ即可求解函数的最值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，
两式相加消去，可得，
故曲线的普通方程为；
因为曲线的极坐标方程为，即，
又，，
所以曲线的直角坐标方程为．
易知点落在曲线上，
将曲线的参数方程为为参数，代入，得，
易得，设，是，对应的参数，则，
所以． 

【解析】利用消参法可到曲线的普通方程，再利用，可得曲线的直角坐标方程；
利用直线参数的几何意义，结合韦达定理即可得解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设事件为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
其概率为；
记事件为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，则，
事件为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，则，
依题意可知的可能取值为，，，
则，

，

，
，
所以的分布列为：

期望． 

【解析】利用古典概型的概率公式直接计算得解；
先分别求得甲、乙、丙获得优秀奖的概率，再按步骤计算离散型随机变量的概率及期望即可．
本题考查古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ已知，，
而
，
，，
所以，
因为，
所以，
因为与的相关系数近似为，
说明与的线性相关非常高，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系；
Ⅱ由得，
所以，
则关于的回归直线方程为，
当时，，
则预测车辆发车间隔时间为分钟时乘客的等候人数为人． 

【解析】Ⅰ由题意，根据相关系数的公式，分别计算数据再进行求解即可；
Ⅱ结合Ⅰ中所得信息得到关于的回归直线方程为，将代入即可求解．
本题考查线性回归方程，考查了数据分析和运算能力．
 

22.【答案】解：当时，，
令，所以，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
因为对任意正实数，函数均有三个零点，
当时，，即不是的零点，
所以方程，即有三个解，
记函数，
因为，
所以当，，单调递增；
当，，单调递减；
当，，单调递增；
又，，则的大致图像如下，

所以当时，方程有三个解，
设，则，，
当时，；当时，；
所以在单调递增，在单调递减，则，故，
所以实数的取值范围为． 

【解析】利用导数与函数单调性的关系，可得证明即可；
将问题转化为方程有三个解，利用导数研究函数的图像，从而得到，再研究函数的最值即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．