2022-2023学年上海市徐汇中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市徐汇中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，则“”是“直线与直线平行”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.  已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是(    )

A. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
B. 当曲线表示双曲线时，的取值范围是
C. 当时，曲线表示一条直线
D. 存在，使得曲线为等轴双曲线

3.  函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于、两点：抛物线的准线为；直线与抛物线相切；；，以上结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  已知抛物线的方程为，则其焦点到准线的距离为______ ．

6.  已知直线的方程为，则直线的倾斜角        ．

7.  已知随机事件，，，，，则 ______ ．

8.  已知双曲线的离心率，实半轴长为，则双曲线的方程为______ ．

9.  已知，则 的值是______ ．

10.  受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂月份生产的口罩数单位：万

若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为______ ．

11.  某校高中三年级名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量服从正态分布统计结果显示，数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为______ 人

12.  若圆与直线相交于，两点，则弦的长为______ ．

13.  某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则______．

14.  若是函数的极小值点，则实数的值为______ ．

15.  端午节吃粽子是我国的传统习俗一盘中放有个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白米粽个，现从盘子任意取出个，则取到白米粽的个数的数学期望为______ ．

16.  已知，是双曲线：的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为______ 注意：不填或错填得分，漏填得分
双曲线的离心率为；
双曲线的一条渐近线的斜率为；
线段的长为；
的面积为．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为
若，求；
若，求正数的取值范围．

18.  本小题分
李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间单位：分钟，如下茎叶图显示两类时间的共个记录：

求出这个通勤记录的中位数，并完成下列列联表：

根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附：，

19.  本小题分
已知求：
，有交点的概率；
设交点个数为，求的分布列及数学期望．

20.  本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的极值；
Ⅱ当时，讨论的单调性；
Ⅲ若对任意的，，，恒有成立，求实数的取值范围．

21.  本小题分
已知椭圆：的焦距为，且过点．
求椭圆的方程；
设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点异于椭圆顶点，点为线段的中点，为坐标原点．
若点在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；
求证：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行，
故“”能得到“直线与直线平行”，
但是“直线与直线平行”不能得到“”．
故选：．
根据直线一般式中平行满足的关系即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于，当时，，，
，
表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确；
对于，若曲线表示双曲线，则，解得：或，
即实数的取值范围为，B错误；
对于，当时，曲线：，即，
即曲线表示两条直线，C错误；
对于，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，
不存在，使得曲线为等轴双曲线，D错误．
故选：．
根据二元二次方程表示椭圆、双曲线的基本要求依次判断选项即可；由时，曲线的方程可知C错误．
本题主要考查了曲线与方程的判断，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由导函数图像可知原函数在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，
其中，
由图可知，选项先递增，故不满足题意，
其中选项，的增区间为，，且，故不满足题意，
故选：．
分析导函数的图像可判断函数的大致单调区间从而决定原函数的图像．
本题主要考查了利用导函数图像判断原函数图像，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：已知为坐标原点，点在抛物线：上，
则，
即，
即抛物线的方程为，
对于，由抛物线方程可得抛物线的准线为，即错误；
对于，由，，则直线的方程为，联立，则，则，即直线与抛物线相切，即正确；
对于，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消得，则，即，设，，则，，则，又，即，即正确；
对于，，又，即，即错误，
故选：．
由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系逐一判断即可得解．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点为，准线为，
则抛物线的焦点为，准线为，
则焦点到准线的距离为．
故答案为：．
由抛物线的焦点为，准线为，可得抛物线的焦点为，准线为，再由点到直线的距离公式计算即可得到．
本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程，同时考查点到直线的距离的求法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线的方程为，即，
直线的斜率为，，
则直线的倾斜角为，
故答案为：．
将直线方程化为斜截式，求出斜率，可得直线的倾斜角．
本题考查直线的方程，考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得，所以，
故，
所以．
故答案为：．
由可得，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由已知可得，即得，所以双曲线方程为：．
故答案为：．
由离心率求出，再由求出可得双曲线方程．
本题考查双曲线的性质，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查导数的基本概念、极限的求法，是基础题．
解题时根据瞬时变化率即可求出答案．
【解答】
解：，
，
，
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：，故，
故，
故，
故答案为：．
根据线性回归直线方程经过样本中心，将代入求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为数学考试成绩服从正态分布，
又，
所以，
则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为．
故答案为：．
利用正态分布的参数的含义和正态分布曲线的对称性，计算此次统考中成绩不低于分的概率即可得到答案．
本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求得弦的长．
【解答】
解：圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
可得弦长，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意，使用移动支付的人数服从二项分布，
则，解得或，
又，即，
化简得，解得，
所以．
故答案为：．
说明使用移动支付的人数服从二项分布，利用，求出概率，通过，列出不等式，判断概率即可．
本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：不妨设，函数定义域为，
可得，
因为为函数的极小值点，
所以，
解可得或，
当时，，
易得为函数的极小值点，满足条件；
当，，
易得为函数的极大值点，不满足条件．
故答案为：．
由题意，构造函数，对函数进行求导，根据为函数的极小值点，可得，解出的值，并对其进行验证即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
 

15.【答案】 

【解析】解：设取到白米粽的个数为随机变量，则，，，，
所以，
，
所以．
故答案为：．
设取到白米粽的个数为随机变量，求出对应的概率，利用期望公式求解．
本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

已知，由双曲线定义知，解得，，
又，，可得，
则∽，故，解得，则，，
，可得，即，得离心率，
，
在中，，，，
，
故正确．
故答案为：．
由已知结合双曲线的定义求解三角形，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，是中档题．
 

17.【答案】解：时，即，化简得
集合，根据分式不等式的解法，解得
由此可得，集合．

可得
，，
又，得，
，由此可得
即正数的取值范围是． 

【解析】当时，分式不等式可化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解集；
由含有绝对值不等式的解法，得根据是正数，得集合，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数的取值范围．
本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据茎叶图可知，这个通勤记录的中位数是，故，
列联表：

根据题意，由，则，
故上下班的通勤时间没有显著差异． 

【解析】根据茎叶图计数中位数即可；根据独立性检验公式，计算并判断即可．
本题考查独立性检验的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：设圆心到直线的距离为，若，有交点，
则．
时，，，，，．
时，，，，，；
时，，，，；
时，，，；
时，，；
共种情况，所以；
当交点个数为时，直线与圆相离，有种情况；
当交点个数为时，直线与圆相切，，只有，这一种情况；
当交点个数为时，由知直线与圆相交，有种情况，
故的分布为：

所以． 

【解析】，有交点，则圆心到直线的距离，列举即可求解；
交点个数可能为，，，求出相应的情况概率，结合数学期望公式求解即可．
本题考查古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ依题意知的定义域为，
当时，，，
令，解得，
当时，；
当时，．
又，
的极小值为，无极大值．
Ⅱ
，
当时，，
令得或，
令得；
当时，得，
令得或，
令得；
当时，，
综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；
当时，在单调递减；
当时，的递减区间为和，递增区间为
Ⅲ由Ⅱ可知，当时，在区间上单调递减，
当时，取最大值；
当时，取最小值；
，
恒成立，

整理得，
，恒成立，
，，
，即实数的取值范围是 

【解析】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，体现了分类讨论的思想方法；考查恒成立问题，体现了转化的思想．属难题．
Ⅰ当时，，求导，令，即可求得函数的极值；
Ⅱ当时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数单调区间；
Ⅲ由Ⅱ可得，，则恒成立问题可以转化为成立，解不等式，可求实数的取值范围．
 

21.【答案】解：由已知可得，，又，
，，
椭圆的方程为．
证明：由题意知，直线斜率存在，设直线方程为，设，，
由，消去整理得，
，
．
点为线段的中点，点在直线上，
，即，
．
线段的垂直平分线方程为，即，即，
故线段的垂直平分线恒过定点．
由弦长公式得，
坐标原点到直线的距离为，
的面积为

．
当且仅当，即时等号成立．



．
直线与的斜率之积为定值． 

【解析】根据焦距和所过点联立方程组求解即可；
设出直线方程并与椭圆方程联立，根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线与的斜率之积即可得出定值．
本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．