2022-2023学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，若，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知等比数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知抛物线：的焦点为，是上一点，为坐标原点，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知角满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数存在零点，函数存在零点，且，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  年年为上半年中国国内生产总值统计如下，且已知年全年中国国内生产总值为万亿元，则下列结论中正确的是(    )

 

A. 年下半年中国为万亿元
B. 年中国大于年与年的之和
C. 年中国同比增长率超过的有年、年、年
D. 年中国同比增长最快的是年

10.  已知函数，则下列结论中正确的是(    )

A. 当时，是上的增函数
B. 当时，直线与的图象没有公共点
C. 当时，的单调递减区间为
D. 当有一个极值点为时，的极大值为

11.  已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，，为上的动点，的最大值为，则下列结论中正确的是(    )

A. 椭圆的短轴长为
B. 当，分别在轴的上方和下方时四边形的周长的取值范围是
C. 存在四个不同的点，使得
D. 若为锐角三角形，则点横坐标的取值范围是

12.  如图，在三棱柱中，，平面，，三棱锥的外接球的表面积为，记直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列结论中正确的是(    )

A.
B. 三棱柱的体积的最大值为
C. 球心到平面的距离为
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若的展开式中的系数为，则实数 ______ ．

14.  某足球队共有名球员练习点球，其中前锋人，中场人，后卫人若前锋点球进门的概率均是，中场点球进门的概率均是，后卫点球进门的概率均是，则任选一名球员点球进门的概率是______ 结果保留两位小数

15.  已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为______ ．

16.  已知在四面体中，，，则该四面体外接球的体积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知在等差数列中，，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若是等比数列，且，，求数列的前项和．

18.  本小题分
已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求；
Ⅱ若，的面积为，求证：是正三角形．

19.  本小题分
如图，在长方体中，，，交于点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．

20.  本小题分
年月日至日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了位“最美家长”，其中有位妈妈，位爸爸，学校准备从这位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．
Ⅰ若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件，第二次抽到爸爸为事件，求和；
Ⅱ现需要每天从这位“最美家长”中随机选人，连续天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做场经验分享，天只做场，且人选可以重复，记这天中爸爸做经验分享的天数为，求的分布列和数学期望．

21.  本小题分
已知函数．
Ⅰ证明：在上单调递减；
Ⅱ若函数为的导函数，且单调递增，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知点在双曲线：上，过的右焦点的动直线与交于，两点．
Ⅰ若点，分别为的左、右顶点，为上异于，的点，求表示斜率的值；
Ⅱ证明以为直径的圆恒过轴上的定点，并求该定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
可求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
由复数的四则运算法则求出，再求即可．
本题考查复数的四则运算和复数的模等知识，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由可得，
则有，
即，解得．
故选：．
由向量垂直的坐标关系，列方程可求得的值．
本题考查向量垂直的坐标运算，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，则有，解可得，
又由，则，
故选：．
根据题意，设等比数列的公比为，由于，可得的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，抛物线：的焦点为，
设，则，，，
．
故选：．
根据抛物线的标准方程求出焦点，再利用抛物线定义求出点的纵坐标，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查抛物线的定义，考查三角形面积公式，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
；
；
；
．
故选：．
利用两角和的正切可求得，进而可求得与的值，利用两角和的正弦可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数，，
令，；
，；
图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
所以，
又因为，所以，；
时，，
又因为图象两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，由，所以，
所以的取值范围是．
故选：．
化函数，求图象的对称中心横坐标，根据题意求出的取值范围．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：易知函数在上单调递增，
又，
则，
于是，解得，
则函数在上存在零点，
令，可得，
则直线与函数在上的图象有交点，
在上恒成立，
则函数在上单调递增，
又时，，，
则．
故选：．
易知，则，问题等价于函数在上存在零点，令，进一步可转化为直线与函数在上的图象有交点，利用导数研究函数的取值情况，即可得到答案．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，年下半年中国为万亿元，故A正确；
对于，年与年的之和万亿元，年中国为万亿元，
所以年中国小于年与年的之和，故B错误；
对于，由统计图可知，年中国同比增长率超过的有年、年、年，故C正确；
对于，由统计图可知，年中国同比增长最快的是年，故D正确．
故选：．
根据统计图逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
对于选项A：当时，，
所以函数是上的增函数，故选项A正确；
对于选项B：不妨令，
整理得，
不妨设，函数定义域为，
易知，在定义域上恒成立，
所以，
此时直线与的图象在的情况下没有公共点，故选项B正确；
对于选项C，当时，令，
解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，的单调递减区间为，故选项C正确；
对于选项D：不妨令，此时，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
当时，函数取得极大值，极大值，故选项D错误．
故选：．
由题意，对函数进行求导，根据导数的几何意义得到函数的单调性，进而判断选项A和选项C；将分类出来，易知当时才会有交点，进而判断选项B；令，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，进而判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，解得，，
可得，
所以椭圆的方程为：；
对于，可知短轴长，故A正确；
对于，，在椭圆上，，，
可知四边形的周长为，故B错误；
对于，当在上下顶点处时，最大，
此时由离心率为，，，
，在上下顶点处时，，
存在两个不同的点，使得，故C错误；
对于，由可知一定是锐角，
若为锐角三角形，则点横坐标的取值范围是，故D正确．
故选：．
由已知可得，可求椭圆方程，根据椭圆的性质，结合每个选项的条件计算可判断其正确性．
本题考查求椭圆的方程，考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为，
，解得，，故A错误；
以，，为正方体的同一顶点的三条棱，可得为正方体的外接球的直径，
正方体的外接球即是三棱柱的外接球，
，
，，
当且仅当时取等号，
三棱柱的体积的最大值为，
又平面，到平面的距离为，
又是的中点，到平面的距离为，故C错误；
，是直线与所成的角，，
平面，为直线与平面所成的角，
，
，故D正确；
故选：．
利用空间几何体的性质，结合每个选项的条件计算判断即可得结论．
本题考查空间几何体的体积的计算，考查线线角与线面角的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：根据题意知，的展开式的通项公式为，
展开式中含项的系数为，解得或．
故答案为：或．
由题意可得，的展开式的通项公式，根据的系数为列方程求得的值即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，选中前锋的概率为，选中中场的概率为，选中后卫的概率为，
则任选一名球员点球进门的概率是．
故答案为：．
利用相互独立事件的乘法公式求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：是偶函数，的定义域为，
的图象关于对称，
又时，，
在上单调递减，在上单调递增，
由得，，即，解得或，
不等式的解集为．
故答案为：．
根据条件得出关于对称，在上单调递减，在上单调递增，然后由得出，解出的范围即可．
本题考查了偶函数的定义及对称性，二次函数的单调性及单调区间，绝对值不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，过作平面于，连接，，，
，，
是的外心，为的中点，
四面体外接球的球心在上，，
设外接球的半径为，
，
解得，
该四面体外接球的体积为
故答案为：
由已知可得，过作平面于，连接，，，可得是的外心，进而可得四面体外接球的球心在上，进而可求四面体外接球的半径，可求得该四面体外接球的体积．
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，考查运算求解能力，属中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ设公差为的等差数列中，，．
所以，解得，
故．
Ⅱ由于若是等比数列，且，，
由Ⅰ得：，，
故，
所以，
所以，
故． 

【解析】Ⅰ直接利用等差数列的性质，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；
Ⅱ首先求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以；
Ⅱ证明：因为，所以，
由余弦定理可得，
所以，即，
所以，所以，所以，
所以是正三角形． 

【解析】Ⅰ由正弦定理得，进而运算可得，可求；
Ⅱ利用余弦定理及三角形的面积可证，可得结论．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

19.【答案】Ⅰ证明：建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，交于点，所以，，，
，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
计算，所以，
又因为平面，所以平面；
Ⅱ因为，，
计算直线与平面所成角的正弦值为
，． 

【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出与平面的法向量，再判断平面；
Ⅱ利用向量计算直线与平面所成角的正弦值．
本题考查了空间中的直线与平面平行以及直线与平面所成角的计算问题，是中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ根据题意可知，，
．
Ⅱ爸爸做经验分享的天数的所有可能取值为，，，，，且，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

根据二项分布的期望公式可知． 

【解析】Ⅰ根据古典概型概率公式求出，根据求出即可；
Ⅱ根据题意可知，爸爸做经验分享的天数的所有可能取值为，，，，，且，计算对应概率，写出分布列和期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ证明：函数的定义域为，，
令，
，，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以对任意恒成立，
所以在上单调递减．
Ⅱ由题知
，
，
即，
令，
，，
令得舍或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为． 

【解析】Ⅰ函数的定义域为，求导分析的符号，的单调性，即可得出答案．
Ⅱ由题知，由于单调递增，则，即，令，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ点在双曲线：上，
，解得，
双曲线的方程为，
则，，设点坐标为，
则，，
，
点在双曲线上，，；
Ⅱ证明：设以为直径的圆与轴的交点为，
由Ⅰ可知双曲线的右焦点为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，，
，
整理得到．
由，消去可得，
直线与双曲线有两个不同的交点，
，且，
，由题设有对任意的总成立，
，，
可转化为，
整理得到对任意的总成立，
故，解得，即点的坐标为．
当直线的斜率不存在时，：，
此时，或，，
则，即在以为直径的圆上，
综上，以为直径的圆恒过轴上的定点，且定点的坐标为． 

【解析】Ⅰ将点代入双曲线方程即可得方程，直接计算与斜率乘积即可；Ⅱ假设存在定点，则，由此将根与系数的关系代入即可得．
本题考查直线与双曲线的综合问题，考查过定点问题，属于难题．