2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知一次降雨过程中，某地降雨量单位：与时间单位：的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度某一时刻降雨量的瞬时变化率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，，其中，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某工厂为研究某种产品的产量单位：吨与所需某种原料单位：吨的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表：

根据表格中的数据，得出关于的经验回归方程为据此计算出样本点处的残差为，则表格中的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一批产品中有一等品若干件，二等品件，三等品件，若从中任取件产品，至少有件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品至少有(    )

A. 件 B. 件 C. 件 D. 件

7.  已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，若存在区间，，使得在上的值域为，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若，其中，，，，为实数，则(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知，则下列结论正确的是(    )

A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为

11.  从装有个红球和个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回记“第一次摸出的是红球”为事件，“第一次摸出的是蓝球”为事件，“第二次摸出的是红球”为事件，“第二次摸出的是蓝球”为事件则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  记函数的图象为，下列选项中正确的结论有(    )

A. 函数的极大值和极小值均有且只有一个
B. 有且仅有两条直线与恰有两个公共点
C. 不论实数为何值，方程一定存在实数根
D. 上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  的展开式中，常数项为______用数字作答

14.  某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为，随机选择名患者，经过使用该药治疗后治愈人的概率记为，则当取最大值时，的值为______ ．

15.  不等式的解集为______ ．

16.  将四个“”和四个“”按从左到右的顺序排成一排，这列数有______ 种不同排法；若这列数前个数中的“”的个数不少于“”的个数，则这列数有______ 种不同排法用数字作答

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知集合，，且为非空集合．
当时，，求实数的取值范围；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求时，的解析式；
求不等式的解集．

19.  本小题分
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其箱产量如下表所示．

根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；
现需从抽取的新、旧网箱中各选箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望．
附：，，．

20.  本小题分
已知函数．
若函数在处有极大值，求实数的值；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

21.  本小题分
某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．
为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制一方获胜四局则本轮比赛结束假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前局比赛均获胜的概率；
经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级名学生中随机抽取了名学生的成绩作分析将这名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
附：若随机变量，则，，．

22.  本小题分
已知函数，．
若直线与函数的图象相切，求实数的值；
若不等式对定义域内任意都成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
先化简集合，再利用并集定义即可求得．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
在时的瞬时降雨强度为．
故选：．
根据导数的概念，求出函数的导数，代入，可得答案．
本题主要考查了导数的概念，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以
．
故选：．
利用及对立事件的概率公式即可得解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，函数是偶函数，排除选项A、．
时，的速度更快，排除．
故选：．
利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊值排除选项即可．
本题考查函数的图象的判断，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据样本处的残差为，即，可得，
即回归直线方程为，
又由样本数据的平均数为，
得，解得．
故选：．
由残差的意义得到回归直线方程，进而根据回归直线方程过样本中心点，得到的值．
本题考查了回归直线方程过样本中心点的性质，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设该批产品共有件，，，
从中任取件产品，均不是一等品的概率为，
则至少有件一等品的概率为，
由题意，即，可得，
则该批产品中一等品至少有件．
故选：．
利用对立事件的概率关系，求出至少有件一等品的概率，列出不等式求解即可．
本题考查对立事件以及古典概型相关知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由可知在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
故，所以．
故选：．
根据可知在上单调递增，进而由导数即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数开口向上且对称轴为，
在上单调递增，
存在区间，，使得在上的值域为，
则有，即方程在有两不同实数根，
，解得，
的取值范围为．
故选：．
在上单调递增，根据题意有，即方程在有两不同实数根，列出不等式组，求解即可．
本题主要考查了二次函数的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，其中，，，，为实数，
令，可得，故A正确．
再根据，，可得，故B正确．
在所给的等式中，令，可得，，故C正确．
在所给的等式中，两边同时对求导数，可得，
再令，可得，故D错误．
故选：．
在所给的等式中，分别令、、，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求函数的导数，是给变量赋值的问题，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由得，则，，
当且仅当，取等号，故A错误；
对于，，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于，，，
，故C错误；
对于，，，
，
，，则当，即时，取最小值，故D正确．
故选：．
由得，利用基本不等式可判断；利用“的妙用”结合基本不等式可判断；由可得，代入化简可判断；将代入并整理化简，利用二次函数的性质可判断．
本题考查基本不等式的运用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，
事件有两种情况，第一次摸出红球，第二次摸出红球；第一次摸出蓝球，第二次摸出红球，
则，故A正确；
，故B错误；
，，
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
求出，，进而得出，，即可判断；根据条件概率公式计算可判断．
本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，则，
当时，，均为单调递增函数，
所以在单调递增，
由于，，
故存在唯一的实数，使得，
而当，，，，
又当，，
故在单调递减，在单调递增，
故当时，取极小值，
又，
所以为奇函数，
由对称性可知当时，取极大值，故A正确，
根据的单调性和奇偶性，作出的大致图象如下：

故经过极值点且与轴平行的直线，及在极值点附近与曲线相切，
与曲线另一侧相交的直线均与点图象有两个交点，故B错误，
由于当趋于时趋于，且为奇函数，
直线恒过定点，，
所以与的图象恒有交点，
故恒有根，故C正确，
对于，任意经过原点且与相交的直线，过弦中点作垂线交于于点，

则三角形即为等腰三角形，这样的三角形有无数多个．故D错误．
故选：．
利用导数确定函数的单调性，结合函数的奇偶性，作出函数的大致图象，即可根据选项逐一判断．
本题考查导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
由得，从而得常数项，
故答案为：．
本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式，令的次数为即可．
本题考查二项式定理的基础知识与基本性质，二项式定理通常考查的内容有项、系数、和的运算等等，同时还会考查赋值法的数学思想，对这些知识要熟练地掌握，其在高考中的难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：该新药针对某种疾病的治愈率为，随机选择名患者，
经过使用该药治疗后治愈人的概率记为，
则，
且，
，
可得，解之得
又，，，，，则
则当取最大值时，的值为．
故答案为：．
先求得的解析式，列出关于的不等式组，解之即可求得当取最大值时的值．
本题考查次独立重复实验的概率，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：作出，其中的图象，如图，

时，单调递减，单调递增，两个函数均过点，
时，，，
时，，，
由图可知，当时，，
则不等式的解集为．
故答案为：．
作出，其中的图象，数形结合可得解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的函数和性质，属于中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：对于第一空：在个位置中选出个，安排个“”，剩下个位置安排个“”即可，
则有个排列；
对于第二空：若这列数前个数中的“”的个数不少于“”的个数，
则第个数必须为，
若第个数为“”，则在后面个位置中选个安排“”，有个排列，
若第个数为“”，则第三个数必为“”，在后面个位置中选个安排“”，有个排列，
故共有个排列．
故答案为：，．
对于第一空：在个位置中选出个，安排个“”，剩下个位置安排个“”即可，由组合数分析可得答案；
对于第二空：分析可得第个数必须为，对第二个数分情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意可得：，
为非空集合，则，，
当时，，因为，
所以或，解得，故实数的取值范围．
若“”，则，
“”是“”的充分条件，
则，
所以或或，
解得或或，即，
所以实数的取值范围． 

【解析】根据题意求解集合，，进而结合运算求解；根据题意求解集合，进而结合充分条件运算求解．
本题考查集合的运算，考查充分必要条件，属于基础题．
 

18.【答案】解：是定义在上的奇函数，则，
当时，，则，所以，．
当时，．
当时，，可得或，解得；
当时，，可得，解得．
综上所述，不等式的解集为． 

【解析】由奇函数的性质可得出，当时，，即可得出在上的解析式；
分、、解不等式，综合可得出不等式的解集．
本题主要考查了函数的奇偶在函数解析式求解中的应用，还考查了不等式的求解，属于基础题．
 

19.【答案】解：零假设：箱产量与养殖方法无关，
根据列联表数据可得：．
所以依据小概率值的独立性检验，不成立，
即认为箱产量与养殖方法有关．
根据题意可知，，．
又，
，
，
所以的分布列为：

所以． 

【解析】根据列联表数据计算，与参考数据比较可得结论；
，，，求出对应概率，即可得的分布列和期望．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
 

20.【答案】解：，
当，即或时，函数可能有极值，
由题意，函数在处有极大值，所以，
所以，时，，在区间上单调递增；
时，，在区间上单调递减；
时，，在区间上单调递增；
所以当时，取得极大值，此时，．
若，时，，在区间上单调递增，
，解得．
所以符合题意；
若即，由可知，在区间上单调递增，
所以，解得，
所以，不合题意；
若即，由可知，在区间上的最大值为，
所以只需，即，又，解得．
综上所述：，即实数的取值范围是 

【解析】由导数与极值的关系列式求解，
由导数分类讨论单调性后得最大值列式求解，
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件，
“甲以：或：或：获胜”分别记为事件，，，
“甲前局比赛均获胜”为事件．
则，
，
，
．
，
．
所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，
前局比赛均获胜的概率．
设该校高二年级学生体能检测的成绩为，则
，
所以，
所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为人，
而，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格． 

【解析】利用条件概率计算公式即可求得甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前局比赛均获胜的概率；
利用正态分布的性质即可求得全年级不合格人数总人数的百分比，与比较后即可得到该年级体能检测是否达标．
本题主要考查正态分布的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：设直线与函数的图象相切于点，
则，
所以，
所以；
在定义域上恒成立，
即，即在上恒成立，
令，则，
令，则，
则在上单调递增，又，，
所以存在唯一实数，使得，即，
且当时，，所以，单调递减，
当时，，所以，单调递增，
所以，
由可得，
即，
因为时，，
所以在上单调递增，所以，
所以，
所以，即实数的取值范围． 

【解析】设直线与函数的图象相切于点，利用导数求出切线斜率与已知切线斜率相等可得答案；
转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．