5初中数学.二次函数图象及性质.第05讲

模块一  二次函数的定义

1. 一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．
2. 任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式．
3. 判断函数是否为二次函数的方法：

①         含有一个变量，且自变量的最高次数为2；

②         二次项系数不等于0；

③         等式两边都是整式．

4. 二次函数自变量的取值范围是全体实数．

【例1】         下列函数中是二次函数的是（      ）

A．                       B．

C．                      D．

【难度】1星

【解析】首先选出整式函数，再整理成一般形式，根据二次函数的定义条件判定即可

【答案】D

【巩固】下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

【难度】1星

【解析】正确理解二次函数的概念

【答案】（1）是，二次项系数1，一次项系数0，常数项0；

       （2）否，不是整式；

       （3）是，二次项系数2，一次项系数，常数项；

       （4）是，二次项系数，一次项系数，常数项；

       （5）否，整理后二次项系数为．

【例2】         下列说法正确的是（      ）

A．二次函数的自变量的取值范围是非零实数

B．圆的面积公式中，是的二次函数

C．不是二次函数

D．中一次项系数为1

【难度】1星

【解析】考查二次函数的基本知识点。

【答案】B

【巩固】下列各式中，是的二次函数的是（      ）

A．

B．

C．

D．

【难度】1星

【解析】将各个解析式整理成一般形式，在根据二次函数的基本概念判断。

【答案】C

【例3】         若函数为二次函数，则的值为？

【难度】2星

【解析】根据二次函数的定义，二次项系数不为零，次数是2

【答案】

        解得，

【巩固】已知函数（为常数）

        （1）当为何值时，此函数为二次函数？

        （2）当为何值时，此函数为一次函数？

【难度】2星

【解析】二次函数与一次函数定义对比

【答案】（1）由题意，知

        ，又

时，是二次函数

（2）由题意，知

时，是一次函数

模块二  二次函数的图象与性质

1. 顶点坐标：原点（0，0）
2. 对称轴：，或说轴
3. 图象：抛物线
4. 图象与的符号关系：

①  当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②  当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

5. 抛物线的开口大小与有关，越大，开口越小；越小，开口越大。
6. 二次函数性质对比

【例4】         在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：；；；；并探究二次函数开口大小与之间的关系

【难度】2星

【解析】作图要按照列表、描点、连线的方法来做；二次函数作图象要用五点法，自变量要既取正数，又取负数。

【答案】列表略，图略

【小结】抛物线的开口方向与的符号有关，当时，开口向上；时，开口向下；

        抛物线的开口大小与有关，越大，开口越小；越小，开口越大。

【巩固】如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④。则、、、的大小关系为（      ）

       A．

       B．

C．

D．

【难度】2星

【解析】考查的性质。

【答案】A

【例5】         已知函数是关于的二次函数，求

（1）       满足条件的的值

（2）       为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时，抛物线的开口方向、增减性如何？

（3）       为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？

【难度】2星

【解析】考查函数的性质的应用。

【答案】（1）依题意得

        解得

       当或时，原函数为二次函数

      （2）若抛物线有最低点，则抛物线开口向上

       ，即

       由（1）的结论或

       二次函数为

函数的最低点为，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大

（3）若二次函数有最大值，则抛物线开口向下

       ，即

       由（1）的结论或

       二次函数为

当时，函数有最大值0；

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小

模块三  二次函数的图象与性质

1. 顶点坐标：原点（0，）
2. 对称轴：（ 轴）
3. 函数的图像与的符号关系：

①  当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②  当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

4. 函数的图像可以看做是由函数的图像向上或向下平移个单位得到的；时，向上平移；时，向下平移。
5. 决定了函数图象与轴的交点坐标：

【例6】         函数的图象可以看做是函数的图象向      平移       个单位得到的。

【难度】1星

【解析】考查函数与之间的关系。

【答案】向下平移3个单位

【巩固】函数的图象可以看做是函数的图象向      平移       个单位得到的。

【难度】1星

【解析】考查函数与之间的关系。

【答案】向上平移3个单位

【巩固】函数的图象可以看做是函数的图象向      平移       个单位得到的。

【难度】2星

【解析】考查函数与之间的关系。

【答案】向下平移6个单位

【例7】         二次函数的图象开口           ，当           时，随的增大而减小；

二次函数的图象开口            ，当           时，随的增大而增大；

二次函数的图象开口           ，当           时，随的增大而增大。

【难度】1星

【解析】考查函数的性质。

【答案】向下，；向上，；向下，

模块四  二次函数的图象与性质

1. 顶点坐标：原点（，0）
2. 对称轴：
3. 函数的图像与的符号关系：

①  当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②  当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

4. 函数的图像可以看做是由函数的图像向左或向右平移个单位得到的；时，向右平移；时，向左平移

【例8】         （1）抛物线的顶点坐标是           ，对称轴是            ；

（2）抛物线的开口方向           ，顶点坐标           ，对称轴是           ，当             时，随的增大而增大

【难度】2星

【解析】考查函数与的性质对比。

【答案】（1）顶点坐标，对称轴；

（2）开口向上，顶点坐标为，对称轴（轴），当时，随的增大而增大

【巩固】把抛物线向右平移1个单位，所得到的抛物线函数的表达式为（      ）

        A．

B．

C．

D．

【难度】2星

【解析】考查函数与、的性质对比。

【答案】D

【例9】         已知直线与轴交于点A，抛物线的顶点平移后与点A重合。

（1）          求平移后的抛物线C的解析式；

（2）              若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小

【难度】2星

【解析】根据题意确定抛物线C的解析式，然后由抛物线的性质比较，的大小

【答案】（1），

            令，则，

            ，由题意知，

            抛物线C的解析式为

       （2）由（1）知，抛物线C的对称轴为，

            当时，随的增大而减小

            又

【巩固】已知，抛物线的顶点为C，与轴交点为A，过点A作轴的垂线，交抛物线于另一点B。

（1）          求直线AC的方程；

（2）          求的面积；

（3）          当自变量满足什么条件时，有？

【难度】2星

【解析】根据题意确定抛物线C的解析式，然后由抛物线的性质比较，的大小

【答案】（1）由知抛物线顶点，令，得

将代入，

解得

       （2）抛物线的对称轴为，根据抛物线对称性知

       （3）根据图象知或时，有

模块五  二次函数的图象与性质

1. 顶点坐标：原点（，）
2. 对称轴：
3. 函数的图像与的符号关系：

①  当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②  当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

4. 函数的图像可以看做是由函数的图像先向左或向右平移个单位，在向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移

【例10】     把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（      ）

A．

B．

C．

D．

【难度】1星

【解析】考查二次函数之间的联系

【答案】D

【巩固】二次函数的最小值是（      ）

        A．

        B．2

        C．

        D．

【难度】1星

【解析】考查二次函数的极值

【答案】B

【例11】     已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线。

（1）          求出、、的值；

（2）          在同一坐标系中，画出与的图象；

（3）          观察的图象，当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小，并求出函数的最值；

（4）          观察的图象，你能说出对于一切的值，函数的取值范围吗？

【难度】3星

【解析】考查二次函数的特点

【答案】（1）由已知，，，

       （2）略

       （3）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数有最大值是2

       （4）右图像知，对于一切的值，总有函数值

【例12】     将下列函数配成的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值。

（1）                  （2）

【难度】2星

【解析】考查配方法的应用

【答案】（1）原式，顶点：，对称轴：，最小值为1

       （2）原式，顶点：，对称轴：，最大值为

模块六  二次函数的图象与性质

1. 顶点坐标：
2. 对称轴：
3. 图象：抛物线
4. 最值：

时，函数有最小值；

时，函数有最大值。

5. 图象与字母之间的关系：

        ①  的符号决定了函数图象的开口方向：，图象开口向上，图象开口向下。

        ②  决定了函数图象的开口大小：越大，开口越小；越小，开口越大。

        ③  与共同决定抛物线对称轴与轴的位置：左同右异。

        ④  决定了函数图象与轴的交点坐标：

        ⑤  决定了函数图象与轴的交点情况：当，有两个交点；当，有一个交点；当，没有交点。

        ⑥  当时，可以得到的值；当时，可以得到的值

【例13】     已知二次函数

（1）          试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。

（2）          为何值时，有极值？

（3）          画出函数的图象，并说明当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小

【难度】2星

【解析】考查二次函数的性质特点

【答案】（1）开口向下，顶点坐标为，对称轴为

       （2）当时，

       （3）画图略，当时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小

【例14】     二次函数的图象必过点（      ）

A．     B．        C．         D．

【难度】2星

【解析】考查二次函数的性质特点，可以选择将选项代入的方法解题

【答案】C

【例15】     二次函数的图象如图所示，则下列关于之间的关系判断正确的是（      ）

A．    

B．       

C．        

D．

【难度】1星

【解析】考查二次函数系数与图象之间的关系，由图象可知，，。

【答案】D

【巩固】抛物线的对称轴是，且经过点，则的值为（      ）

A．                          B．       

C．                            D．2

【难度】2星

【解析】考查二次函数系数与图象之间的关系，由于点关于对称轴的对称点为，所以。

【答案】B

【巩固】二次函数的图象如图，则不等式的解为（      ）

A．                          B．       

C．                            D．

【难度】2星

【解析】考查二次函数系数与图象之间的关系，由图象可知，，解不等式得

【答案】D

【例16】     如图，已知抛物线，则关于的方程的根的情况是（     ）

A．有两个不相等的正实根 

B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

【难度】3星

【解析】考查二次函数图象与之间的关系，由图象知，，，在中，。方程有两个相等的实数根。

【答案】C

1. 抛物线的图象可以看作是由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是(      )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

【难度】2星

【解析】考查二次函数的性质特点

【答案】B

2. 二次函数的图象的顶点坐标是（      ）

A．（，8）     B．（1，8）        C．（，2）         D．（1，）

【难度】1星

【解析】考查二次函数的顶点坐标公式

【答案】A

3. 给出下列四个函数：①；②；③；④．时， 随的增大而减小的函数有（       ）

A．1个     B．2个     C．3个       D．4个

【难度】2星

【解析】考查函数的增减性知识，需要注意的是反比例函数在整个自变量取值范围内，不讨论增减性。根据性质可知，①③④在的范围内，满足要求。

【答案】C

4. 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（      ）

 A. 最小值     B. 最大值          C. 最小值2         D. 最大值2

【难度】2星

【解析】考查函数的开口方向与函数能取得的极值之间的联系。开口向上，有极小值；向下，有极大值。

【答案】B

5. 写出图象经过点的一个二次函数关系式           ．

【难度】2星

【解析】考查函数经过点的性质。学生的答案可以不唯一，但将点作为顶点考虑，将会最简单。

【答案】（答案不唯一）

6. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：

①；②；③；④；⑤

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①②   B．①③④  

C．①②③⑤  D．①②③④⑤

【难度】2星

【解析】考查二次函数系数与图象之间的关系，由图象可知，，。

【答案】C

7. 如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（     ）

A．              B．

 C．              D．

【难度】3星

【解析】考查函数解析式中顶点坐标、对称轴的性质。

【答案】A

8. 已知二次函数的图象()如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(      )

  A．有最小值0，有最大值3    B．有最小值，有最大值0

  C．有最小值，有最大值3       D．有最小值，无最大值

【难度】3星

【解析】考查函数解析式中顶点坐标、对称轴的性质。

【答案】D

9. 由二次函数，可知（    ）

A．其图象的开口向下         B．其图象的对称轴为直线

C．其最小值为1             D．当时，随的增大而增大

【难度】2星

【解析】考查函数解析式的性质。

【答案】C．

10. 已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？

【难度】2星

【解析】考查二次函数的定义。

【答案】

        解得

        时，函数是二次函数

11. 已知函数

① 当，，是怎样的数时，它是一次函数？

② 当，，是怎样的数时，它是正比例函数？

③ 当，，是怎样的数时，它是二次函数？

【难度】1星

【解析】考查二次函数、一次函数与正比例函数的定义

【答案】① 当取任意实数时，函数为一次函数

        ② 当时，函数为正比例函数

        ③ 当为任意实数时，函数为二次函数

12. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，求的取值范围

【难度】2星

【解析】本题考查二次函数的增减性，应结合它的图象进行分析。

【答案】抛物线的对称轴为，由题意知

        解之

13. 已知函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为？

【难度】3星

【解析】本题考查二次函数的对称性。函数的图象是关于直线对称的，所以对于都可发现互为相反数，即。

【答案】5

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1. 下列函数中，随增大而增大的是（     ）

A.   

B.    

C.    

D.

【难度】2星

【解析】考查二次函数的增减性．

【答案】A

2. 下列函数中,当时，值随值增大而减小的是（    ）．

A．

B．

C．

D．

【难度】2星

【解析】考查一次函数、反比例函数与二次函数的增减性．

【答案】D

3. 下列二次函数中，图象以直线为对称轴，且经过点(0，1)的是 (      )

A．

B．

C．                   

D．

【难度】2星

【解析】考查二次函数中对称轴的性质．

【答案】C

4. 抛物线的顶点坐标是（      ）

A．（1，0）                 B．（，0）  

C．（，1）          D．（2，）

【难度】2星

【解析】考查二次函数形式中顶点坐标公式．

【答案】A

5. 抛物线的顶点坐标是（      ）．

A．（2，）；              B．（，3）；     

C．（2，3）；                D．（，）

【难度】2星

【解析】考查二次函数形式中顶点坐标公式．

【答案】D

6. 将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（      ）

A．           B． 

C．           D．

【难度】2星

【解析】考查二次函数图象平移与函数解析式之间的关系．

【答案】A

7. 已知函数的图象上有三点，则的大小关系为？

【难度】2星

【解析】考查二次函数图象特性．点A、B、C离对称轴的距离从小到大依次为A，B，C

【答案】B

8. 的图象如图所示．并设则（    ）

  A．            B．    

 C．            D．不能确定为正，为负或为

【难度】3星

【解析】考查二次函数系数与图象之间的关系。

【答案】C

9. 设，若与成正比例函数，与成反比例函数，写出与的函数关系式，并说明该函数是什么函数关系。

【难度】3星

【解析】考查函数解析式的定义．

【答案】设，

       则

所以是的二次函数

10. 函数为二次函数

（1）       若其图象开口向上，求函数关系式，并写出其顶点坐标和对称轴；

（2）          若当时，随的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象

【难度】2星

【解析】考查函数的定义，以及图象的性质

【答案】（1）由题意知，解得或

            因为函数图象开口向上，所以，解之所以

            所以抛物线的解析式为

            顶点为，对称轴为轴

       （2）由已知，因为函数图象开口向下，

所以，所以函数解析式为

图略

11. 抛物线与直线交于点

（1）       求，的值；

（2）       求抛物线与直线的两个交点的坐标（在的右侧）

（3）       求的面积

【难度】2星

【解析】考查函数的定义，以及两个函数求交点

【答案】（1）

       （2），当时，

           所以，

       （3）