11初中数学.旋转与中心对称（二）.第11讲

模块一  简单类旋转与全等

【例1】         是等腰内一点，是斜边，如果将绕点逆时针方向旋转到的度数是(    )

A．        B．     C．     D．

【解析】∵为旋转中心，是点的对应点，∴，且旋转角，

∴是等腰直角三角形，故选．

【答案】D

【巩固】如图，是正内的一点，若将绕点旋转到，则的度数是(    )

A．   B．   C．   D．

【解析】略

【答案】B

【巩固】如图，将绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为(    )

A．   B．   C．   D．

【解析】A

【答案】A

【巩固】中，，将它绕着逆时针旋转后得到，则的度数是多少？

【解析】∵，由旋转知，又∵，∴．

【答案】

【例2】         如图所示，是直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么______．

【解析】又旋转知，，所以，所以是等腰直角三角形，所以．

【答案】

【巩固】如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_________．

【解析】由旋转的概念知，由知，所以勾股定理得

【答案】5

【拓展】如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与点之间的距离为______，        ．

【解析】由旋转的特征知，，

由是正三角形，则，从而，

所以是正三角形，所以;

在中，，，

由勾股定理的逆定理知是直角三角形，，

从而．

【答案】6；

模块二  旋转中的基本模型

【例3】         如图，四边形是正方形，是延长线上的点，旋转一定角度后得到，如果，．

⑴指出旋转中心和旋转角度；

⑵求的长度．

【解析】⑴旋转中心是点，旋转角度为顺时针方向；

⑵是顺时针方向旋转得到，．

，，．

【答案】3

【巩固】⑴如图1，点是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连结和，相交于点，连结．求的大小．

⑵如图2，固定不动，保持的形状和大小不变，将绕着点逆时针旋转，求的大小．

【解析】如图和，，．

【例4】         (08年大兴一模考试题)如图，和都是等腰直角三角形，点为的中点，求证：为等腰直角三角形．

【解析】 ∵点是的斜边的中点，∴，

∴，∴

同理可证：，

∴，∴

∴是等腰直角三角形．

【巩固】把边长分别为和的矩形如图放在平面直角坐标系中，将它绕点顺时针旋转角，旋转后的矩形记为矩形．在旋转过程中，

（1）如图①，当点在射线上时，点坐标为___________；

（2）当是等边三角形时，旋转角的度数是____________(为锐角时)；

（3）如图②，设与交于点，当时，求点的坐标；

【解析】略

【答案】（1）；（2）；

（3） 设，则，

在中，，即，

解得，即．

【例5】         (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：

已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

【解析】 ⑴

证明：根据绕点顺时针旋转得到

∴

∴，，，

在中

∵

∴

∴

即

∴

又∵

∴

∴

即

∴

∴

∴

⑵ 关系式仍然成立

证明：将沿直线对折，得，连

∴

∴，

，

又∵，∴

∵

∴

又∵

∴

∴，

∴

∴在中

即

【拓展】取一副三角板按图①拼，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图所示．

试问：⑴当为多少度时，能使得图②中？

⑵连结，当时，探寻值的大小变化情况，并给出你的证明．

【解析】略

【答案】（1），∴要使，则，

又，

（2）如图3，，．

．

1. 在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是(    )．

     A．锐角三角形       B．直角三角形

C．钝角三角形       D．随、、的变化而变化

【解析】 如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，

则，，，

∴．

∴，∴

又易得，∴在中，有，故应选(B)

2. 在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．

【解析】 延长交延长线于点．

是中点，，

，，，

在和中，

，

又，

在和中，

，