专题3-22 函数中的几何压轴题（一）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）

这是一份专题3-22 函数中的几何压轴题（一）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用），共74页。试卷主要包含了，顶点坐标为点等内容，欢迎下载使用。

专题3.22 函数中几何压轴题（一）
1．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图，矩形中，，，点是的中点，是射线上一点，延长交直线于，过作，分别交射线、直线于、．
(1) ①当时，______；
②点在上取不同位置，的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；
(2) 连接，当是等腰直角三角形时，求的长；
(3) 直接写出的最小值______．









2．（2022·山东菏泽·统考三模）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
(3) Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．




3．（2022·天津河东·统考二模）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处．

(1) 如图①，当时，求点的坐标；
(2) 如图②，连接，当时．
①求点的坐标；
②连接，求与重叠部分的面积；
(3) 当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．





4．（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）如图，点A在y轴正半轴上，点B坐标为，点C坐标为．D为AC边上一点，记D点的横坐标为n，过点D作轴，与AB边交于点F，与过B，O，D三点的抛物钱交于点E．连结FO，EC交于点H，EC交AB于点G．
(1) 求DF，DE的长（用含n的代数式表示）．
(2) 求的值．









5．（2022·上海松江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．





6．（2022·河北唐山·统考二模）如图，在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x经过点A（﹣4，a），直线l2与l1交于点，与y轴交于点B，点A关于x轴对称的点A′在直线l2上．
(1) 求直线l2的函数表达式；
(2) 连接AB，求△AOB的面积；
(3) 过点D（n，0）作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，若M，N两点间的距离不小于5，直接写出n的取值范围；
(4) 若Q是直线l2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，直接写出OQ'的最小值．



7．（2022·广东深圳·深圳市观澜第二中学校考模拟预测）已知，点为二次函数图像的顶点，直线分别交轴正半轴，y轴于点A，B．
(1) 判断顶点是否在直线上，并说明理由；
(2) 如图，若二次函数图像也经过点A、B，且，根据图像，写出的取值范围．

(3) 如图，点A坐标为，点在内，若点，都在二次函数图像上，试比较与的大小．








8．（2020·贵州遵义·统考二模）如图，直线交x轴于点B、y轴于点C，抛物线经过点B，点C，且过，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1) 求此抛物线的表达式；
(2) 动点P运动到什么位置时，的面积最大？若存在，请求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；










9．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 已知点，点P为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点H，连结，当四边形的面积为时，求点H的坐标；
(3) 已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．







10．（2022·云南文山·统考三模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点坐标为点．
(1) 求m的值；
(2) 设点P在抛物线的对称轴上，连接，求的最小值．





11．（2023·四川绵阳·统考二模）抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是第一象限抛物线上动点，连接，．
(1) 求抛物线和直线的解析式；
(2) 如图1，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标；
(3) 如图2，设，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得恰好等于，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．











12．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求m的值．




13．（2023·云南曲靖·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；
(3) 在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．








14．（2023·辽宁阜新·校考一模）如图1，抛物线经过点于，与x轴交于点两点，点A与点C关于抛物线的对称轴对称．
(1) 求抛物线的解析式，并直接写出点C的坐标；
(2) 如图2，点D是线段上一点，过点A作交延长线于点E，若四边形四边形，求线段的长；
(3) 在抛物线上存在点P，请直接写出到直线和到x轴的距离相等时点P的坐标．









15．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点，．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 连接，，．求证：；
(3) 点为抛物线对称轴上的一个动点，点是平面直角坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．







16．（2023·山东济南·校联考模拟预测）正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．

(1) 如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；
(2) 如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
(3) 如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．



17．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点C，过点A作直线交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且．
(1) 求反比例函数和直线的表达式；
(2) 求的面积．












18．（2023·四川成都·统考一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．
(1) 求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2) 过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
(3) 我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值．



19．（2022·山东济南·统考一模）图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，，分别落在轴和轴上，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点．
(1) 求的值及反比例函数表达式．
(2) 在x轴上是否存在一点M，使的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
(3) 在线段上存在这样的点P，使得是等腰三角形，请直接写出的长．





20．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，设直线的解析式为，连接，．

(1) 求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2) 点为轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点的坐标；
(3) 点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．







21．（2022·广东佛山·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接．
(1) 求直线的表达式．
(2) 求的值．
(3) 如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数（）于点．在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．




22．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作轴，垂足为C，其中的面积等于3．
(1) 求出一次函数的表达式；
(2) 直接写出不等式的解集；
(3) 点P是一次函数图象上的动点，若CP把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标．


23．（2022·广西河池·统考二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 两点，与y轴相交于点C．
(1) 写出一次函数与反比例函数的解析式；
(2) 过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，连接AD，求的面积．
(3) 直接写出不等式组的解集．










24．（2023·山东济南·统考一模）如图1，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交点．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 在双曲线上是否存在一点，满足，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图2，过点作交反比例函数的图象于点，点为反比例函数的图象上一点，，请直接写出点的坐标．
































参考答案
1．(1)①，②点在上取不同位置，的值不变，(2)(3)
【分析】（1）①过作于，过作于，证明出即可得解；②过作于，过作于，证明出，即有；
（2）根据，是等腰直角三角形时，即有，根据，有，结合（1）中的结论即可求得，，即有，即可求出PD；
（3）以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，连接GE，设P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，利用待定系数法求出直线PE的解析式，进而求出F点坐标，根据勾股定理求出、、、，再根据（1）中已得，即有，即，在Rt△PGE中，，在Rt△GEC中，，即，则有，设8-m=t，即t＞0，则，根据，得到，即有，则GC的最小值可求．
（1）解：①过作于，过作于，如图所示：

在矩形中，，
∵，点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，则，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
则，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
②点在上取不同位置，的值不变，．
过作于，过作于，如图所示：

在矩形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠IGP=∠FEJ，
∴，
∴，
∴点在上取不同位置，的值不变，；
（2）解：∵，
∴是直角三角形，
当是等腰直角三角形时，，
∵，
∴，
∵在（1）中有，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵PA+PD=AD=BC=8，
∴，
∴；
（3）以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，连接GE，如图，

则有B点坐标为(0,0)、C点坐标为(8,0)、E点坐标为(8,3)，
设P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，
∵P点坐标为(m,6)、E点坐标为(8,3)，
∴设直线PE的解析式为，
则有：，解得：，
则直线PE的解析式为，
∴PE与y轴的交点F的坐标为，
∵E点坐标为(8,3)，F的坐标为，
∴，
∵P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，
∴，
∵在（1）中已得，
∴，
∴，
∴
∵P点坐标为(m,6)、E点坐标为(8,3)，
∴，
∵E点坐标为(8,3)、C点坐标为(8,0)，
∴，
∵EF⊥PG，
∴在Rt△PGE中，，
又∵在Rt△GEC中，，
∴，
即：，
∵P点在射线DA上，
∴m＜8，
则设8-m=t，即t＞0，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的最小值为，
即GC的最小值为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、待定系数法求解一次函数解析式、勾股定理以及构建直角坐标系等知识，构建直角坐标系求得是解答本题的关键．
2．(1)(2)（2，4）(3)（5，）或（-3，）或（3，）
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可；
（3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
（1）解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，-m+4），
∴，
∴



，
∴当时，△BEC的面积有最大值，
设点E到BC的距离为h，
∴，
∵BC是定值，
∴当△BEC面积最大时，h有最大值，
∴当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）；

（3）解：设点P的横坐标为（n，），
如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴（平行四边形对角线中点坐标相同），
∴n=5，
∴点P的坐标为（5，）；

同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时，
∴，
∴n=-3，
∴点P的坐标为（-3，）；

如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时，

∴，
∴n=3，
∴点P的坐标为（3，）；
∴综上所述，点P的坐标为（5，）或（-3，）或（3，）
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．
3．(1)(2)①，②(3)
【分析】（1）如图，连接 交于 过作于 由对折可得：证明是等边三角形，可得再利用三角函数可得答案；
（2）①利用平行线的性质证明从而可得答案；②如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于 再分别求解的坐标，利用函数解析式与三角形的面积公式可得答案；
（3）如图，由对折可得 则在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，连接AC，交于 当重合时，取得最小值，从而可得答案．
(1)解：如图，连接 交于 过作于
由对折可得：


是等边三角形，



，



(2)①
而




②如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于

由①得：
设 则

解得： （不符合题意的根舍去）

而
设为 则
解得：
∴为
同理可得：AM为 OB为
解得： 即
所以 即
同理可得：

与重叠部分的面积为：

(3)如图，由对折可得
∴在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，
连接AC，交于

当重合时，取得最小值，
此时

所以的取值范围为：
【点拨】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．
4．(1) (2)6
【分析】（1）先证明再利用D点的横坐标为n，可得的长度，再求解抛物线的对称轴，可得的长度；
（2）设 而 求解DC为： AB为： EC为： 为： 再求解 可得 再利用三角形的面积比可得从而可得答案．
（1）解： 点A在y轴正半轴上，点B坐标为，点C坐标为，








抛物线的对称轴为：


（2）解：设 而
设DC为：
解得：
DC为：
同理：AB为：

同理EC为：

同理可得：为：
解得：

同理可得：
是的中点，即

则






【点拨】本题考查的是坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的交点坐标问题，二次函数的对称轴的性质，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数与等腰三角形的性质是解本题的关键．
5．(1)(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
（1）解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为

，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.

当点是的中点时，可得
轴，轴，
，

点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，

.
【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
6．(1)直线的函数表达式为(2)(3)或(4)OQ'的最小值为
【分析】（1）根据对称点的性质可以得到A′的坐标，再通过点 A′和点C的坐标就可以计算得出直线l2的函数表达式；
（2）根据l2的函数表达式计算出点B的纵坐标，得到OB的长度，根据点A的坐标可以计算出△AOB的高，根据三角形的面积公式计算出最终的答案；
（3）根据直线的l1、l2的函数表达式，用含n的表达式得出M、N的坐标，再根据线段MN不小于5的判断条件得到关于n的不等式，最后计算出n的范围；
（4）根据旋转的性质，得出，设点Q的坐标为，再根据l2的函数表达式和全等三角形的性质，得到Q′的坐标，再根据勾股定理得到OQ′的一元二次方程，最后通过配方法计算出最小值．
解：（1）∵点A（﹣4，a）和点在直线l1：y＝x上,
∴，，
∴点A的坐标为（﹣4，-4），点C的坐标为，
∵A关于x轴对称的点为A′，
∴A′的坐标为（﹣4，4），
设直线l2为，
∵点A′（﹣4，4）和点C在直线l2上，
∴，
解方程组得，，
∴直线l2的函数表达式为，
故答案为：．
（2）
过点A做AH垂直于BO，交直线BO与点H，
∵设B点为，且B点在直线l2：上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
（3）
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵D垂直于x轴，
∴，
∵点M 在l1点上，点N在l2上，
∴， ，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
（4）
过点Q做QE垂直于轴，交轴于点E，过点垂直于轴，交轴于点F
设点Q的坐标为，
得，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴的最小是.
故答案为．
【点拨】本题考查直角坐标系、求一次函数的解析式、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、解一元一次不等式、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握直相关知识的联系与运用．
7．(1)点在直线上，理由见分析(2)或(3)时，，时，，时，
【分析】（1）写出点M的坐标，代入直线进行判断即可；
（2）直线与y轴交于点为B，求出点B坐标，把在抛物线上，求出二次函数表达式，进而求得点A的坐标，数形结合即可求出时，x的取值范围；
（3）利用待定系数法求出直线AB解析式为，由点在内部，列出不等式并求解，可得，结合图像比较与的大小即可．
（1）解：点在直线上，
∵，
∴点坐标为，
把代入上得，
∴点在直线上；
（2）解：把代入，可得，
∴点B坐标为，
把代入，
可得，
解得，
∴，
把代入，
可得，
解得，，
∵点A在x轴正半轴上，
∴点A坐标为，
∴或时，；
（3）解：把代入得，
解得，
∴，
∵在内部，
∴，
解得，
当点C，D关于对称轴对称时，，
∴当时，，当时，，当时，．
【点拨】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、不等式的应用、二次函数的综合问题等知识，运用数形结合思想和分类讨论思想分析问题是解题关键．
8．(1)(2)(3)或
【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后把抛物线解析式设为交点式，代入C点坐标求解即可；
（2）如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，求出，据此利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则由勾股定理得，，，然后分三种情况：当时，当时，当时，建立方程进行求解即可．
（1）解：对于直线，令，则，令，则，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设抛物线解析式为，代入点C坐标得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交x轴于E，交于F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∴




，
∵，
∴当时，有最大值，
∴点P的坐标为；

（3）解：设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，，，
当时，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
∴或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
∴（舍去）；
综上所述，点P在运动过程中，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，此时点P的坐标为或．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
9．(1)(2)或(3)或
【分析】（1）利用待定系数法解题即可；
（2）连接，则，设H点坐标为，则解方程即可；
（3）分两种情况解题即可过Q作于点M，则可得到全等三角形，找到线段关系，从而得到点的坐标.
解：（1）∵抛物线与x轴交于两点，，表示点Q坐标，代入解析式解题即可．
代入，得
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，连接，∵，∴，

设H点坐标为，
则

解得：或，
∴点H的坐标为或
（3）点E的坐标为或
设点E坐标为
如图，过Q作于点M，
∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴,
解得或（舍）
则Q点坐标为

如图，过Q作于点M，

∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴,
解得或（舍）
则Q点坐标为
综上所述，Q点坐标为或
【点拨】本题考查了二次函数应用，求二次函数的解析式，等腰三角形的性质以及一线三等角模型的应用.
10．(1) (2)8
【分析】（1）根据题意可得，求出a的值，即可求解；
（2）过B作，且，过K作轴于S，过K作轴交于T，设抛物线对称轴交x轴于R，先求出，可得，再证得，可得，即K为直线上的动点，从而得到，进而得到，可得到当K运动到T时，，此时取最小值，最小值即是的长，即可求解．
（1）解：∵抛物线顶点坐标为点，
，
解得，
∴，
∴顶点坐标为，
∴m的值是；
（2）解：过B作，且，过K作轴于S，过K作轴交于T，设抛物线对称轴交x轴于R，如图：

由（1）知抛物线对称轴为直线，顶点，
在中，
令，得∶ ，
解得：或3，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
即K为直线上的动点，
∴，
∵，
，
，
由垂线段最短可得，当K运动到T时，，此时取最小值，最小值即是的长，如图：

∵，
∴，
的最小值为8．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，转化成．
11．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为；(2)的最小值为，此时 (3)存在，点的横坐标为
【分析】（1）依题意与轴交于点，抛物线对称轴为，得出，进而令，得出点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于点，得出，则，设，则的纵坐标为，,根据二次函数的性质即可求解；
（3）取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，依次求得直线，，的解析式，联立抛物线与直线解析式即可求解．
（1）解：∵与轴交于点，抛物线对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），
令，即,
解得：，
∴，
∵，设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）过点作轴交于点，

∴
∵，
∴
∴，
设，则的纵坐标为，
,
解得：，
∴
∴，
∴
∵，抛物线开口向下，有最大值，
当，时取得最大值，最大值为，
即的最小值为，此时；
（3）解：∵，
∴，
如图所示，取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
∴，解得：
∴直线的解析式为

则，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
联立
解得：
∴
设直线的解析式为
则
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：（舍去）或
∴的横坐标为．
【点拨】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，角度问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
12．(1)(2)①当时，的最大值；②
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）①先求出直线解析式，根据题意可得再由轴，轴，可得，，从而得到，再由二次函数的性质，即可求解；②作点B关于y轴的对称点，连接，过点作交于D，过点D作轴于E，根据，可得，从而得到，即，再证得，再由锐角三家函数可得，从而得到，再求出直线解析式，然后联立，即可求解．
（1）解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①如图，

在中，令，得，
∴，
设直线解析式为，
∵，
∴，解得：，
∴直线解析式，
∵，
∴，
∴，
∵点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为；
②作点B关于y轴的对称点，连接，过点作交于D，过点D作轴于E，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线CD解析式为，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴．
【点拨】本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，函数的最值，二次函数顶点式的运用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
13．(1) (2)是直角三角形，理由见分析 (3)存在，点的坐标为，或
【分析】（1）由题意可设抛物线顶点式为，然后将点代入求解即可；
（2）先求出直线的解析式，然后联立直线的解析式和抛物线的解析式得出点的坐标，最后利用勾股定理证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在轴上时，②当点在轴上时，根据勾股定理进行求解即可．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线顶点式为，
将点代入顶点式得，
解得，
∴；
（2）是直角三角形，理由如下：
∵直线过点，
∴设直线的解析式为，
∵点是对称轴与轴的交点，
∴，
把点代入，并解得，
∴直线的解析式为，
联立，并解得，，
∴，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形；

（3）存在，点的坐标为，或．
①当点在轴上时，设，
∴，，，
若为斜边，则有，
解得，
∴，
若为斜边，则有，
解得，
∴；
②当点在轴上时，设，
∴，，，
若为斜边，则有，
解得，
∴，
若为斜边，则有，
解得（与点重合舍去），
综上所述，点的坐标为，或．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理证明直角三角形是解题的关键．
14．(1)， (2) (3)
【分析】（1）把A、B两点坐标分别代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出结果；
（2）利用已知点求出直线的解析式，点D在直线上，先求出四边形的面积，再假设出D点坐标，表示出四边形的面积，利用SAS得出∽，相似三角形性质，表示出四边形的面积，利用已知条件求出最后结论；
（3）过点A作轴交于点G，的角平分线交于点K，过点K作交于点H，利用角平分线的性质，结合抛物线交点，在Rt中，利用勾股定理求出的长度，表示出K点坐标，表示出直线的解析式，利用直线与抛物线相交，求出最后结果．
（1）解：将，代入，
，
解得，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
．
（2）设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，
，
梯形，，
四边形，
，，
，，
∽，
，
，
四边形，
四边形四边形，
，
解得，
，
．
（3）P点到直线和到x轴的距离相等，
点P在的平分线上，
过点A作轴交于点G，的角平分线交于点K，过点K作交于点H，
，
，
，，
，
，
，
在Rt中，，
解得，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
．

【点拨】本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，一次函数、二次函数与平面直角坐标系交点问题，抛物线与三角形、四边形相结合，勾股定理的应用，其中利用三角形相似和正确作出辅助线是解题的关键．
15．(1) (2)证明见分析 (3)或或或
【分析】（1）先根据一次函数解析式求出B、C的坐标，再把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）先求出点A的坐标，在分别求出三边的长，即可推出三边对应成比例，由此即可证明；
（3）设点P的坐标为，点M的坐标为，然后分当为对角线，当为对角线时，当为对角线时，三种情况由菱形对角线中点坐标相同且邻边相等建立方程求解即可．
（1）解：在中，令，则，令，则，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴，
在中，令，解得或，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，
∴；

（3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线，
设点P的坐标为，点M的坐标为，
当为对角线，且时，由菱形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当为对角线，且时，由菱形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴或；
当为对角线，且时，由菱形对角线中点坐标相同可得：
，
解得或（舍去，此时A、C、P三点共线）
∴；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的判定，勾股定理，菱形的性质，一次函数与几何综合等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
16．(1)， (2)证明见分析 (3)2或
【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出，推出即可得出；
（3）根据E点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
（1）解：∵正方形的边长为4，，交于点E，
∴，
将E点坐标代入双曲线，
得，
解得，
∴双曲线的解析式为，
故答案为：，；
（2）∵双曲线与，分别交于点M，N，
∴设，
∴，
∴，
∴，
由正方形可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形边长为4，
由（1）知，
∴，
∵AE为腰，分两种情况：
①当 时，
∵，，点P、E在反比例数图象上，
，
∴，
②当时，点P与点B重合，
∵，点P、E在反比例数图象上，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的m的值为2或．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，正方形的性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
17．(1)， (2)16
【分析】（1）把点代入，求出反比例函数的解析式，过点A作轴，垂足为点F，证明，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点C作y轴的平行线交于点H，利用进行求解即可．
（1）解：把点代入，得﹐
∴反比例函数的表达式为，
∵，
∴，
过点A作轴，垂足为点F，则，
∵，

∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
把A，D两点坐标分别代入，得，解得，
∴直线AB的表达式为；
（2）如图，∵直线和双曲线都关于原点对称，且点，
∴点，
联立，解得或，
∴点．
过点C作y轴的平行线交于点H，
∵，
则点，
∴，
∴．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，同时考查了相似三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
18．(1)，(2)(3)
【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；
（2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得；
（3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标．
解：（1）∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
∴，解得：或，
∴．
（2）令，则，∴．
设直线的解析式为设，∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴．
（3）由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．(1)；(2)存在；M（5，0）(3)或或
【分析】（1）利用，，得，从而求出点的坐标，得出的值；
（2）利用三角形三边关系可得，延长交轴于，此时的值最大，利用待定系数法求出直线的解析式即可得出点的坐标；
（3）设点，利用两点间的距离公式得，，，再分类讨论即可．
（1）解：，
，，
将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，
，
，
，

，
，
，
，
；

（2）解：由（1）知，，
当时，，
延长交轴于，

此时的值最大，
设直线的解析式为，将点、坐标代入得，
，
解得，
，
当时，，
；
（3）解：设点，
，，
，，，
当时，，
解得：或（负值舍去），
当时，同理可得：；
当时，同理可得：或（大于4舍去），
综上，的长为：或或．
【点拨】本题是反比例函数综合题，考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形，解题的关键是表示出的三边长度，运用分类思想求解．
20．(1)，；(2)；(3)或．
【分析】（1）根据矩形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分为平行四边形的边、为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计算即可．
（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为：，
由题意得，点的横坐标为4，
则点的纵坐标为：，
点的坐标为；
（2）解：设点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
由题意得：，
解得：，
的面积等于的面积时，点的坐标；
（3）解：当为平行四边形的边时，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为0，
点的纵坐标为，
当时，（不合题意，舍去）
当时，，
则点的坐标为，
当为平行四边形对角线时，
点的坐标为，点的坐标为，
的中点坐标为，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，
解得：，
点的坐标为，
综上所述：以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或．
【点拨】本题考查的是反比例函数的性质、平行四边形的性质以及三角形的面积计算，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想．
21．(1)直线的表达式为(2)(3)存在，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形
【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝−（x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股定理得到OA＝，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方程组即可得到结论；
（2）把B（−1，−3）代入y＝得y＝，解方程组得到D（−4，−），过D作DE⊥AB于E，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论．
解：（1）反比例函数经过点，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的表达式为；
（2），
，
，
解得，或不合题意舍去，
，
如图，过作于，

，，
；
（3）存在，理由如下，
当四边形是平行四边形时，如图，

，
，
，
把代入得，，
；
当四边形是平行四边形时，如图，

，
，
，
把代入得，，
，
综上所述，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
22．(1)y＝x−1 (2)−2＜x＜0或x＞3 (3)P（1，0）或（0，−1）．
【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）由于CD把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，据此即可求得P点的坐标．
（1）解：∵Rt△AOC的面积等于3，
∴•k＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝，
∵反比例函数y＝的图象经过点A（3，m）、B（n，−3），
∴3×m＝6，−3n＝6，
解得m＝2，n＝−2，
∴A（3，2），B（−2，−3），
把A、B的坐标代入y＝ax＋b
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x−1．
（2）观察图象，不等式ax＋b＞的解集为：−2＜x＜0或x＞3．
（3）作BM⊥x于M，BN⊥y轴于N，AF⊥y轴于F，则AC∥BM，设AB与y轴交于点E，

∴，
∵A（3，2），B（−2，−3），
∴AC＝2，BM＝3，
∴，
∴CD把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，
同理，
∴CE把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，
∵直线y＝x−1交坐标轴于D、E，
∴D（1，0），E（0，−1），
∵CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，
∴P（1，0）或（0，−1）．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，注意数形结合思想的应用．
23．(1)； (2)3 (3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可；
（2）过A作于E，而，再分别求解即可；
（3）观察函数图象即可求解．
（1）解：在反比例函数上，
，
，
反比例函数解析式为：，
在反比例函数上，
，
解得
一次函数的解析式为：
（2）过A作于E

而
，





（3）的解集为：或．
【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式组的解集是解题的关键．
24．(1)(2)存在，点D坐标为或
(3)N
【分析】（1）点代入，点代入，即可求解；
（2）由一次函数解析式得出，，设点坐标为，根据，建立方程，解方程即可求解；
（3）由，，三点的坐标，可得点C为线段的中点，延长交的延长线于点H，连接，根据等角对等边得到，再由等腰三角形三线合一的性质得出，然后证明，可得，从而得到点H的坐标，然后运用待定系数法即可求出直线的解析式，解方程组即可得到结论．
（1）解：点代入，
解得
点代入，解得
所以
（2）存在，理由如下，
如图，过C作轴于点E，过D作轴于点F， 则，

∴，
对于，令，则，
解得，
令，则，
，，
设点坐标为
，

解得或负值舍去
点坐标为，或，
（3）解：∵，，
∴点C为线段的中点，，
∴，
∴，
如图，延长交的延长线于点，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴点的坐标为．
【点拨】本题是反比例函数综合题，其中涉及到运用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，三角形的面积，坐标轴上点的坐标特征，有一定难度．正确作出辅助线是解题的关键．