专题5-9 等腰三角形（培优篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）

这是一份专题5-9 等腰三角形（培优篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用），共47页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题5.9 等腰三角形（培优篇）一、单选题1．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知中，，，，则的长为（    ）A． B．12 C． D．2．（2022秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，已知等边中，点为线段上一点，将沿翻折得到，点与重合，连接，若则的度数是（　　）A． B．C． D．3．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ）A．   B． C． D．4．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点是中点，是直线上一动点，连接，以为斜边在其左侧作，使，连接，则的最小值为（   ）A． B． C． D．5．（2023春·八年级课时练习）如图，，，连接，分别以、为直角边作等腰和等腰，连接，，当最长时，的长为（    ）A． B．3 C． D．6．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，与AC相交于点F，CD⊥BD，垂足为D，交BA的延长线于点E，AH⊥BC交BD于点M，交BC于点H，下列选项不正确的是（　　）A．∠E＝67.5° B．∠AMF＝∠AFM C．BF＝2CD D．BD＝AB+AF7．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在中，，有一个锐角为60°，，若点P在直线上（不与点A、C重合），且，则的长为（    ）A．6或 B．6或 C．或 D．6或或8．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．1或39．（2023春·八年级课时练习）如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（　　）A．8 B．9 C．10 D．1210．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（   ）A． B． C． D．二、填空题11．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是轴上一动点．当时，点的坐标为______．12．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）在等腰中，，边上的垂直平分线与所在直线相交于点，若，则等腰的底角度数是___________．13．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在以点为直角顶点的中，，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，则__________．14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，为上一点，连接，为上一点，连接，作交于点，若，，，则的长为______．15．（2023春·八年级课时练习）如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为______．16．（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为_________．17．（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AC上ー点，AD＝2CD，连接BD，过点D作DE⊥BD与AB的垂线交于点E，DE交AB于点F，若，则线段BC＝__________．18．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，线段，点为线段上一动点，分别以，为边在的同侧作等边和等边，连结、交于点．（1）当为中点时，______．（2）点从运动到过程中，点经过的路径长为______．三、解答题19．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）已知是边长为6的等边三角形，D为中点．(1) 如图1，连接，E为线段上的一个动点，以为边长向下作等边三角形，连接，证明：．(2) 在（1）的条件下，求的最小值．(3) 如图2，G，H分别为上的动点，连接交于点I，，连接交于点J，连接并延长交于点K，，试探究的数量关系．    20．（2021春·河南郑州·八年级校联考期中）已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点．(1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系___________．(2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．(3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．   21．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，，，，，，求的周长．    22．（浙江省温州市2022-2023学年八年级上学期学业水平期末检测）如图，将一块含角的直角三角板放置在直角坐标系中，其直角顶点O与原点重合，点A落在第一象限，点B的坐标为，与y轴交于点C．(1) 求点A的坐标．(2) 求的长．(3) 点P在x轴正半轴上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．     23．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．(1) 求证：．(2) 若为等腰三角形时，求的值．(3) 如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______． 　         24．（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________．【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长．                                  参考答案1．B【分析】过点作于，与相交于点，连接，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．解：如图，过点作于，与相交于点，连接，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴（ASA），∴，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，整理得，，解得或（舍去），故：的长为12．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．2．D【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质可得，则，根据三角形内角和定理得，则，将用含m的式子表示出来，则可得的度数，再用减去即可得的度数．解：由折叠性质可得，≌，，，为等边三角形，，故选：．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．A【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．解：由题意可得，设直线AB的解析式为y=kx+b则 解得：∴直线AB的解析式为：y=x-4，∴x=y+4，设直线AC的解析式为y=mx+n则 解得：∴直线AC的解析式为：，∴，∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，∴，∵EP=3PF，∴，∴点P的横坐标为：，∵，∴．∴故答案为：A．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．4．D【分析】连接．由题意易证，即得出，，从而得出，即又易证，得出．再根据勾股定理可求出，从而得出，即说明当最小时，最小．又根据当时，最小，结合三角形相似的判定和性质求出此时的值，即如图的值，进而即可求出的最小值．解：如图，连接．∵，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，∴，∴，∴当最小时，最小．∵点P是直线上一动点，∴当时，最小，如图即为最小时，此时所作的三角形为．∵点是中点，∴，∴．又∵，∴，∴，即，解得：，即的最小值为，∴，解得：．故选D．【点拨】本题考查三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，较难．证明出当时，最小，此时最小是解题关键．5．D【分析】先证明，得到，根据勾股定理求出，结合三角形三边关系，得A、B、D三点共线时，最大，画出图形，由勾股定理即可求得．解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴∵，，∴，∵，∴当点A在上时，最大，最大值为，如图，过C作于E，由等腰三角形“三线合一”得，∴，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，∴．故选：D．【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，证明以及由三角形三边关系得A、B、D三点共线时，最大是解题的关键．6．D【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由角平分线的性质和直角三角形的性质可得∠E＝67.5°；由余角的性质可得∠AFM＝∠BMH＝∠AMF；由“ASA”可证△ABF≌△ACE，可得AE＝AF，BF＝CE，由三角形的三边关系可证AB+AF＞BD；由“ASA”可证△EBD≌△CBD，可得CD＝CE，可证BF＝CE＝2CD，即可求解．解：∵AC＝AB，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∵BD⊥CD，∴∠E＝67.5°，故选项A正确，∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∠CBF+∠BMH＝90°，∴∠AFB＝∠BMH，∴∠AFM＝∠BMH＝∠AMF，故选项B正确，∵CD⊥BD，∴∠BDE＝∠BAC＝90°，∴∠E+∠EBD＝90°，∠E+∠ACE＝90°，∴∠EBD＝∠ACE，在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF，BF＝CE，∴AB+AF＝AB+AE＝BE，∵Rt△BED中，BE＞BD，∴AB+AF＞BD，故选项D错误，在△EBD和△CBD中，，∴△EBD≌△CBD（ASA），∴CD＝DE，∴BF＝CE＝2CD，故选项C正确，故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．7．D【分析】根据点P在直线上的不同位置，，利用特殊角的三角函数进行求解．解：如图1：当时，，与矛盾；如图2：当时，，∵，∴，∴是等边三角形，∴；如图3：当时，，∵，∴，∴，∵，∴，∴如图4：当时，，∵，∴，∴故选：D【点拨】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线上的不同位置．8．C【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的关系，然后根据□的面积为8，的长为整数，从而可以得到整数的值．解：如图所示，延长交于点，∵四边形是平行四边形，，∴，，∴，∵点是中点，∴，在和中，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵□的面积为8，的长为整数，∴，即：，∴整数为0或1或3．当时，，不符合题意，舍去；当时，，，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去；∴．故选：C．【点拨】本题考查平行四边形的性质和面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，不定方程等知识．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．A【分析】过点C作交BF于点H，由此可得∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，再根据EB＝EA可得∠A＝∠EBA，进而可得AC＝BH＝22，结合DF＝DB＝16可得BF＝32，DH＝6，FH＝10，再利用垂直平分线的性质可得BC＝CF，进而可得∠F＝∠CBE，再结合∠A＝2∠CBE，∠EHC＝∠HCF＋∠F可得CH＝FH＝10，最后利用勾股定理计算即可求得答案．解：如图，过点C作交BF于点H，∵，∴∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，∵EB＝EA，∴∠A＝∠EBA，∴∠ECH＝∠EHC，∴EC＝EH，∴EC＋EA＝EH＋EB，即AC＝BH＝22，又∵DF＝DB＝16， ∴BF＝BD＋DF＝32，DH＝BH－BD＝6，∴FH＝BF－BH＝32－22＝10，∵CD⊥BF，DF＝DB，∴BC＝CF，∴∠F＝∠CBE，又∵∠A＝2∠CBE，∴∠EHC＝∠ECH＝2∠F，又∵∠EHC＝∠HCF＋∠F，∴∠HCF＋∠F＝2∠F，∴∠HCF＝∠F，∴CH＝FH＝10，∴在中，，∴在中，，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，根据题意作出正确的辅助线并能熟练运用相关图形的性质是解决本题的关键．10．C【分析】由“”可证，可得，，由外角的性质可得，通过证明是等边三角形，可得，可证，即可求解．解：和是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，故选项A不合题意；，，故选项B不合题意；在和中，，，，又，是等边三角形，，，，故选项D不合题意；∵，若，则，则，而一定不等于，故选项C不成立，符合题意，故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．11．或【分析】在轴的上方作等腰直角，，，以为圆心，为半径作交轴于，，连接，，，首先证明，根据，构建方程即可解决问题．解：在轴的上方作等腰直角，，，以为圆心，为半径作交轴于，，连接，，，． ，，，，，是等腰直角三角形，，，设，则，解得或舍弃，，根据对称性可知也符合条件，综上所述，点的坐标为或．故答案为：或．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外接圆与外心，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是圆周角定理的运用．12．或或【分析】本题分三种情况讨论，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，设恰当的未知数，解出方程可得到答案．解：当点在上时，如图一：∵边上的垂直平分线交于点，∴，∴，不妨设，∵，，∴，在三角形中：，解得，∴；当点在的延长线上时，如图二：∵垂直平分，∴，∴，∵，∴不妨设，∵，∴，∴在三角形中：，解得，∴；当点在的延长线上时，如图三：∵垂直平分，∴，∴，∵，∴不妨设，∴，∴，∵，∴，解得，∴；综上所述，等腰的底角度数是：或或．【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，要求学生考虑问题要全面，解题的关键是能够准确画出三种图并能够熟练掌握相关知识．13．7【分析】过点H作于M，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再根据得出，从而得到，，再根据三角形的内角和定理得出，继而得出，然后利用即可解：过点H作于M，则∵，，，∴，在，点是边的中点，，∴∴，∵以为底边向上作等腰，∴∴∵，∴∴，，∴，∵，∴，∴∵∴∴∴【点拨】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线得出是解题的关键14．10【分析】利用等角对等边先求出，再构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出，相加即可．解：如图所示，分别过B点作，垂足分别为M和G，∵，∴，∵，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵,∴，∴，∴．【点拨】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是构造全等三角形和等角的转化．15．或【分析】在Rt△ABC中，BC＝AC＝，于是得到AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝．解：Rt△ABC中，BC＝AC＝，∴AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，∵∠B＝45°，∴A′C⊥AB，∴BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，∴x＋x＋1＝2，∴x＝2-，∴AD＝2-；②如图2，当A′D∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，∵∠A′DC＝∠ACD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC＝，综上所述：AD的长为：或．【点拨】本题考查了翻折变换−折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．16．12【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：在中，，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，是等边三角形，，在中，，，，，，，，，的最小值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．17．【分析】过点作的延长线于点，连接，先证明，设，设，则，勾股定理分别求得，在与中，根据，列出关于的等式，求得，进而根据，求得的值，即可求得的长．解：如图，过点作的延长线于点，连接，设，则，，，，，，，，，设，在中，，在中，，在中，，在中，，在与中，， 即，解得或（舍去），，，，解得（负值舍去），，故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．18．          【分析】（1）证明的底角为的等腰三角形，即可解决问题．（2）证明，推出点的轨迹的弧，设弧的圆心为，连接，，过点作于点，求出的长，可得结论．解：如图中，∵，∴，∵，∴，同法可证，∴，∴，∵，∴，∴．（2）如图中，设交于．∵，都是等边三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴点的轨迹的弧，设弧的圆心为，连接，，过点作于点，∵，，，∴，，∴，∴的长．故答案为：；．【点拨】本题考查轨迹，弧长公式，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1) 见分析 (2)  (3) ，理由见分析【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，即可证明；（2）将沿所在直线折叠得，作于H，先根据全等三角形的性质求出，进而求出，最后根据勾股定理求出即可；（3）延长至M，使得，连接，先根据证明，进而证明，然后求出，再根据求出，证明，求出，最后根据等量代换得到即可．解：（1）证明：∵，均为等边三角形，∴，，，∴，∴，∴．（2）解：将沿所在直线折叠得，作于H，由（1）知，∴，∴， ∴．可知，当B，F，H共线时，最小，此时最小值为，∴．（3）解：，理由如下：延长至M，使得，连接．∵，∴，∴，．又，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．20．(1)  (2) 图②：；图③ (3) 或【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形得到答案；（2）根据（1）的方法，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图②，图③得到答案；（3）根据全等三角形的性质，结合三个图形，即可求解．（1）解：和都是等边三角形，，，，，在和中，，，，)，，，，，，故答案为：；（2）如图②： 证明：，都是等边三角形，，，．．．，．，．．，．． ， ．如图③：同理可得．，，（3）如图①，，，，，，，，，如图②，，不合题意，舍去，如图③，，，又，，综上所述，或．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（1）见分析；（2）【分析】（1）作的平分线交于点E，证明，即可解决问题；（2）先证明，可得，设，则，，，然后利用勾股定理列出方程求出x的值，进而可得的周长．解：（1）证明：如图，作的平分线交于点E，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：在中，，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，，，，在中，根据勾股定理得：，，解得或（舍去），，，，，，的周长．【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质及判定定理，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定可理，线段的和差，准确找到各角及各边之间的关系是解决本题的关键．22．(1)  (2) 5  (3) 5，或8【分析】（1）如图作轴于点D，作轴于点E，证明，，，从而可得答案；（2）设直线的函数表达式为：，根据（1）可知点A的坐标为，将点A，B的坐标代入函数表达式，可得直线AB的函数表达式为：，令，则，从而可得答案；（3）分三种情况：①当，而，，证明即可，②当，如图．可得，作轴于点D，设，则，根据勾股定理可得答案，③当，如图．证明，作轴于点D，可得，从而可得答案．（1）解：如图作轴于点D，作轴于点E，，为等腰直角三角形，直角顶点为点O，，，，，点B的坐标为，，，∴点A的坐标为．（2）设直线的函数表达式为：，根据（1）可知点A的坐标为，将点A，B的坐标代入函数表达式，得，解得，∴直线的函数表达式为：，令，则，的长为5．（3）分三种情况：①当，而，，∴，．②当，如图．则，．作轴于点D，设，则，根据勾股定理，可得，解得，故．③当，如图．，作轴于点D，，．综上所述，的长为5，或8．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，求解一次函数的解析式，熟练的利用以上知识解题是关键．23．(1)证明见详解；(2)的值为或；(3)；【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可；（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可．解：（1）证明：设，，，则，∴，∴，∴是直角三角形，∴；（2）如图1中，取得中点，连接，∵，，∴，，∵，∴，∴，，，∴，当时，，∴，当时，，∵点在上运动，∴不可能，综上所述，满足条件的的值为或；（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，∵，∴，，∴，∵，∴（），∴，，同理可证，∴，，∴，∵，，∴（），∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24．（1）；（2），理由见分析；（3）的长为或【分析】（1）证明，可得，从而证明；（2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得；（3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解．解：（1）如图1，∵，∴，∵点为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：；（2）．理由是：取中点G，连接，如图2∵点G是斜边中点，∴，∵，，点D为的中点，∴，∴，即，又∵，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴；（3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接，当，，时，，此时F在的延长线上，同（2）可得：，∴，∵，，∴，当点E在延长线上时，如图4，同理可得：；综上：的长为或．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．