专题5-11 直角三角形（提高篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）

专题5.11 直角三角形（提高篇）

一、单选题

1．（2021·新疆·统考中考真题）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2012·福建漳州·中考真题）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】

A．45° B．60°  C．75° D．90°

3．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（    ）

A． B． C．或 D．或

4．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

5．（2021·广西贵港·统考中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．（2015·四川眉山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD，若BD=1，则AC的长是(　　)

A．2 B．2 C．4 D．4

7．（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．（2020·四川巴中·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺

9．（2021·四川凉山·统考中考真题）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（    ）

A． B．2 C． D．

10．（2017·湖北黄石·中考真题）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE+∠ACD=（ ）

A．60° B．75° C．90° D．105°

二、填空题

11．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在中，为边上的高，，，则是___________度．

12．（2013·山东威海·中考真题）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=_____．

13．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________．

14．（2019·上海·中考真题）如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝___________________度．

15．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________．

16．（2013·辽宁盘锦·中考真题）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为___．

17．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．若，，则的长为_____．

18．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________．

三、解答题

19．（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且

（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

20．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．

(1) 求证：△ABF≌△CDE；

(2) 连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．

条件①：∠ABD=30°；

条件2：AB=BC．

（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

21．（2021·吉林·统考中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．

（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；

（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；

（3）若，直接写出的度数．

22．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．

(1) 若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；

(2) 若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．

23．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S．

(1) 求的长；

(2) 求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

24．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．

(1) 求线段的长；

(2) 求证四边形为菱形；

(3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．A

【分析】首先根据“斜中半”定理求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．

解：∵E是Rt中斜边AB的中点，，

∴，

∴，

∴，∠ECD=30°

在中，，

∴，

故选：A．

【点拨】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．

2．C

解：如图，

∵∠1=90°-60°=30°，

∴∠α=45°+30°=75°．故选C．

【点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，外角的性质，解决此题的关键计算细致．

3．C

【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．

解：如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，

，

；

如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，

过点C作CD⊥AB1，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，

故选：C．

【点拨】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

4．A

【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．

解：∵，

∴，

∴，，

则在中，，

故选：A．

【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．

5．B

【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．

解：如图，取的中点，连接，．

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

的最小值为4，

故选：B．

【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．

6．A

【分析】根据线段垂直平分线的性质证明AD=CD，求得∠ACD=∠A=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得CD的长，利用勾股定理求得BC的长，在Rt△ABC中，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．

解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，

∴∠ACB=60°，

∵DE垂直平分斜边AC，

∴AD=CD，

∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠DCB=60°-30°=30°，

在Rt△DBC中,∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，

∴CD=2BD=2，

由勾股定理，得BC=，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=，

∴AC=2BC=2．

故选：A．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

7．B

【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．

解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，

∴DF= AB=4，

∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，

∴DE=BC=7，

∴EF=DE-DF=3，

故选：B

【点拨】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．

8．B

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．

解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，

根据勾股定理得：，

解得：．

所以，原处还有4.55尺高的竹子．

故选：B．

【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

9．D

【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．

解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB==10，

∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，

∴AE=BE，AD=BD=AB=5，

设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，

在Rt△BCE中

∵BE2=BC2+CE2，

∴x2=62+（8-x）2，解得x=，

∴CE==，

故选：D．

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．

10．C

解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，

∴BC=2CE=，

∵AB=2，AC=1，

∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2，

∴∠ACB=90°，

∵tan∠A==，

∴∠A=60°，

∴∠ACD=∠B=30°，

∴∠DCE=60°，

∵DE=CE，

∴∠CDE=60°，

∴∠CDE+∠ACD=90°，故选C．

【点拨】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．

11．40或80##80或40

【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．

解：根据题意，分三种情况讨论：

①高在三角形内部，如图所示：

在中，为边上的高，，

，

，

；

②高在三角形边上，如图所示：

可知，

，

故此种情况不存在，舍弃；

③高在三角形外部，如图所示：

在中，为边上的高，，

，

，

；

综上所述：或，

故答案为：或．

【点拨】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．

12．25°

【分析】先根据等边对等角算出∠ACB=∠B=45°，再根据直角三角形中两个锐角互余算出∠F=60°，最后根据外角的性质求解即可．

解：∵AB=AC，∠A=90°，

∴∠ACB=∠B=45°．

∵∠EDF=90°，∠E=30°，

∴∠F=90°﹣∠E=60°．

∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，

∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及外角的性质，解题的关键是要合理的运用外角和计算的时候要细致认真．

13．

【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．

解：

如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，

∵根据题意四边形ABEF为菱形，

∴AB=BE=，

又∵∠ABE=30°

∴在RT△BHE中，EH=，

根据题意，AB∥CF，

根据平行线间的距离处处相等，

∴HE=CG=，

∴的面积为．

【点拨】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．

14．120

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数．

解：是斜边的中点，

，

，

，

，

，

．

故答案为．

【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点），也考查了平行线的性质．

15．

【分析】由矩形的性质得，，求出，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据求出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解．

解：四边形ABCD是矩形，

，，

，

，，

∴

在中，

，

，

，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．

16．2

解：∵AD∥BC，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CBD．

∴∠ABD=∠ADB．∴AD=AB．

∵∠A=120°，∴∠ABD=∠CBD=30°．

∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠C=∠ABC=60°，AB=CD．

∴∠BDC=180°﹣∠CBD﹣∠C=90°，AB=CD=AD．∴BC=2CD=2AD，

∵梯形的周长为10，∴AB+BC+CD+AD=10，即5AD=10．

∴AD=2．

17．

【分析】根据矩形的性质得AO=CO=BO=DO=6，再证明，从而得是等边三角形，进而即可求解．

解：∵在矩形中，

∴AO=CO=BO=DO=6，

∵，

∴BC=2BE，

∵，

∴BE=AF，

∵∠OBE+∠ABF=∠ABF+∠BAF =90°，

∴∠OBE=∠BAF，

∵

又∵∠AFB=∠BEO=90°，

∴，

∴AB=BO，

∴AB=BO=AO，

∴是等边三角形，

∴∠ABO=60°，

∴∠OBE=30°，

∴OE=3 ，，

故答案是：．

【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等且平分是解题的关键．

18．

【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案．

解：∵点，分别是，的中点

∴为的中位线

∴

又∵

∴

又∵

∴在

点是的中点

∴

又∵

∴

又∵

∴

故答案为：．

【点拨】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．

19．（1）图见分析；（2）证明见分析．

【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；

（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．

解：（1）如图，AF平分，

（2）∵，且，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

又∵AF平分，，

∴，

又∵，

∴，，

∴，

∴

又∵

∴为等边三角形．

【点拨】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．

20．(1) 证明见分析 (2) 见分析

【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE；

（2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形．

若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形．

解：（1）证明：∵BE=FD，

∴BE+EF=FD+EF，

即BF=DE，

∵AB∥CD，

∴∠ABF=∠CDE，

又∵∠BAF=∠DCE=90°，

∴△ABF≌△CDE(AAS)；

（2）解：若选择条件①：

四边形AECF是菱形，　

由（1）得，△ABF≌△CDE，

∴AF=CE，∠AFB=∠CED，

∴AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠BAF=90°，BE=EF，

∴AE=BF，

∵∠BAF=90°，∠ABD=30°，

∴AF=BF，

∴AE=AF，

∴平行四边形AECF是菱形．

若选择条件②：

四边形AECF是菱形，

连接AC交BD于点O，

由（1）得，△ABF≌△CDE，

∴AF=CE，∠AFB=∠CED，

∴AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AO=CO，

∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

即EF⊥AC，

∴平行四边形AECF是菱形．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

21．（1）；（2）菱形，见分析；（3）或

【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得；

（2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形；

（3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．

解：（1）如图①，在中，，

∵是斜边上的中线，，

∴．

（2）四边形是菱形．

理由如下：

如图②∵于点，

∴，

∴；

由折叠得，，

∵，

∴；

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形；

∵，

∴，

∴四边形是菱形．

（3）如图③，点与点在直线异侧，

∵，

∴；

由折叠得，，

∴；

如图④，点与点在直线同侧，

∵，

∴，

∴，

由折叠得，，

∴，

∴．

综上所述，或．

【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．

22．(1) BP=PC，证明见分析 (2) BP=．

【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求∠BAP=∠APB=45°，可得AB=BP，即可得结论；

（2）由全等得到AP=PC,在△ABP中应用勾股定理可求解．

（1）解：BP=CP，理由如下：

∵CG为∠DCF的平分线，

∴∠DCG=∠FCG=45°，

∴∠PCE=45°，

∵CG⊥AP，

∴∠E=∠B=90°，

∴∠CPE=45°=∠APB，

∴∠BAP=∠APB=45°，

∴AB=BP，

∵AB=BC，

∴BC=2AB，

∴BP=PC；

（2）解：∵△ABP≌△CEP，

∴AP=CP，

∵AB=3，

∵BC=2AB=6，

∵，

∴，

∴BP=．

【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

23．(1) 8  (2)

【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长；

（2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论．

（1）解：∵，，，

∴，

∵，

∴=5，

∴AC=AD+DC=5+3=8；

（2）解：由（1）得AD=5，

∵AP=x，

∴PD=5-x，

∵过点P作的垂线，与相交于点Q，

∴，

∵，

∴即，

在和中

，

∴，

∴

∴

∵与重叠部分的面积为S

∴的面积为S

即，

∵点P不与点A，D，C重合，

∴，

即．

当在上运动时，如图，设交于点，

则

即

综上所述，

【点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系．

24．(1)  (2) 见分析 (3) 存在，或

【分析】（1）根据在中，，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解；

（2）根据（1）的结论分别求得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证；

（3）分和两种情况分别讨论即可求解．

（1）解：如图

四边形是矩形，，，

，，

将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，

，

在中，，

，

设，则，

在中，，

，

解得，

；

（2），

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

中，，

，

，

四边形为菱形；

（3），设，是直角三角形

设

由（2）可得

①当时，如图，

，,

解得；

②当时，

同理可得

综上所述，或

【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．