勃利县高级中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含答案）

勃利县高级中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、8名学生和2位老师站成一排照相，2位老师不相邻且不在两端的排法种数为(   )

A. B. C. D.

2、已知随机变量ξ的分布列为，，则实数m＝(   )

A. B. C. D.

3、将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(   )

A.15 B.20 C.30 D.42

4、中国工尺谱是世界上最早的乐谱之一.世界上只有三个国家发明了乐谱——意大利人发明了五线谱，法国人发明了简谱，中国人发明了工尺谱、减字谱、律吕谱等.近代常见的工尺谱一般用合、四、一、上、尺、工、凡作为表示音高（同时也是唱名）的基本符号，可相当于sol，la，si，do，re，mi，fa，从合、四、一、上、尺、工、凡任取4个唱名填入下面的5个方格中，要求所取的每个唱名至少填一次，每个空格都必须填，且若工、尺同时选择工尺都只能出现一次，则有多少种谱曲方法(   )

A.7200 B.4800 C.2400 D.9600

5、2月23日，以“和合共生”为主题的2021世界移动通信大会在上海召开，中国5G规模商用实现了快速发展．为了更好地宣传5G，某移动通信公司安排A，B，C，D，E五名工作人员到甲､乙､丙三个社区开展5G宣传活动，每人只能去一个社区且每个社区至少安排一人，则不同的安排方法种数为(   )

A.180 B.150 C.120 D.80

6、直线l过点，被圆截得的弦长为，则直线l的方程是(   )

A. B. C. D.或

7、2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口正式举行.某高校甲，乙，丙，丁4名志愿者将被随机分配到北京和张家口赛区参加冬奥服务工作，要求每个赛区至少一人，每人只分配到一个赛区，则甲，乙被分在同一赛区的概率为(   )

A. B. C. D.

8、设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(   )

A.  B.

C.事件B与事件相互独立 D.，，是两两互斥的事件

10、已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(   )

A.二项展开式中各项系数之和为

B.二项展开式中二项式系数最大的项为

C.二项展开式中无常数项

D.二项展开式中系数最大的项为

11、第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有(   )

A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案

C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法

D.已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法

12、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，若圆与双曲线C的渐近线相切，则(   )

A.双曲线C的实轴长为6

B.双曲线C的离心率为

C.设P为双曲线C上任意一点，点P到两条渐近线的距离分别为和，则

D.直线与双曲线C交于A，B两点，D为AB中点，若直线OD的斜率为，则

三、填空题

13、若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则展开后的常数项为________.

14、某公司在某地区进行商品A的调查,随机调查了100位购买商品A的顾客的性别,其中男性顾客18位,已知该地区商品A的购买率为10%,该地区女性人口占该地区总人口的46%.从该地区中任选一人,若此人是男性,求此人购买商品A的概率________.

15、若展开式中的系数为30，则__________.

16、设数列满足，且，则数列前10项的和为__________

四、解答题

17、一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.

（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.

18、设等差数列的前n项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如，．当时，求n的值．

19、已知数列的前n项和.

（1）求的通项公式；

（2）若数列的前n项和为，且，证明：.

20、设椭圆，，为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且，的面积为.

（1）求椭圆C的方程

（2）设动直线椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标，若不存在.请说明理由.

21、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求面积的最小值.

22、已知函数.

（1）讨论的极值点的个数；

（2）若函数有两个极值点，，证明：.

参考答案

1、答案：C

解析：先将8名学生排成一排共有种排法，再在8个学生中间的7个空位种选择两个空位排2位老师有种排法，所以总的排法种数为.

故选：C

2、答案：C

解析：随机变量ξ的分布列为，

解得实数

故选：C

3、答案：C

解析：四个篮球分成三组有种分法，三组篮球进行全排列有种排法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有种分法，所以有种分法，故选C.

4、答案：A

解析：若同时选择工、尺，第一步，从工、尺外的5种唱名中选2种唱名，有种情况；

第二步，因为工、尺只能出现一次，所以在剩下的2种中选1种进行重复，有种情况；

第三步，唱名填入方格进行全排有，因为有一种唱名重复出现2次，需要去掉重复的情况，即要除以，则有种情况.

由分步乘法计数原理知共有种情况.

若只选工、尺中的一种，第一步，只选工或只选尺，有种情况；

第二步，在工、尺之外的5种唱名中选3种唱名，有种情况；

第三步，在4种唱名中选1种进行重复，有种情况；

第四步，唱名填入方格进行全排有，因为有一种唱名重复出现2次，需要去掉重复的情况，即要除以，则有种情况.

由分步乘法计数原理知共有种情况.

若不选择工、尺，第一步，在余下的的5种唱名中选4种唱名，有种情况；

第二步，在4种唱名中选1种进行重复，有种情况；

第三步，唱名填入方格进行全排有，因为有一种唱名重复出现2次，需要去掉重复的情况，即要除以，则有种情况.

由分步乘法计数原理知共有种情况.

综上，由分类加法计数原理知，共有种情况.

故选：A

5、答案：B

解析：先将A，B，C，D，E五名工作人员分成三组，有两种情况，分别为“”和“”，所以共有种不同的分法，再将这三组分给甲､乙､丙三个社区开展5G宣传活动，则不同的安排方法种数为，故选：B.

6、答案：D

解析：圆的圆心坐标为，半径为2.直线l过点，被圆截得的弦长为，点在y轴上，圆C与y轴相切，圆心到直线l的距离为1，且直线l的斜率存在.设所求直线l的方程为，即，，解得或，所求直线方程为或.故选D.

7、答案：C

解析：根据题意可知两个赛区分配的人数为1个和3个，或者是每个赛区2人，

当两个赛区分配的人数为1个和3个时，共有种分配方法，

当两个赛区分配的人数均为2个时，共有种分配方法，

因此共有种分配方法，

甲，乙被分在同一赛区的分配方法有种，

故甲，乙被分在同一赛区的概率为，

故选：C.

8、答案：B

解析：设函数，

因为，

所以，

所以在定义域R上递减，

又因为，

所以，

所以不等式，即，

即，

解得，故选：B

9、答案：BD

解析：由题意，因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，所以D正确；

因为，，，所以，所以B正确；

同理可得，，所以，所以A错误；

因为，，所以，所以C错误．

故选：BD.

10、答案：AD

解析：由已知，，

令得展开式中所有项系数和为，A正确；

二项式系数最大的项是，B错；

，，，展开式中第5项是常数项，C错；

设第项系数最大，则，解得，，所以，

所以系数最大的项是第3项：，D正确．

故选：AD．

11、答案：ABD

解析：由题意，先选两人到短道速滑赛区有种排法，其余各安排1人有种排法，

则有种不同的方案，故A正确；

若每个比赛区至少安排1人，则有种不同的方案，故B正确；

题意，先将甲、乙捆绑在一起有排法，再与除了甲、乙以外的3个人排列有种排法，

则有种不同的站法，故C错误；

先排前排，由种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有种，

则有种，故D正确．故选：ABD.

12、答案：BCD

解析：A项，圆心到双曲线渐近线的距离，解得，即双曲线C的实轴长为，故A项错误；

B项，双曲线C的离心率，故B项正确；

C项，设，则，即，双曲线的渐近线为，所以，故C项正确；

D项，设，，则

两式作差，得，整理得，即，故D项正确.

13、答案：1120

解析：的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则，

展开式的通项为，

展开式中常数项，必有，即，

所以展开式中常数项为.

故答案为：1120.

14、答案：

解析:设从该地区中任选一人,此人是男性为事件B,此人购买商品A为事件C,则该地区男性人口占该地区总人口的,则,,由条件概率公式可得.故答案为:.

15、答案：1

解析：展开式通式为，

则，

，解得，

故答案为：1.

16、答案：

解析：由题意可得，

所以，，

因此，数列前10项的和为.

故答案为：.

17、答案：（1）；（2）见解析

解析：（1）不含编号为3的卡片的概率，故.

（2）随机变量X的可能取值为：1，2，3，4.

；；

；.

分布列为：

18、答案：（1）

（2）10

（1）设等差数列公差为d，因为，则．

因为，则，得．

所以数列的通项公式是．

（2）因为，则

所以

．

当时，因为，则．

当时，因，则．

因为，则，即，

即，即．因为，所以

19、答案：（1）；（2）证明见解析.

解析：（1）当时，，解得：；

当时，，整理得：，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，.

（2）由（1）知：，

当时，，，.

20、答案：（1）（2）存在定点

解析：（1）由题意知，解得：，故椭圆C的方程是．

（2）由得.

因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以且，

即，化简得（*）.

此时，，所以

由得．

假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．

设，则对满足（*）式的m、k恒成立．

因为，，由，

得，

整理，得.（**）

由于（**）式对满足（*）式的m，k恒成立，所以解得.

故存在定点，使得以MN为直径的圆恒过点M.

21、答案：（1）

（2）9

解析：（1）由题意，设抛物线C的方程为，

因为直线经过抛物线C的焦点，

所以，解得，

所以抛物线C的方程为.

（2）设､，

联立方程组，整理得，

因为，且，，

所以，

由，可得，则，

所以抛物线C经过点A的切线方程是，

将代入上式整理得，

同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，

联立方程组，解得，，所以，，

所以到直线的距离，

所以的面积，

因为，所以，

即当时，，所以面积的最小值为.

22、答案：（1）答案见解析

（2）证明见解析

解析：（1）由题意得，，即，故令，

所以函数的极值点的个数的等价于与的交点个数.

，

得；得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，

所以的大致图象如图：

由图可得，

当时，恒成立，函数单调递增，极值点的个数为0；

当时，与的交点个数有两个，分别设为，且，

当时，，时，，故函数有两个极值点；

当时，与的交点个数有两个，不妨设为，则当，，当时，，故函数有1个极值点.

（2）证明：因为函数有两个极值点，由（1）可知

设，则，，显然，

所以，由极值点的概念知，，故，

所以，

同理，

两式相减得，即.

另一方面，要证，只需证，即

因为，所以，

故上式可化为，即

令，则，上式即为，.

令，

则，故为减函数，

所以，即，原命题得证.