简阳市阳安中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学（理）试卷（含答案）

简阳市阳安中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则集合(   )

A. B. C. D.

2、设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为(   )

A.-3 B.-1 C.1 D.3

3、已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为(   )

A.任意一个无理数，它的平方不是有理数

B.存在一个无理数，它的平方不是有理数

C.任意一个无理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方是无理数

4、执行如图所示的程序框图.如果输入的a为2，输出的S为4，那么(   )

A.13 B.14 C.15 D.16

5、已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为(   )

A.14 B.-14 C.240 D.-240

6、银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率是(   )

A. B. C. D.

7、为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取个居民进行了环保知识问卷调查（满分为100分），并根据问卷成绩（不低于60分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，六组），若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下面结论中不正确的是(   )

A.

B.问卷成绩在内的频率为0.3

C.

D.以样本估计总体，若对A地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格

8、若经过点作曲线的切线，则切线方程为(   )

A.  B.

C.或 D.或

9、设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为(   )

A. B. C. D.

10、若双曲线的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率(   )

A. B. C. D.2

11、已知，直线.P为上的动点.过点P作的切线PA,PB，切点为A,B，当最小时，直线AB的方程为(   )

A. B. C. D.

12、已知，，，则a,b,c的大小关系为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、如某校高中三年级的300名学生已经编号为1，2，…，300，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为292，则第1段抽到的编号为____________.

14、已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.

15、设实数x,y满足，当恒成立时，d的取值范围是_______.

16、已知函数，若存在唯一的零点，则实数t的取值范围是__________.

三、解答题

17、已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

18、如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，，

(1)求证：平面ABCD；

(2)求二面角的正弦值.

19、2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.

（ⅰ）若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；

（ⅱ）某公司有5名员工，其中来自A区2人，其余三区各1人，选出2人来春节值班，求两人中来自A区的人数X的分布列及数学期望。

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

20、已知抛物线的焦点为F,E是抛物线C上的任意一点.当轴时，的面积为4（O为坐标原点）.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线l与抛物线C相交于A,B两点，且直线OA,OB的倾斜角之和为，求证：直线l过定点.

21、已知.

（1）设是的极值点，求实数a的值，并求的单调区间；

（2）当时，求证：.

22、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为.

(1)写出l的直角坐标方程；

(2)已知点，若l与C交于A，B两点，且，求m的值.

参考答案

1、答案：C

解析：由,得，.

故选：C

2、答案：C

解析：是纯虚数，

，解得.

故选：C.

3、答案：A

解析：因为存在命题的否定是全称命题，

所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，

故选：A

4、答案：C

解析：由程序框图可知，输出的，

则，得，那么判断框图.

故选：C.

5、答案：C

解析：二项展开式的第项的通项公式为，

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，

可得：，解得：.

所以，

令，解得：，

所以的系数为，

故选：C.

6、答案：B

解析：设事件A：一次就按对，事件B：二次按对，

所以不超过2次就按对的概率为，

故选：B

7、答案：A

解析：由，得，

，故A不正确，C正确；

成绩在内的频率为，故B正确.

若对A地区5000人进行问卷调查，则约有人不及格，故D正确.

故选：A

8、答案：D

解析：①易知P点在曲线上，当P点为切点时，,,

②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.

A在曲线上，

，

，

，

，

解得或 (舍去)，

，，

此时切线方程为，

即.

故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.

故选：D

9、答案：B

解析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面ABC时，

三棱锥体积最大，然后进行计算可得.

详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面ABC时，三棱锥体积最大

此时，

,

点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.

10、答案：D

解析：双曲线C的半焦距，

圆F过原点O.依题意易知是正三角形，

，

，

.

故选：D.

11、答案：D

解析：由圆，可得圆心坐标为，半径为，

如图所示，因为，

要使得最小，则只需最小，此时直线PC与l垂直，

此时直线PC的方程为，

联立方程组，解得，

则以线段PC为直径的圆的方程为，

联立方程组，两式相减得，

即直线AB的方程为.

故选：D.

12、答案：D

解析：,,；

设，；

时，；则在上单调递减；

；即；

.

故选：D

13、答案：2

解析：在高中三年级的300名学生中抽取一个样本数为60的样本，需要分成60组，组距为，即相邻的两组间的编号差为5，且，则第1段抽到的编号为2.

故答案为：2.

14、答案：

解析：由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是.

15、答案：

解析：令，即化为直线方程，直线与圆始终有交点

则圆心到直线的距离恒成立，解得：.

当恒成立，即恒成立，

.

d的取值范围是.

故答案为：.

16、答案：.

解析：由题意，函数，令，可得，

令，可得，

令，解得或或

当,,时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又由时，；（左侧）时，；

（右侧）时，；时，，且，

所以函数的图象，如图所示，

因为存在唯一的零点，即与的图象有且仅有一个公共点，

所以或，即实数t的取值范围为.

故答案为：.

17、答案：(1)递减区间是，递增区间是.

(2)-7

解析：（1）函数的定义域为R，

可得

由得或，由得，

因此函数在,上单调递减，在上单调递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，

又由,

因此，解得，

所以

所以函数在上的最小值是-7.

18、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：（1）证明：取AD中点N，连接NE,NC，

因为ADE是正三角形，

所以，

因为平面平面ABCD,平面ADE，平面平面

所以平面ABCD，又因为平面ABCD，

所以，又因为，

所以四边形ENCF是平行四边形，所以，

又因为平面ABCD,平面ABCD，

所以平面ABCD.

（2）连接AC,BD交于O，取AF中点M，连接OM，

所以，因为平面ABCD，所以平面ABCD，

因为OA,平面ABCD，所以，

又因为四边形ABCD是菱形，所以，

所以OA,OB,OM两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

,,,,,,，,，

设平面AEF的法向量为，

，

令,

平面AFC的法向量为，

设二面角的大小为，

.

所以二面角的正弦值为.

19、答案：(1)

(2)（ⅰ）1750万元；（ⅱ）分布列见解析，数学期望为

解析：（1）由题，，

，

，

则，

，

故y关于x的线性回归方程为.

（2）（ⅰ）将代入，得，

故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.

（ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，

，，

随机变量X的分布列为：

.

20、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：（1）因为F为抛物线C的焦点，所以，所以，

因为轴，所以，所以，

因为的面积为4，所以，且，所以，

故抛物线C的方程为；

（2）证明：根据题意，设，设直线l的方程为，

联立抛物线方程得，，即，

由韦达定理可得，，

则，，

所以，，

设直线OP、OQ的倾斜角分别为和，所以，，

则，，

所以当时，，解得，

所以直线l的方程即为：，

即得直线l恒过定点.

21、答案：（1）；单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明见解析.

解析：（1）函数的定义域为.

又，

是的极值点，.

.

在上单调递增，且.

时，，时，.

的递减区间为，递增区间为.

（2）由（1）可得时，在上单调递增.

又因为，当x趋近于0时，趋近于.

使得，即.

当时，，，时，.

在递减，在，递增.

，

令.

，在上，

单调递减，.

当时，.

22、答案：(1)

(2)或

解析：（1）因为，

所以，即，

又，则，即，

所以直线l的直角坐标方程为.

（2）由（1）可得直线l的方程为，

则点落在直线l上，且直线l的斜率为，

所以直线l的倾斜角为，又，

所以直线l过点的参数方程为（t为参数），

因为曲线C的参数方程为（为参数），

所以曲线C的直角坐标方程为，

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，

则，解得，

不妨设方程的两根为，则，

由直线l参数方程的参数的几何意义可知，

则，解得或，皆满足题意，

所以或.