江苏省六校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含答案）

江苏省六校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若集合，则满足的集合B的个数为(   )

A.2 B.3 C.4 D.16

2、一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(   )

A. B. C. D.

3、设x，，向量，，，且，，，则(   )

A. B. C.4 D.3

4、命题，是假命题，则实数b的值可能是(   )

A. B. C.2 D.

5、质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是(   )

A.  B.事件A和事件B互为对立事件

C.  D.事件A和事件B相互独立

6、某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集5组对应数据，如下表所示.（残差＝观测值－预测值）

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为-0.5，则表中m的值为(   )

A.1.5 B.1.2 C.-1.2 D.-1.5

7、现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为(   )

（附：若随机变量服从正态分布，则，，

A.32 B.64 C.128 D.256

8、已知数列的前n项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则能被3整除的概率为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列结论正确的是(   )

A.若随机变量服从二项分布，则

B.若随机变量服从正态分布，，则

C.若随机变量X服从两点分布，，则

D.若随机变量Y的方差，则

10、某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是(   )

A.若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法

B.若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有72种排法

C.若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法

D.若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有480种排法

11、如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是(   )

A.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段

B.存在Q点，使得平面

C.当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大

D.若，那么Q点的轨迹长度为

12、若实数x，y满足，，，则(   )

A.且  B.m的最小值为-3

C.n的最小值为7  D.

三、填空题

13、的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）

14、有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有_________.

15、已知函数（），则它的最小值为____________.

四、双空题

16、有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第n个盒子中取到白球的概率是______.

五、解答题

17、设函数的定义域为A，集合（）.

（1）求集合A；

（2）若，，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

18、为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关.

附：.

19、如图所示，在直四棱柱中，，，，，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20、在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.

条件①：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”；

条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为37”.

问题：已知二项式，若___________（填写条件前的序号），m、n为正整数.

（1）求展开式中含项的系数；

（2）求展开式中系数最大的项；

（3）写出展开式中系数最大项是第几项？（不要求推导过程）.

21、为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

（2）记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望；

（3）若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y，求Y的期望.

22、如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥.

（1）求四棱锥的体积的最大值；

（2）设的大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值.

参考答案

1、答案：C

解析：对于集合A,由 解得 ,

又,

.

又,

满足条件的集合B可能为,,,共4个.

故选: C.

2、答案：A

解析：记得分为X, 则.

，，

所以

故选A.

3、答案：D

解析：因为,则,解得,则,

因为,则 ,

解得 , 即,

所以,, 因此, .

故选: D.

4、答案：B

解析：命题，是假命题,，是真命题, ,

解得-,

实数b的值可能是.

故选: B.

5、答案：B

解析：

6、答案：A

解析：

7、答案：C

解析：

8、答案：C

解析：由古典概型可知, 数列 共有种情况,能被3整除，有以下4种情况:

①中有10个1,1个2 ,有 种情 况;

②中有7个 1,4 个 2 , 有 种情 况;

③中有4个 1,7 个 2 , 有 种情 况;

④中有1个 1,10个2,有种情况,

所以,被了整除的概率为

故选:C.

9、答案：AB

解析：

10、答案：ABC

解析：

11、答案：ACD

解析：

12、答案：AD

解析：

13、答案：135

解析：展开式的通项为

$

令,可得 ,

因此,展开式中的常数项为

故答案为:135.

14、答案：150

解析：根据题意,分2步进行分析:

①将5人分为 3 组, 种是按照1,1,3;另一种 是按照1,2,2;

当按照1,1,3来分组时共有 种分组方法,

当按照1, 2, 2来分组时共有种分组方法,

则一共有种分组方法；

②将分好的三组对应三家酒店,有种对应方法;

则安排方法共有 种,

故答案为: 150 .

15、答案：

解析：由，可得，，

则

当且仅当，即时取得 等号，

则的最小值为.

故答案为:.

16、答案：；

解析：

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）要使得函数有意义，只需要

解得，所以集合.

（2）因为p是q的必要不充分条件，所以，

当时，，解得；

当时，解得，

综上可知，实数m的取值范围是.

18、答案：(1)0.64

(2)有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关

解析：（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，

且浓度不超过150的天数为，

所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，

且浓度不超过150的概率的估计值为.

（2）由所给数据，可得列联表：

（3）提出假设：该市一天空气中浓度与浓度无关.

根据列联表中数据，经计算得到，

即有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明以A为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，.

易知，，，

（2）设平面的一个法向量为，

又，，

则，即

令，则，，

平面的一个法向量为.

设直线与平面所成的角为，

， ，

直线与平面所成角的正弦值为.

20、答案：(1)见解析

(2)

(3)见解析

解析：（1）选①，则，解得；

选②，则，解得；

中项的系数为：

（2）展开式的通项为，设第项系数最大，

则，解得，

，

展开式中系数最大的项为；

（3）展开式的通项为，设第项系数最大，

则，则，解得，

即，

定义为取整函数，，当时，，

则当为整数时，展开式中系数最大项为第项或项；

当不为整数时，为第项.

21、答案：(1)

(2)

(3)13个工时

解析：（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件B.

则，，

所以，

（2），X可取0，1，2

，，

所以X的分布列为：

（3）法一：根据题意，一名女生参加活动可获得工时的期望为

一名男生参加活动可获得工时的期望为.

有X名女生参加活动，则男生有名参加活动.

所以.

即两人工时之和的期望为13个工时.

法二：“选取的两人中女生人数为i “记为事件，，

则，，.

由题意知，Y的可能值为6，9，12，15，18，

得分为6，9，12，15，18分别记为事件，，，，，

则，，，

，，，

，，，

所以，Y的分布列为：

所以，.

即两人工时之和的期望为13个工时.

22、答案：(1)

(2)

解析：（1）取AM的中点G，连接PG，

因为，则，

当平面平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，

四棱锥的体积取得最大值，

此时平面ABCM，且，

底面ABCM为梯形，，

则四棱锥的体积最大值为，

（2）连接DG，因为，

所以，

所以为的平面角，即，

过点D作平面ABCD，以D为坐标原点，

分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

过P作于点H，由题意得平面ABCM，

设，因为，

所以，，，

所以，，

所以，

所以，，

设平面PAM的法向量为，

则，

令，则，

设平面PBC的法向量为，

因为，，

则，令，

可得

设两平面夹角为，

则

令，，所以，

所以，

因为的对称轴为，

所以当时，有最小值，

所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为.