高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样教案设计

第九章 统计

9.1 随机抽样

9.1.2分层随机抽样

教学设计

一、教学目标

1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．

2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．

3. 结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．

二、教学重难点

1、教学重点

分层随机抽样的特点和适用范围；

2、教学难点

分层随机抽样的样本均值.

三、教学过程

1、新课导入

在高一年级的 712 名学生中， 男生有 326  名、女生有 386 名. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高，要从中抽取一个容量为50的样本，可以采取简单随机抽样的方式.

问题一：抽样调查最核心的问题是什么？

问题二：会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？为什么会出现这种“极端样本”？如何避免这种“极端样本”？

问题三：调查前我们无法获知学生的身高数据，显然也就无法根据身高对总体进行分类.能不能通过其他指标或信息对学生进行分类，使得同类的学生身高差异尽量小呢？高一阶段，影响学生身高的主要因素是什么呢？

2、探索新知

知识点1、分层随机抽样

1.分层随机抽样的定义

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

2.分层随机抽样的特点

分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况。

比例分配的分层随机抽样是等可能抽样，如果层数分为 2层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本数分别m和n。

3.分层随机抽样的步骤：

①将总体分成互不交叉的层.

②计算样本容量与总体的个体数之比，按比例确定各层要抽取的个体数

③各层分别按简单随机抽样方法抽取.

④综合每层抽样，组成样本.

例1、某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．

解析：抽样过程如下：

第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．

【变式】 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

【解析】B　[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]

【归纳总结】分层随机抽样的步骤

知识点2　分层随机抽样的平均数

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别m和n.

我们用X1, X2, …, XM表示第1层各个个体的变量值，用x1, x2, …, xm表示第1层被抽取样本的各个个体的变量值；用Y1, Y2, …, YN表示第2层各个个体的变量值,用y1, y2, …, yn表示第2层被抽取样本的各个个体的变量值，这样：

第1层的总体平均数和样本平均数分别为

第2层的总体平均数和样本平均数分别为

总体平均数和样本平均数分别为

例2、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A．101       B．808              C．1 212    D．2 012

【变式】将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．若A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为________．

解析： 20    20.5　

由题意可知样本的平均数为

＝5＋3＋2(5)×15＋5＋3＋2(3)×30＋5＋3＋2(2)×20＝20.5

【归纳总结】(1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系

①＝；

②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

(2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：

＝＋＝＋.

3、小结作业

小结：本节课学习了分层随机抽样的方法.

作业：教材练习题

四、板书设

知识点1　分层随机抽样的定义、特点、步骤；             例1、

知识点2　分层随机抽样的平均值；                       例2、