四川省泸州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类

这是一份四川省泸州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类，共30页。试卷主要包含了两点，三点，其对称轴为x＝2，两点，直线x＝3与x轴交于点C等内容，欢迎下载使用。

四川省泸州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2021•泸州）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023•泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
四．反比例函数综合题（共2小题）
4．（2022•泸州）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

5．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．

7．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

8．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

六．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2022•泸州）如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．

七．切线的性质（共2小题）
10．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

11．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．

八．圆的综合题（共1小题）
12．（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
14．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

15．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．


四川省泸州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2021•泸州）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
解得：，
答：1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；
（2）方法一：设A货车运输m吨，则B货车运输（190﹣m）吨，设总费用为w元，
则：w＝500×+400×
＝25m+
＝25m﹣m+
＝﹣m+，
∵﹣＜0，
∴w随m的增大而减小．
∵A、B两种货车均满载，
∴，都是大于或等于0的整数，
∴0≤m≤190，
当m＝20时，不是整数；
当m＝40时，＝10；
当m＝60时，不是整数；
当m＝80时，不是整数；
当m＝100时，＝6；
当m＝120时，不是整数；
当m＝140时，不是整数；
当m＝160时，＝2；
当m＝180时，不是整数；
故符合题意的运输方案有三种：
①A货车40÷20＝2辆，B货车10辆；
②A货车100÷20＝5辆，B货车6辆；
③A货车160÷20＝8辆，B货车2辆；
∵w随m的增大而减小，
∴费用越少，m越大，
故方案③费用最少．
方法二：设安排m辆A货车，则安排辆B货车，
w＝500m+400×＝﹣m+，
∵＝9.5，
∴0＜m＜10，
∵m，都为整数，
∴m＝2，5，8，
故符合题意的运输方案有三种：
①A货车2辆，B货车10辆；
②A货车5辆，B货车6辆；
③A货车8辆，B货车2辆；
∵﹣＜0．
∴w随m的增大而减小，
∴费用越少，m越大，
故方案③费用最少．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023•泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）10元；
（2）该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得，
解得x＝10或x＝﹣12（舍去），
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，
解得m≤300，
w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4﹣8＝﹣x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，
∴MN＝＝＝4，
联立，
得：﹣x﹣4＝，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣6，
将x1＝﹣2，x2＝﹣6代入y＝得：y1＝﹣3，y2＝﹣1，
经检验：和都是原方程组的解，
∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，
则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），
∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴PQ＝＝＝2，
∴＝＝．

四．反比例函数综合题（共2小题）
4．（2022•泸州）如图，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．

【答案】（1）b＝9；
（2）点C（4，0）或（8，0）．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，且A的纵坐标为6，
∴点A（2，6），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴6＝﹣×2+b，
∴b＝9；
（2）如图，设直线AB与x轴的交点为D，

设点C（a，0），
∵直线AB与x轴的交点为D，
∴点D（6，0），
由题意可得：，
∴，，
∴点B（4，3），
∵S△ACB＝S△ACD﹣S△BCD，
∴3＝×CD×（6﹣3），
∴CD＝2，
∴点C（4，0）或（8，0）．
5．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

【答案】（1）k＝2，m＝12；
（2）（，2+2）或（﹣1，2）．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，），
∴DE＝|2n+2﹣|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2﹣|＝2，
当2n+2﹣＝2时，n1＝，n2＝﹣（舍去），
此时，点D的坐标为（，2+2），
当2n+2﹣＝﹣2时，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），
此时，点D的坐标为（﹣1，2），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（，2+2）或（﹣1，2）．
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD＝CE时，求CD的长；
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6；
（2）①8﹣2；②点F（4，6）．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；

（2）令y＝﹣x2+2x+6＝0，则x＝6或﹣2，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（6，0）；
①设点F（m，﹣m2+2m+6），
由点A、F得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2）①，
当x＝0时，y＝﹣（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即点D（0，6﹣m），
则CD＝6﹣6+m＝m，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6②，
联立①②得：﹣（m﹣6）（x+2）＝﹣x+6，
解得：x＝，则点E（，6﹣），
由点C、E的坐标得，CE＝，
∵CD＝CE，即m＝，
解得：m＝0（舍去）或8﹣2，
则CD＝m＝8﹣2；
②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，

∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积比为边的比，
即＝＝2，
∵OD∥EM∥FN，
则，，
则＝＝＝2，
即＝2，
整理得：3xE﹣xF＝2，
由①知，xE＝，xF＝m，
则3×﹣m＝2，
解得：m＝±4（舍去负值），
经检验，m＝4是方程的根，
则点F（4，6）．
7．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①9；
②（4，6）或（3，）．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），
∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣m2+m+8
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
（一）当A与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，
由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），
∴CE＝＝，
当＝时，＝，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）
∴D（4，6），
当＝时，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，），
∵在Rt△AOC中，G是AC中点，
∴OG＝AG，
∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，
∴∠DEC＝∠GOA，
（二）当O与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
∵OG＝AG，
∴＝与＝答案相同，同理＝与或＝答案相同，
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）．
8．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；
（2）y＝﹣x；
（3）点F的坐标为（2，0）或（，0）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
六．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2022•泸州）如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．

【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
七．切线的性质（共2小题）
10．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

【答案】（1）证明见解答；
（2）18．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA+∠ACF＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA+∠OCE＝90°，
∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B；
（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴＝，
∵AF＝2，CF＝4，
∴，
∴BF＝8，
∴AB＝BC＝8﹣2＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，即AE•AD＝AB×AC＝6×3＝18．
11．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．

【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
即∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE＝∠BCF，
即BC平分∠DCF；
（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝，
∴OE＝＝1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，
∴CE∥GM，
∴△GMH∽△CEH，
∴，
∵CH＝3GH，
∴，
∴GM＝1，
设MH＝x，则HE＝3x，
∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，
∴（4x﹣1）2+12＝（）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+＝2．

八．圆的综合题（共1小题）
12．（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．

【答案】（1）证明见解析部分；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴AB∥DF；

（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝，AC＝2，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，
∵DF∥AB，
∴∠COH＝∠F，
∵∠CHO＝∠ODF＝90°，
∴△CHO∽△ODF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【答案】（40﹣）m．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥AD于点G，

在Rt△ABF中，
∵i＝2：，
∴可设BF＝2k，AF＝k，
∵AB＝m，
∵BF2+AF2＝AB2，
∴（2k）2+（k）2＝（）2，
解得k＝20（负的已舍），
∴BF＝2k＝40m，
延长BC，DE交于点H，
∵BC是水平线，DE是铅直线，
∴DH⊥CH，△CDH和△CEH都是△Rt，
∵AD，BC都是水平线，BF⊥AD，DH⊥BC，
∴四边形BFDH是矩形，
∴DH＝BF＝40m，
在Rt△CDH中，
∵tan∠DCH＝，
∴CH＝＝（m），
在Rt△CEH中，
∵tan∠CEH＝，
∴EH＝CH•tan∠CEH＝•tan37°≈×＝（m），
∴DE＝DH﹣EH＝（40﹣）
答：古树DE的高度为（40﹣）m．
一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
14．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【答案】14nmile．
【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10×＝5mile，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．

15．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．