2023年辽宁省大连市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省大连市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体中，主视图是(    )

 

A.  B.
C.  D.

3.  如图，直线，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  某种离心机的最大离心力为数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  将方程去分母，两边同乘后的式子为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系当时，，则当时的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  圆心角为，半径为的扇形弧长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知抛物线，则当时，函数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机选取名学生进行问卷调查每位学生仅选一种，并将调查结果绘制成如下的扇形统计图下列说法错误的是(    )

A. 本次调查的样本容量为
B. 最喜欢篮球的人数占被调查人数的
C. 最喜欢足球的学生为人
D. “排球”对应扇形的圆心角为

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  的解集为______ ．

12.  一个袋子中装有两个标号为“”“”的球从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回则两次标号之和为的概率为______ ．

13.  如图，在菱形中，、为菱形的对角线，，，点为中点，则的长为______ ．

14.  如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为______ ．

15.  我国的九章算术中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问有几人”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少设有人，则可列方程为：______ ．

16.  如图，在正方形中，，延长至，使，连接平分交于，连接，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
某服装店的某件衣服最近销售火爆现有、两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度单位：，并对数据进行整理、描述和分析部分信息如下：
Ⅰ供应商供应材料的纯度单位：如下：

Ⅱ供应商供应材料的纯度单位：如下：

Ⅲ、两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：
表格中的 ______ ， ______ ， ______ ；
你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？

19.  本小题分
如图，在和中，延长交于，，求证：．

20.  本小题分
为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍已知年该学校用于购买图书的费用为元，年用于购买图书的费用是元，求年买书资金的平均增长率．

21.  本小题分
如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景已知，，，，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？
结果保留整数参考数据：，，


 

22.  本小题分
为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步开始时男生跑了，女生跑了，然后男生女生都开始匀速跑步已知男生的跑步速度为，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑步到停止跑步共用时已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，轴代表跑过的路程，则：
男女跑步的总路程为______ ；
当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．

23.  本小题分
如图，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
求的度数；
如图，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点若，，求的长．

 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点为线段上一动点不与点重合，过点作轴交直线于点，与的重叠面积为，关于的函数图象如图所示．
的长为______ ；的面积为______ ；
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

 

25.  本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知，，点为上一动点，将以为对称轴翻折同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点落在上时，”
小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题，请你回答：

问题：在等腰中，，，由翻折得到．
如图，当点落在上时，求证：；
如图，若点为中点，，，求的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题：如图，在等腰中，，，若，则求的长．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线：过点、过作轴交抛物线另一点为点以、长为边向上构造矩形．
求抛物线的解析式；
将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上
求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
直线交抛物线于点，交抛物线于点当点为线段的中点时，求的值；
抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据绝对值的定义求解．
本题考查了绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图所示的几何体中，主视图是选项，
故选：．
找到从正面看所得到的图形，得出主视图即可．
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图和左视图所看的位置．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
由三角形的内角和可得．
故选：．
由平行线的性质可得，从而求出，再根据三角形的内角和即可求解．
本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：分式方程去分母得：．
故选：．
分式方程变形后，去分母得到结果，即可做出判断．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，则，
，
故选：．
设，则，得出，计算即可．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握欧姆定律．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
该扇形的弧长为
故选：．
根据弧长公式计算即可．
本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为直线，
，
抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，函数的最大值为，
故选：．
根据抛物线的解析式求得对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、本次调查的样本容量为，故此选项不合题意；
B、最喜欢篮球的人数占被调查人数的，故此选项不合题意；
C、最喜欢足球的学生为人，故此选项不合题意；
D、根据扇形图可得喜欢排球的占，“排球”对应扇形的圆心角为，故此选项符合题意；
故选：．
利用扇形图可得喜欢排球的占，喜欢篮球的人数占被调查人数的，最喜欢足球的学生为人；用喜欢排球的所占百分比可得圆心角．
本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：树状图如图所示，

由上可得，一共存在种等可能性，其中两次标号之和为的可能性有种，
两次标号之和为的概率为，
故答案为：．
根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得两次标号之和为的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
点为中点，
，
故答案为：．
由四边形是菱形，可得，，，又，知是等边三角形，，而点为中点，故EF．
本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，，
以点为圆心，为半径作弧交直线于点，
，
，
点的横坐标为．
故答案为：，
在中，利用勾股定理求出，则，进而求得，据此即可求解．
本题主要考查勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理正确求出的长是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故答案为：．
根据货物的价格不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，作于点，

四边形为正方形，，
，，
，，，
四边形为矩形，
又平分，，，
，
四边形为正方形，
，
设，则，
，
，，
，，
，
∽，
：：，
即：：：，
解得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
过点作于，作于点，首先证四边形为正方形，再设，则，，，然后证和相似，由相似三角形的性质求出，进而在中由勾股定理即可求出．
此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：供应商供应材料纯度的平均数为，
出现的次数最多，故众数，
方差；
故答案为：；；；
选A供应商供应服装，理由如下：
、平均值一样，的方差比的大，更稳定，
选A供应商供应服装．
根据平均数，众数和方差的计算公式分别进行解答即可；
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：设年买书资金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：年买书资金的平均增长率为． 

【解析】设年买书资金的平均增长率为，利用年用于购买图书的费用年用于购买图书的费用年买书资金的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：延长交于，
则，，
在中，，，
，
，
答：楼的高度约为． 

【解析】延长交于，于是得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：男生匀速跑步的路程为，，
则男女跑步的总路程为，
故答案为：；
设从开始匀速跑步到男、女相遇时的时间为，
女生跑步的速度为，
根据题意得：，
解得，
此时男、女同学距离终点的距离为，
答：此时男、女同学距离终点的距离为．
根据男女同学跑步的路程相等，即可求解；
求出女生跑步的速度，列方程求解即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后设出未知数列出方程．
 

23.【答案】解：为的直径，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
；
连接，
设，
则，，，

为的直径，
，
在中，，
由得，，
，
，，
，
，
解得或不合题意舍去，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
． 

【解析】根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】  

【解析】解：时，与重合，此时，
时，，与重合，
，，
故答案为：，；
在直线上，
，
设，
，即，
，
；
当时，设交于，如图：

，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
当时，如图：

由，得直线解析式为，
当时，，
，
，
，
，
；
综上所述，．
由时，与重合，得，时，与重合，得；
设，由，得，；分两种情况：当时，设交于，可得，，故；当时，求出直线解析式为，可得，由，得，故．
本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
 

25.【答案】问题：证明：，
，
由翻折得到，
，
，
；
解：如图，连接，交于点，

由翻折得到，
，，
，
，
点是的中点，
，
在中，，
在中，，
；
问题：解：连接，过点作于，过点作于，

，，
，，
，
，
，
，
又，
四边形是矩形，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
在中，． 

【解析】问题：由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质和三角形内角和定理可得，由邻补角的性质可得结论；
由三角形中位线定理可得，由勾股定理可求，，即可求解；
问题：先证四边形是矩形，由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求，，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

26.【答案】根据题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线：，
当时，，则，
当时，，则，
将点，代入抛物线：，
，
解得，
抛物线的解析式为．
轴交抛物线另一点为，
当时，，
，
矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
，，
整理得，
，，
，
；
如图，

，，
，
，
，
由可得，，
，的横坐标为，分别代入，，
，，
，
的中点坐标为，
点为线段的中点，
，
解得或大于，舍去．
如图，连接，过点作于点，

则，
，
，
设，则，
将点代入，
得，
解得，
当，，
，
将代入，
解得，
或． 

【解析】根据题意得出点，，利用待定系数法求解析式即可求解．
根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，即可求解．
根据题意得出，，求得中点坐标，根据题意即可求解．
作辅助线，利用勾股定理求得，设出点，点坐标，将点代入，求得点坐标，进而根据点的对应点落在抛物线上，即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质．