2023年浙江省杭州市上城区中考数学二模试卷(含解析 )

2023年浙江省杭州市上城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某地一天的最高气温是，最低气温是，则该地这一天的温差是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为正整数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，为的外角，，，那么(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，将一刻度尺放在数轴上数轴个单位长度是，刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，分别以、为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为、，连接交于点，下列说法一定正确的是(    )

A. 是直角三角形
B. 是等腰三角形
C. 是等腰三角形
D. 是等腰三角形

6.  某班名学生的身高情况如下表关于身高的统计量中，不随，的变化而变化的有(    )

A. 众数、中位数 B. 中位数、方差 C. 平均数、方差 D. 平均数、众数

7.  已知，是实数，若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某商品打九折后的价格为元，则原价为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

9.  点在二次函数的图象上，针对的不同取值，存在点的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若的个数为，则；乙：若的个数为，则则下列判断中正确的是(    )

A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误

10.  如图，已知内接于，，，点为的重心，当点到的距离最大时，线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ； ______ ．

12.  因式分解：______．

13.  一个不透明的盒中只有颜色不同的个球，其中红球个，白球个，从中摸出两个球，颜色一样的概率是______ ．

14.  如图，切于点，连接交于点，点是优弧上一点，若为，则 ______ 用含的代数式表示．

15.  现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖千克，两种糖的千克数和单价如表商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，需加入甲种糖______ 千克．

16.  在矩形中，，，、分别是边和上的点，沿着折叠使得落在上的点，延长交于点，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
以下是圆圆解方程的具体过程：的具体过程，方程两边同除以，得，移项，得，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

18.  本小题分
年第届亚运会在杭州举行，某校随机抽取了八年级若干名学生进行亚运会知识竞赛，成绩分为，，，，五个等级单位：分，满分分将所收集的数据分组整理，绘制成了统计图请你根据提供的信息解答下列问题：某校八年级杭州亚运会知识竞赛成绩的频数表：

求扇形统计图和频数统计表中，的值；
在所调查的名学生中，杭州亚运会知识竞赛的平均成绩能否达到分？
已知该校八年级学生有人，试估计该校八年级学生中参加杭州亚运会知识竞赛的成绩高于分的共有多少人？

19.  本小题分
如图，在中，，恰好是的角平分线．
求证：∽；
若，，求的长．

20.  本小题分
已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上．
求的值；
若点都在该反比例函数图象上；
当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标；
当，时，求的取值范围．

21.  本小题分
在中，，，于点，于点，、交于点．
求证：；
若，求的面积．

22.  本小题分
已知二次函数和一次函数．
二次函数的图象过，点，求二次函数的表达式；
若一次函数与二次函数的图象交于轴上同一点，且这个点不是原点．
求证：；
若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求的值．

23.  本小题分
如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接，．
求证：；
如图，过点作交于点，，．
求关于的函数表达式；
设，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，
故选：．
根据题意列算式，再利用有理数减法法则计算可求解．
本题主要考查有理数的减法，正确列算式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，且是正整数，
．
故选：．
利用平方根定义估算确定出所求即可．
此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，是的外角，
．
故选：．
利用三角形的外角性质即可求解．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
 

4.【答案】 

【解析】解：刻度尺上的对应数轴上的，
刻度尺上对应的数到的距离也是，
数轴个单位长度是
单位长度
刻度尺上对应数轴上的数为：
故选：．
本题考查的是数轴与刻度尺的关系以及数轴上两点的距离，根据数轴与刻度尺的比例关系确定数轴上的距离，再利用数轴上右边的点减去距离即可求出左边对应点表示的数．
 

5.【答案】 

【解析】解：由作图得：垂直平分，
，
是等腰三角形，
故选：．
由作图得：垂直平分，根据垂直平分线的性质判断求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的新知识解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
这组数据中出现次数最多的数是，第、个数据分别为、，
这组数据的众数为，中位数为，
关于身高的统计量中，不随，的变化而变化的有众数、中位数，
故选：．
根据总人数确定的值，然后根据表格确定众数和中位数即可得到结论．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是确定原数据的中位数及众数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
选项A不符合题意；

，
，
选项B不符合题意；

时，无意义，
选项C不符合题意；

，
，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意知：元，
故选：．
根据原价打折售价可得原价售价打折，再代入相应数据可得答案．
此题主要考查了列代数式，关键是掌握原价、售价、打折之间的关系，注意代数式的写法．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲：若的个数为，则为抛物线的顶点，
，
抛物线的顶点为，
；
乙：若的个数为，则，
当时，，当时，，
故甲正确，乙错误；
故选：．
求得抛物线的顶点坐标，为顶点的个数为，不是顶点的个数为．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，求得抛物线的顶点坐标是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，过点作于，连接，，设点到的距离为，

，
当点到的距离最大时，，，三点共线，
，，
，
，，
在，，，
，，
，
，，
点为的重心，
，
．
故选：．
根据题意作出对应的图形，连接，，得，由垂径定理得：，再由，，，，半径相等，，再由点为的重心，可知，最后得即可．
本题主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正确掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．
 

11.【答案】   

【解析】解：；
．
故答案为：，．
分别根据负整数指数幂及同底数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查的是负整数指数幂及同底数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
此题应先提公因式，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中颜色一样的结果有种，
颜色一样的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中颜色一样的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

切于点，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆的切线性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用圆周角定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设需加入甲种糖千克，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
需加入甲种糖千克．
故答案为：．
设需加入甲种糖千克，利用单价总价数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高元，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于点，

，
，
根据折叠的性质可得，，，，
，即点为的中点，
，
，即，
，
点为的中点，
为的中位线，
为的中点，，
，
，
为的中位线，
，
四边形为矩形，
，，
设，
在中，，
，
，，
，
，即，
解得：．
．
过点作，交于点，由等边对等角可得，由折叠可得，，，进而得出，利用三角形外角性质可得，以此推出，即可证明，易得到为的中位线，，易得到为的中位线，得到，，则，，再利用平行线的性质可得到关于的方程，求解即可．
本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质、折叠的性质、三角形中位线的判定与性质、平行线的性质，利用折叠的性质和三角形外角性质推理论证出，以此得到点为的中点是解题关键．
 

17.【答案】解：圆圆的解答过程有错误，因为有可能等于．
正确的解答过程为：移项得，
，
或，
所以，． 

【解析】利用因式分解法解方程可判断圆圆的解答过程是否有错误．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

18.【答案】解：由题意可知，样本容量为：，
故，即，
，
故；
，
所以杭州亚运会知识竞赛的平均成绩能不能达到分；
人，
答：估计该校八年级学生中参加杭州亚运会知识竞赛的成绩高于分的约共有人． 

【解析】用等级的频数除以可得样本容量，再用等级的频数除以样本容量可得的值；用样本容量乘可得的值，进而得出的值；
根据加权平均数公式计算即可；
用乘样本中成绩高于分的学生所占百分比即可．
本题考查扇形统计图、频数分布表以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】证明：，
，
是的平分线，
，
，
又，
∽．
解：设，
，
，
又，
，
由得：∽，
：：，
即：：：，
，
，
解得：，不合题意，舍去．
． 

【解析】首先根据等腰三角形的性质得，再根据角平分线的定义得，于是可得出，据此可得出结论；
设，则，然后由的结论得：：，据此可得出，然后解方程求出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的证明方法，理解相似三角形的性质，难点是设置适当的未知数，利用相似三角形的性质列出方程．
 

20.【答案】解：反比例函数，点，都在该反比例函数图象上，
，
，
；
点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称，
，
，
，
，
，
代入得，，
解得，
；
，
，
，
，
，
． 

【解析】由反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得；
由题意，结合，求得，代入，即可求得；
求得，由得到，即，解得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：，
，
在中，，
，
，
，
的面积

，
的面积为． 

【解析】先根据三角形内角和定理求出，再根据垂直定义可得，从而可得，，进而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，最后根据证明≌，即可解答；
利用的结论可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，进而可得，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：二次函数的图象过，点，
，
解得：，
二次函数的表达式为；
证明：令，则，
解得：或．
抛物线与轴交于．
令，则，
．
直线轴交于，
若一次函数与二次函数的图象交于轴上同一点，且这个点不是原点，
，
；
解：，
二次函数的顶点为
两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
．
由知：，
，
解得：不合题意，舍去或．
若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，的值为． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
令，分别求得两个函数的图象与轴的交点，依据已知条件列出关于，，的等式，整理即可得出结论；
利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，再利用的结论得到关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，函数图象的交点，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
又，
≌，
；
解：如图，过点作于，交于，

，，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
又，
，，
；
证明：，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，由等腰三角形的性质可求解；
由三角形的面积公式可得，由锐角三角函数可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．