2023年北京市丰台区中考数学二模试卷(含解析 )

这是一份2023年北京市丰台区中考数学二模试卷(含解析 )，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市丰台区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )
A. 圆柱
B. 三棱柱
C. 圆锥
D. 球
2. 如图，AB//CD，点E为CD上一点，AE⊥BE，若∠B=55°，则∠1的度数为(    )


A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    )

A. a>c B. |b|>1 C. −b0
4. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是(    )
A. B. C. D.
5. 已知3.52=12.25，3.62=12.96，3.72=13.69，3.82=14.44，那么 13精确到0.1的近似值是(    )
A. 3.5 B. 3.6 C. 3.7 D. 3.8
6. 掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则nm的值(    )
A. 一定是12
B. 一定不是12
C. 随着m的增大，越来越接近12
D. 随着m的增大，在12附近摆动，呈现一定的稳定性
7. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，索和竿子各几何？(1托为5尺)其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么绳索和竿各长几尺？设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据题意列方程组，正确的是(    )
A. x−y=5y−12x=5 B. x−y=512x−y=5 C. y−x=5x−2y=5 D. x−y=5y−2x=5
8. 下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道(隧道长大于货车长)，货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线(圆心O表示王大爷家的位置)，他离家的距离y与散步的时间x；
③如图3，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x
其中，变量y与x之间的函数关系大致符合图4的是(    )


A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若 x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是          ．
10. 分解因式：3x2−3y2=          ．
11. 正十边形的外角和为______．
12. 如图所示，正方形网格中，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积SA，SB，SC之间的关系______ ．


13. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=1x(x>0)和y2=kx(x>0)的图象如图所示，k的值可以是______ .(写出一个即可)


14. 若a−b=2，则代数式a2a−b+b2−2aba−b的值为______ ．
15. 如图是某书店2022年7月至12月教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图.小华认为，8月份教育类图书销售额比7月份减少了.他的结论______ (填“正确”或“错误”)，理由是______ ．

16. 甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地.每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如表．
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨所需运费/元
120
160
100
如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是______ ，此时总运费为______ 元.
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：2sin30°+(−1)3− 8+(12)−1．
18. (本小题5.0分)
解方程：xx−1+1x+1=1．
19. (本小题5.0分)
下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法.请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)，并完成证明．
已知：如图，直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ//l．

作法一：如图，

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．
作法二：如图，

①在直线l上取两点A，B，连接AP；
②分别以点P，点B为圆心，AB，AP的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q；
③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．
证明：∵AB= ______ ，CB= ______ ，
∴PQ//l(______ )
(填推理的依据)．
证明：连接BQ．
∵AP= ______ ，AB= ______ ，
∴四边形APQB是平行四边形
(______ )(填推理的依据)．
∴PQ//l(______ )
(填推理的依据)．

20. (本小题5.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4=0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
21. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，连接DB，过点C作CE//DB，且CE=DB，连接BE，DE．
(1)求证：四边形BECD是菱形；
(2)连接AE，当∠ACB=30°，AB=2时，求AE的长．

22. (本小题6.0分)
某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析.下面是部分信息．
a.两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度(mm)
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
A品种花生仁粒数
5
10
6
7
2
0
0
0
0
0
B品种花生仁粒数
0
0
2
3
6
4
5
4
4
2
b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：

平均数
中位数
众数
方差
A品种花生仁
a
13.5
c
1.4
B品种花生仁
17.5
b
16
3.9
根据以上信息，回答下列问题：
(1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是______ (填序号)；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
(2)写出a，b，c的值；
(3)学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购______ (填“A”或“B”)品种花生仁，理由是______ ．

23. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象经过点(2,0)，(3,1)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当x>m时，对于x的每一个值，正比例函数y=mx的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
24. (本小题6.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，点E是AB的延长线上的一点，∠BCE=∠BOD，OD的延长线交CE于点F．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若sinE=23，AC=5，求DF的长．

25. (本小题6.0分)
学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形ABCD构成.数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌EFGH，要求矩形EFGH的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形ABCD的边AD上.为了设计面积最大的矩形EFGH，兴趣小组对矩形EFGH的面积与它的一边FG的长之间的关系进行研究．

具体研究过程如下，请补充完整．
(1)建立模型：
以FG的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，通过研究发现，抛物线满足函数关系y=−14x2+1(−2≤x≤2).设矩形EFGH的面积为S m2，FG的长为a m，则另一边HG的长为______ m(用含a的代数式表示)，得到S与a的关系式为：______ (0 (2)探究函数：
列出S与a的几组对应值：
a/m
…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
…
S/m2
…
0.49
0.94
1.29
1.50
1.52
1.31
0.82
…
在图3的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；
(3)解决问题：
结合函数图象得到，FG的长约为______ m时，矩形面积最大．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)上．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若点(x1,5)，(x2,−3)在抛物线上，求a的取值范围；
(3)若点(m,y1)，(m+1,y2)在抛物线上，对于任意的m≥3，都有|y2−y1|≥3，直接写出a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且BD=CE，EB的延长线交AD于点F．
(1)求∠AFE的度数；
(2)延长EF至点G，使FG=AF，连接CG交AD于点H.依题意补全图形，猜想线段CH与GH的数量关系，并证明．

28. (本小题7.0分)
对于⊙W和⊙W的弦PQ，以PQ为边的正方形为PQ关于⊙W的“关联正方形”.在平面直角坐标系xOy中，已知点T(m,0)，点M(m,−1)，以点T为圆心，TM的长为半径作⊙T，点N为⊙T上的任意一点(不与点M重合)．
(1)当m=0时，若直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，求t的取值范围；
(2)若点A在MN关于⊙T的“关联正方形”上，点B(−m+2,3)与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选：C．
由圆锥的展开图特点得出即可．
本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键．

2.【答案】A 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BED=∠B=55°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠1=180°−90°−55°=35°，
故选：A．
根据两直线平行，内错角相等和平角的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．

3.【答案】C 
【解析】解：根据数轴上右边的数总比左边的数大可知a ∵−1 ∴|b|<1，
所以B不正确；
∵−1 ∴0<−b<1，
∵2 ∴−b 所以C正确；
∵a<0，c>0，
∴ac<0，
所以D不正确．
故选：C．
根据数轴上三个点的位置判断所表示的数，然后结合选项进行分析．
本题主要考查了数轴的知识和实数的相关知识，本题难度不大，认真分析即可．

4.【答案】D 
【解析】解：A、最小旋转角度=360°3=120°；
B、最小旋转角度=360°4=90°；
C、最小旋转角度=360°5=72°；
D、最小旋转角度=360°6=60°；
故选：D．
求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．求出各图形的最小旋转角度是解题关键．

5.【答案】B 
【解析】解：∵3.62=12.96，
∴ 13精确到0.1的近似值是3.6．
故选：B．
直接利用已知得出平方后最接近13的数，即可得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．

6.【答案】D 
【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，随着m的增加，nm的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性，
故选：D．
利用频率估计概率求解即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

7.【答案】A 
【解析】解：依题意得：x−y=5y−12x=5，
故选：A．
根据“索比竿子长5尺，对折索子来量竿，却比竿子短5尺”，列出二元一次方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：①根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小，
∴反映到图象上应符合图4；
②根据题意可知，开始时y随x的增大而增大，在圆上部分y的值不变，最后y随x的增大而减小，
∴反映到图象上应符合图4；
③往一个圆柱形空杯中匀速倒水，y随x的增大而增大，中间一段时间，y的值不变，y的值不变，y随x的增大而减小，
∴反映到图象上应符合图4；
故选：D．
①根据货车进入隧道、货车完全进入入隧道以及货车开始出离开隧道三段时间判断即可；
②根据王大爷圆心，在圆上以及回家三段时间判断即可；
③往一个圆柱形空杯中匀速倒水，注满后停止一会以及匀速倒出杯中的水三段时间判断即可．
本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义．

9.【答案】x≥5 
【解析】解：式子 x−5在实数范围内有意义，则x−5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．

10.【答案】3(x+y)(x−y) 
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=3(x2−y2)=3(x+y)(x−y)，
故答案为：3(x+y)(x−y)  
11.【答案】360° 
【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°．
故答案为：360°
根据多边的外角和定理进行解答．
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．

12.【答案】SA+SB=SC 
【解析】解：根据勾股定理得SA，SB，SC之间的关系为SA+SB=SC，
故答案为：SA+SB=SC．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

13.【答案】2(答案不唯一) 
【解析】解：如图，

当x=m(m>0)时，A、B的坐标分别为(m,km)，(m,1m)，
∴km>1m，
∴k>1．
故答案为：2(答案不唯一)．
根据反比例函数的图象的特点即可得出答案．
本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键．

14.【答案】2 
【解析】解：原式=a2−2ab+b2a−b
=(a−b)2a−b
=a−b，
∵a−b=2，
∴原式=2，
故答案为：2．
根据分式的加法法则把原式化简，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．

15.【答案】错误  8月全部图书销售额和7月全部图书销售额没有确定 
【解析】解：虽然8月份教育类图书销售额占当月全部图书销售额的比例低于7月份，但在没有确定8月全部图书销售额和7月全部图书销售额的情况下，不能判断8月份教育类图书销售额比7月份减少了．
故答案为：错误；8月全部图书销售额和7月全部图书销售额没有确定．
根据“教育类图书销售额=当月全部图书销售额×当月教育类图书销售额所占比例”解答即可．
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．

16.【答案】9辆、2辆、9辆  11680 
【解析】解：设装运食品x车，药品y车，则装运生活用品(20−x−y)车，
根据题意得：6x+5y+4(20−x−y)=100，
∴y=20−2x，
∴20−x−y=20−x−(20−2x)=x．
∵每种物资至少装运1辆车，
∴x≥1y≥1，即x≥120−2x≥1，
∴解得：1≤x≤192，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为9．
设总运费为w元，则w=120×6x+160×5(20−2x)+100×4x，
∴w=−480x+16000．
∵−480<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=9时，w取得最小值，w的最小值为−480×9+16000=11680，此时y=20−2x=20−2×9=2，
∴总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是9辆、2辆、9辆，此时总运费为11680元．
故答案为：9辆、2辆、9辆，11680．
设装运食品x车，药品y车，则装运生活用品(20−x−y)车，根据装运的三种物资共100吨，可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出y=20−2x，结合每种物资至少装运1辆车，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可得出x的最大值，设总运费为w元，利用总运费=每吨所需运费×每辆汽车装载量×汽车辆数，可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式是解题的关键．

17.【答案】解：2sin30°+(−1)3− 8+(12)−1
=2×12+(−1)−2 2+2
=1+(−1)−2 2+2
=2−2 2． 
【解析】首先计算乘方、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．

18.【答案】解：去分母得：x2+x+x−1=x2−1
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解． 
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．

19.【答案】AP  CQ  三角形的中位线平行于第三边  BQ  PQ  两组对边分别相等的四边形是平行四边形  平行四边形的对边平行 
【解析】解：作法一：如图：PQ即为所求；

证明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴PQ//l(三角形的中位线平行于第三边)，
故答案为：AP，CQ，三角形的中位线平行于第三边；
作法二：如图：PQ即为所求；

证明：连接BQ．
∵AP=BQ，AB=PQ，
∴四边形APQB是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
∴PQ//l(平行四边形的对边平行)，
故答案为：BQ，PQ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．
作法一：根据“三角形的中位线的平行于第三边”进行作图和证明；
作法二：根据“平行四边形的对边平行”进行作图和证明．
本题考查了复杂作图，掌握平行线的判定方法是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：∵Δ=(−2m)2−4(m2−4)
=16>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：当m=0时，方程化为x2−4=0，
解得x1=2，x2=−2． 
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ>0，从而利用根的判别式的意义得到结论；
(2)m可以取0，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

21.【答案】(1)证明：∵CE//BD，CE=DB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，D是AC中点，
∴BD=DC，
∴四边形BECD是菱形；
(2)解：如图，连接AE，
∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，AB=2，
∴AC=2AB=4，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE，
∵AD=CD，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=30°，
∴∠CEA=90°，
∵CE=CD=2，
∴AE= AC2−CE2= 42−22=2 3． 
【解析】(1)先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD=CD，即可得结论；
(2)由直角三角形的性质可得AC=2AB=4，证明△CDE是等边三角形，再利用勾股定理即可得结果．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

22.【答案】②  A  A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀 
【解析】解：(1)根据抽取的样木最具有代表性可知，以下操作正确的是②；
故答案为：②；
(2)A品种花生仁长度的平均数a=12×5+13×10+14×6+15×7+16×230=13.7，
B品种花生仁的长度的第15个和第16个数据都是17和18，则中位数为b=17+182=17.5，
A品种花生仁长度的众数为c=13，
答：a，b，c的值分别为13.7，17.5，13；
(3)根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购A品种花生仁，理由：A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀．
故答案为：A，A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀．
(1)根据收集数据的方法即可求解；
(2)根据平均数、中位数和众数的定义可得a、b、c的值；
(3)从方差的意义即可得答案．
本题考查中位数、众数、平均数以及方差，掌握平均数、中位数、众数和方差的意义和计算方法是正确解答的前提．

23.【答案】解：(1)一次函数y=kx+b的图象经过点(2,0)，(3,1)．
把点(2,0)，(3,1)代入y=kx+b，
可得方程组：3k+b=12k+b=0，
解得：k=1b=−2，
∴这个一次函数的表达式为：y=x−2．

(2)当x>m时，对于x的每一个值，正比例函数y=mx的值大于一次函数y=kx+b的值，
∴mx>x−2，
∴(m−1)x>−2．
①当m=1时，y=mx=x．
∵x>x−2，
∴当x>m时，对于x的每一个值，mx>x−2成立．

②当m−1<0，m<1．
∵mx>x−2，
∴(m−1)x>−2，
∴x<21−m，
∴不能满足当x>m时，对于x的每一个值，正比例函数y=mx的值大于一次函数y=kx+b的值．

③当m−1>0，m>1．
当x=m时，
mx−(x−2)=m2−m+2=(m−12)2+74>0，
∴mx>x−2．
如图x>m时，mx>x−2．
∴m的取值范围时：m≥1． 
【解析】(1)根据待定系数法得出一次函数的解析式即可；
(2)要求m的取值范围，需分类讨论，画出图形，有助于理解题意．
m=1时，两直线平行，对于x的每一个值，mx>x−2成立．
m<1时，x>m，不能满足mx>x−2．
m>1时，x>m时，mx>x−2．
此题考查了待定系数法，分类讨论，数形结合等知识．

24.【答案】(1)证明：连接OC，则OC=OA=OB，
∴∠A=∠OCA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵点D是BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD//AC，
∴∠BOD=∠A=∠OCA，
∵∠BCE=∠BOD，
∴∠BCE=∠OCA，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=∠OCB+∠OCA=∠ACB=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
(2)解：设OC=OA=OB=2m，
∵OCOE=sinE=23，
∴OE=3m，AE=5m，
∵OF//AC，AC=5，
∴△EOF∽△EAC，
∴OFAC=OEAE=3m5m=35，
∴OF=35AC=35×5=3，
∴OB=OA，DB=DC，
∴OD=12AC=12×5=52，
∴DF=OF−OD=3−52=12，
∴DF的长为12． 
【解析】(1)连接OC，则∠A=∠OCA，由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，由点D是BC的中点，证明OD⊥BC，则OD//AC，可推导出∠BCE∠OCA，则∠OCE=∠ACB=90°，即可证明CE是⊙O的切线；
(2)设OC=OA=OB=2m，由OCOE=sinE=23，得OE=3m，AE=5m，再证明△EOF∽△EAC，得OFAC=OEAE=35，则OF=35AC=3，根据三角形的中位线定理得OD=12AC=52，即可求得DF=OF−OD=12．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

25.【答案】(−116a2+1)  S=−116a3+a  2.3 
【解析】解：(1)∵矩形EFGH的面积为Sm2，FG的长为a m，
∴OG=12a m，
当x=12am时，y=−116a2+1
∴HG=(−116a2+1)m，
∴S=a(−116a2+1)=−116a3+a，
故答案为：(−116a2+1)，S=−116a3+a；
(2)如图：
(3)FG的长约为2.3m时，矩形面积最大，
故答案为：2.3．
(1)先求出OG的长，再当x=12am时，y=−116a2+1，即可求HG的长，利用矩形的面积公式求S与a的关系即可；
(2)描点画出函数的图象；
(3)通过观察图象求出HG的长．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，描点法画函数图象，根据函数图象获取信息的能力是解题的关键．

26.【答案】解：(1)∵点(4,3)在抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)上，
∴16a+4b+3=3，
∴b=−4a，
∴x=−b2a=−−4a2a=2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2；

(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2，b=−4a，
∴y=4a+2b+3=4a−8a+3=3−4a，
∴抛物线顶点坐标为(2,3−4a)，
∵点(x1,5)，(x2,−3)在抛物线上，
∴当a>0时，3−4a≤−3，
解得a≥32；
当a<0时，3−4a≥5，
解得a≤−12．
综上所述，a≥32或a≤−12．

(3)当x=m时，y1=am2−4am+3，
当x=m+1时，y2=a(m+1)2−4a(m+1)+3=am2−2am−3a+3，
∴|y2−y1|=|(am2−2am−3a+3)−(am2−4am+3)|=|a(2m−3)|．
∵m≥3，
∴2m−3≥3．
∴当a>0时，|y2−y1|=|a(2m−3)|=a(2m−3)≥3．
∴a≥1．
∴当a<0时，|y2−y1|=|a(2m−3)|=−a(2m−3)≥3．
∴a≤−1．
∴a≥1或a≤−1． 
【解析】(1)根据点(4,3)在抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)上，求出b=−4a，代入对称轴公式即可求出对称轴；
(2)先确定抛物线顶点坐标为(2,3−4a)，然后分a>0和a<0两种情况分别讨论即可得出结论；
(3)先计算出|y2−y1|=|a(2m−3)|，再由m≥3确定2m−3≥3，然后分a>0和a<0两种情况分别讨论即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用二次函数的性质解决问题是解题的关键．

27.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°．
∴∠ABD=∠BCE=120°．
∵CE=BD，
∴△ABD≌△BCE(SAS)．
∴∠D=∠E．
∵∠DBF=∠CBE，
∴∠D+∠DBF=∠E+∠CBE．
即∠AFE=∠ACB=60°．
(2)补全图形，如图：

猜想CH=GH，理由如下：
在EF上截取FM=FA，连接AM，CM，
∵∠AFE=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴∠FAM=∠AFM=60°，AM=AF=MF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠BAC−∠MAB=∠FAM−∠MAB．
即∠CAM=∠BAF．
∴△ACM≌△ABF(SAS)．
∴∠AMC=∠AFE=60°．
∴∠CMF=∠AMC+∠AMB=120°．
∴∠CMF+∠AFE=180°．
∴CM//HF．
∴GHCH=GFFM．
∵FM=AF，AF=GF，
∴FM=GF．
∴CH=GH． 
【解析】(1)证明△ABD≌△BCE得出∠D=∠E，再利用三角形外角的性质得出∠AFE=∠ACB=60°；
(2)先根据题意补全图形，在EF上截取FM=FA，连接AM，CM，证明△ACM≌△ABF(SAS)，得出，∠AMC=∠AFE=60°，再证明CM//HF，最后利用平行线分线段成比例定理得出CH=GH．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键．

28.【答案】解：(1)如图：

MN关于⊙T的“关联正方形”上，的所有点在以C(−1,0)和点D(1,0)为圆心， 2为半径，以E(−1,1)，F(1,−1)和O(0,0)，1为半径的五个圆上及圆内，由直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，
①当直线与⊙C相切时，设切点为G，交x轴于点H，交y轴于点I，
∵CG= 2，
∴CH=2，
∴OH=OI=3，此时t=3，
当直线与⊙F相切时，设切点为J，交y轴于K，
∵OJ=1+ 2，
∴OK= 2OJ= 2+2，此时t=− 2−2，
综上所述，− 2−2≤t≤3，
(3)如图，当BBA1=BA2 时，d最小，即点B在点T正上方时，

故有m=−m+2，解得m=1，
如图：

由上可知：m=1，d取最小值，
∴MB=4，MS=1，
由勾股定理得：BS= 12+42= 17，
∴d= 17+1，
故m=1，d= 17+1， 
【解析】(1)根据题意，画出符合题意的图，再利用切线的性质求出线段长度即可．
(2)圆外一点与圆上一点的距离，当三点共线时，有最大值和最小值，
本题考查了圆的切线，有关计算，解题的关键是画出图形，灵活运用圆的性质，