2022-2023学年广东省惠州市惠城区光正实验学校八年级（下）期中数学试卷(含解析 )

2022-2023学年广东省惠州市惠城区光正实验学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果一个三角形的三边长分别为、、则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在一个直角三角形中，若斜边长为，一条直角边的长为，则这个三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知中，，，所对的边分别为，，，不能判定是直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ：：：： D.

6.  在▱中如图，连接，已知，，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行，一组对角相等

8.  如图，菱形中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知四边形是平行四边形，，相交于点，下列结论错误的是(    )

A. ，
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当且时，四边形是正方形

10.  在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论：其中正确的结论有(    )
是等边三角形；
是等腰三角形；
；
；
．

A.  个 B. 个 C.  个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  与最简二次根式是同类二次根式，则的值为          ．

12.  要使有意义，则的取值范围为        ．

13.  一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是          ．

14.  如图，正方形网格中，每一小格的边长为网格内有，则的度数是______．

15.  如图，矩形中，，，点是边上一个动点，且不与点，重合，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，连接，则周长的最小值为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.                      

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，求证：．

18.  本小题分
如图，在中，，，是上一点，，．
求证：；
求长．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

20.  本小题分
在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
问是否为从村庄到河边的最近路？即问：与是否垂直？请通过计算加以说明；
求原来的路线的长．
 

21.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

22.  本小题分
在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
请用以上两种方法化简：；
计算：；
若，求的值．

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，、两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．若设运动时间为
直接写出：______，______；用含的式子表示
当为何值时，四边形为平行四边形？
若点与点不重合，且，当为何值时，是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．不是二次根式，不符合题意；
B.不是二次根式，不符合题意；
C.是二次根式，符合题意；
D.不是二次根式，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的定义解答即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：三角形的三边长分别为、、，
，
解得，，
所以，，，
．
故选A．
由于三角形的三边长分别为、、，根据三角形的三边关系，，即，，所以，根据的取值范围，再对代数式进行化简．
化简，要根据二次根式的性质，先将化为，然后根据的符号，去绝对值符号进行化简．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，算术平方根，立方根，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加法，算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由勾股定理知，另一直角边的长度为：．
则这个三角形的面积为：．
故选：．
首先利用勾股定理求得该直角三角形的另一直角边的长度；然后由直角三角形的面积公式作答．
本题主要考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
C、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，
，
能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：．
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键．
根据平行线的性质可求得，即可求出．
【解答】
解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．
【解答】
解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
；
故选：．
由菱形的性质得出，，求出，即可得出．
此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、根据平行四边形的性质得到，，该结论正确，此选项不符合题意；
B、当时，四边形还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意；
D、当且时，根据对角线相等可判断四边形是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形是菱形，故四边形是正方形，该结论正确，此选项不符合题意；
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
矩形中：，
是等边三角形，是等边三角形，故正确；
，，
，
是等腰三角形，故正确；
，
，，故错误；
，故错误；
，
，故正确；
故选：．
判断出是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再判断出，是等边三角形，可判断；根据等边三角形的性质求出，再求出，可判断，由直角三角形的性质可得，可判断，由等腰三角形性质求出，再根据，可判断；由面积公式可得可判断；即可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为．
先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式得到，然后解方程即可．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
 

12.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

13.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了的勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边长或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：设第三边为，
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得：
，
；
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得：
，
；
第三边的长为或．
故答案为：或．  

14.【答案】 

【解析】解：

延长到，使，连接，
，
同理，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
延长到，使，连接，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，再得出答案即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，能求出、、的长度是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由折叠得，，
的周长，
连接，如图：

，即，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
的最小值，
周长的最小值．
故答案为：．
由折叠得，，而的周长，连接，根据两点之间线段最短可得的最小值，即可得到答案．
本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质．
 

16.【答案】解：原式
；
原式
 
． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
． 

【解析】点拨
根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
当，时，
原式
． 

【解析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：是，
理由是：在中，
，
，
，
，
所以是从村庄到河边的最近路；
设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
，
解得，
答：原来的路线的长为千米． 

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，且，
，
，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
． 

【解析】根据菱形的性质先证明，进而得到且，证得四边形是平行四边形，再根据是直角证得四边形是矩形；
先根据勾股定理求出，得到的长，利用，求出的长．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟知菱形的性质并灵活运用，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
 

22.【答案】解：方法一：；
方法二：；
由题意可得，

；
，
，
，
，
． 

【解析】根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案．
本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．
 

23.【答案】解：由运动知，，，
，，
，
，
故答案为，；
四边形是平行四边形，而，
，
由知，，，
，
，
即：时，四边形是平行四边形；

由知．，，，，
是等腰三角形，且，
当时，点在的垂直平分线上，
，
，
．
当时，如图，

过点作于，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，

，
，
点在边上，不和重合，
，
，
此种情况符合题意，
即：或秒时，是等腰三角形． 

【解析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解的关键的关键是用建立方程求解，解的关键是分情况讨论，是一道综合的题目．
由运动速度表示出，，即可得出结论；
先判断出，再建立方程求解即可得出结论；
分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意．