2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若，满足，且为纯虚数，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列导数运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  (    )A.  B.  C.  D. 4.  有一散点图如图所示，在个数据中去掉后，下列说法正确的是(    )A. 相关系数变小
B. 残差平方和变小
C. 变量，负相关
D. 解释变量与预报变量的相关性变弱5.  展开式中项的系数为，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于”时，应假设(    )A. 四个内角都大于 B. 四个内角都不大于
C. 四个内角至多有一个大于 D. 四个内角至多有两个大于7.  随机变量的分布列如表，若，则(    ) A.  B.  C.  D. 8.  支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放支，则不同的方法有种．(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种9.  数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是(    )
 
A.  B.  C.  D. 10.  如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是(    )A. 函数在上的图象越来越陡
B. 不是函数的极值点
C. 在处切线的斜率小于零
D. 在区间上单调递增
 11.  某校从名女生和名男生中选人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为(    )A.  B.  C.  D. 12.  若函数存在极值，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  用数学归纳法证明：能被整除的过程中，当时，式子应变形为______．14.  已知随机变量服从正态分布，若，则 ______ ．15.  由下列事实：

，
，
，
可得到合理的猜想是______ ．16.  一组成对数据，，，，的样本中心点为，由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使______ 最小．
总偏差平方和
残差平方和
回归平方和 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象某调查机构随机抽取人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表： 年龄岁抽取人数有意向购买的人数若从年龄在的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
若以年龄岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表填写到答题卡上，并判断是否有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？  年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数   无意向购买冰墩墩的人数   总计   参考数据：，其中．  18.  本小题分
已知函数．
若函数在点处的切线倾斜角为，求的值；
若在上单调递增，求的最大值．19.  本小题分
某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了到月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见表：月份昼夜温差就诊人数个该院确定的研究方案是：先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的组数据进行检验．
求选取的组数据恰好是不相邻的两个月的概率；
己知选取的是月与月的两组数据．
Ⅰ请根据到月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；
Ⅱ若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想？
参考公式和数据：，，
，20.  本小题分
在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答条件：展开式中前三项的二项式系数之和为；条件：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于；问题：已知二项式，若____，求：
求；
展开式中的常数项．21.  本小题分
某运动员射击一次所得环数的分布列如下： 现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．
求该运动员两次命中的环数相同的概率；
求的分布列和数学期望．22.  本小题分
已知函数．
当时，求证：；
证明：在上单调递减；
求证：当时，方程有且仅有个实数根．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
若为纯虚数，
则，解得：．
故选：．
根据复数的运算表示出，根据纯虚数的定义求出的值即可．
本题考查了复数的运算，考查复数的有关定义，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，，
，．
故选：．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：表示的几何意义是：
以为圆心，为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积

故选A
根据积分所表示的几何意义是以为圆心，为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．
本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：对于，去掉后，相关性变强，相关系数变大，故A错误；
对于，残差平方和变小，故B正确；
对于，散点的分布是从左下到右上，故变量，正相关，故C错误；
对于，解释变量与预报变量的相关性变强，故D错误．
故选：．
根据散点图的分布以及相关性的相关定义，结合选项即可逐一判断．
本题考查散点图的分布以及相关性的相关定义，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：展开式的通项公式为，
令，得项的系数为，
依题意，得．
故选：．
在展开式的通项公式中，令得项的系数，令其等于即可求出的值．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，属于基础题．
把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，由此得到答案．
【解答】证明：用反证法证明命题：“平面四边形四个内角中至少有一个不大于”时，应假设命题的否定成立，
而命题：“平面四边形四个内角中至少有一个不大于”的否定是：假设四个内角都大于，
故选：．  7.【答案】 【解析】解：由题可知，，，
，解得，，
．
故选：．
由分布列的性质可知，根据期望的计算公式得，于是可求得，，最后用方差的计算公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差的计算，考查学生的运算能力，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：如果两个笔筒放置笔的数目为，，则共有种放法；
如果两个笔筒放置笔的数目为，，则共有种放法；
故共有种．
故选：．
就两个笔筒分别放置，；，分类讨论后可求不同放法的种数．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：根据题意，在次移动中，设变量为质点向右运动的次数，则，
若移动次后，质点位于的位置，则质点向右移动次，向左移动次，
则，
即质点位于的位置的概率．
故选：．
根据题意，在次移动中，设变量为质点向右运动的次数，分析可得，结合二项分布的性质分析可得答案．
本题考查二项分布的性质，注意“质点位于的位置”的条件，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由的图象可知，导函数在上单调递增，
所以函数在上的图象越来越陡，故选项A正确；
因为当时，在该点的左、右两侧的导函数值均为正，
所以不是函数的极值点，故选项B正确；
因为，
所以在处切线的斜率大于零，故选项 C错误；
在区间上，，
所以函数在上单调递增，故选项D正确．
故选：．
由题意，根据导函数的图象及导函数与原函数之间的关系，对选项进行逐个分析，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数单调性和极值，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．
 11.【答案】 【解析】解：女生甲被选中的情况下，基本事件总数，
在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，
则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为．
故选：．
先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法求解即可．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：函数的定义域为，，
令，则，而当时，不符合题意，
．
故选：．
求函数的导数，令导数为，可得，由此即可得解．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力及转化思想，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：用数学归纳法证明：能被整除的过程中，当时，式子应变形为：，
由于假设能够被整除，而能够被整除，因此能够被整除．
故答案为：．
用数学归纳法证明：能被整除的过程中，当时，式子应变形为：，
本题考查了数学归纳法、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：由条件可知，，正态分布密度曲线关于直线对称，根据对称性可知，
．
故答案为：．
根据正态密度曲线的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由题意，当时，有；
当时，有；
当时，有；
当时，有；
所以得到猜想：当时，有；
故答案为：．
根据所给信息，可知各个等式的左边两因式中，一项为，另一项每一项的次数均为，而且按照字母的降幂排列，故可得答案．
本题的考点是归纳推理，主要考查信息的处理，关键是根据所给信息，可知两因式中，一项为，另一项每一项的次数均为，而且按照字母的降幂排列．
 16.【答案】 【解析】解：一组成对数据，，，，，
由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使残差平方和最小．
故答案为：．
直接由最小二乘法求线性回归方程的意义得结论．
本题考查线性回归方程，考查最小二乘法求线性回归方程的意义，是基础题．
 17.【答案】解：因为年龄在之间抽取的人数为，有意向购买的人数为，
从人中抽取人的所有基本事件为共种，其中两人中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有种，
故所求概率为：．
由调查表可得：  年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数无意向购买冰墩墩的人数总计，
所以有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关． 【解析】利用古典概型的概率公式求解．
根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
 18.【答案】解；已知，函数定义域为，
可得，
所以，
因为函数在点处的切线倾斜角为，
所以，
解得；
由知，
若在上单调递增，
此时在上恒成立．
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值，
则，
故的最大值为． 【解析】由题意，对函数进行求导，得到，结合函数在点处的切线倾斜角，列出等式求解即可；
将在上单调递增，转化成在上恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进行即可求出的最大值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 19.【答案】解：设“抽到相邻两个月的数据”为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，
所有结果分别为，，，，，，，，，，，，，，，
其中，抽到相邻两个月的数据的情况有种，
所以，则．
由数据求得，由公式求得，
所以，
所以关于的线性回归方程为．
当时，，所以；
当时，，所以；
所以，该协会所得线性回归方程是理想的． 【解析】设“抽到相邻两个月的数据”为事件，然后利用古典概型求出，再根据对立事件的概率求出即可得解；
根据公式分别求出这两个系数即可得到线性回归方程；把和分别代入线性回归方程，求出，再比较与的大小关系即可得解．
本题考查古典概型、对立事件的概率、线性回归方程的求法和误差分析，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．
 20.【答案】解：选：由题意得，
即，
解得或负值舍去，
选：令，可得展开式中所有项的系数之和为，
由，即，
解得；
展开式的通项为，
令，解得，
则常数项为． 【解析】如选，根据二项式系数的前三项的和，列式求；若选，根据二项式系数的和，以及所有项系数的和，列式求；
根据二项展开式的通项公式求常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项式系数的性质，属于中档题．
 21.【答案】解：两次都命中环的概率为，
两次都命中环的概率为，
两次都命中环的概率为，
设该运动员两次命中的环数相同的概率为，
．
的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为： ． 【解析】先计算两次命中环，环，环的概率，然后可得结果．
列出的所有可能结果，并分别计算所对应的概率，然后列出分布列，并依据数学期望的公式，可得结果．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，属基础题．
 22.【答案】解：证明：令，，
则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，
即当时，；
证明：，
则，
当时，，则在上单调递减；
证明：由题意得，，
则，
由得在上单调递减，
，，
由零点存在性定理得存在唯一实数，使得，
由，得，即，则在上单调递增，
由，得，即，则在上单调递减，
在处取得极大值也是最大值，
又，，，
在和上各有一个零点，
即当时，方程有且仅有个实数根． 【解析】根据题意得，，，利用导数的意义，即可证明结论；
求出，利用导数的意义，即可证明结论；
令，由得在上单调递减，求出单调性，结合零点存在性定理，即可证明结论．
本题考查了函数的零点、利用导数求函数的最极值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．