2022-2023学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “一个数列是常数列”是“这个数列是公比为的等比数列”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又非必要条件

2.  直线：和直线：互相垂直，则实数的值为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

3.  直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是(    )

A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心
C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点

4.  在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.  与的等差中项是______ ．

6.  抛物线的准线方程是______ ．

7.  直线的倾斜角是______ ．

8.  已知函数，则 ______ ．

9.  空间向量的单位向量的坐标是______ ．

10.  已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是______ ．

11.  过点且与直线平行的直线方程是______ ．

12.  直线与直线的夹角是______用反三角表示．

13.  圆的圆心到直线的距离是______ ．

14.  在等比数列中，其前项和为，若，，则 ______ ．

15.  若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的标准方程为______ ．

16.  已知空间三点，，，则以为一组邻边的平行四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，．
若，求的值；
若，求实数的值．

18.  本小题分
已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
当时，求的长；
当弦被点平分时，写出直线的方程．

19.  本小题分
已知数列的前项和为，且．
求证：数列是等比数列；
若数列，求数列的前项和．

20.  本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．

21.  本小题分
椭圆：．
求椭圆的离心率；
若、分别是椭圆的两个焦点，是上的一点，且，求点的坐标；
如果：被椭圆截得的弦长，求该直线的方程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如果一个数列是常数列，那么这个数列不一定是等比数列，如常数列：，，，，不是等比数列，充分性不成立；
如果一个数列是公比为的等比数列，那么这个数列是常数列，必要性成立；
是必要不充分条件．
故选：．
分别判断充分性与必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由于直线：和直线：互相垂直，
故，
故．
故选：．
直接利用直线垂直的充要条件求出的值．
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，一元一次方程的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：直线的倾斜角为，
直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线，
则直线的方程为，即轴，
圆，即圆心为，
故直线与圆的位置关系是直线过圆心．
故选：．
先求出直线的方程，再结合圆的方程，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，在区间上，若，
在函数上任意一点切线的斜率都大于，
分析选项，符合这个特点．
故选：．
根据题意，由导数的几何意义分析可得在函数上任意一点切线的斜率都大于，分析选项即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数导数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：与的等差中项是．
故答案为：．
根据等差中项的定义计算即可．
本题考查了等差中项的定义与计算问题，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线的准线方程是：．
故答案为：．
利用抛物线的标准方程，直接写出准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，
设直线的倾斜角，
则，所以．
故答案为：．
化直线方程的一般式为斜截式，利用倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．
本题考查了直线的一般式方程，考查了一般式化斜截式，考查了斜率是倾斜角的正切值，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数的导数为，
故答案为：
求函数的导数，即可得到结论．
本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
的单位向量的坐标为：．
故答案为：．
得出，从而得出的单位向量坐标为：，然后进行向量坐标的数乘运算即可．
本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：是焦点在轴上的双曲线，
，，即；
故答案为：．
根据双曲线标准方程的特点求解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，所求的直线与直线平行，
可设为，又直线过点，则，解得，
因此过点且与直线平行的直线方程是．
故答案为：．
由所求的直线与直线平行，设出直线的方程，再将点代入直线方程，求出参数，可得答案．
本题考查了两直线的平行关系，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为直线的斜率为，
直线的斜率为，
设两条直线的夹角为，
则，
因为，
所以．
则直线与直线的夹角是．
故答案为：．
分别求出两条直线的斜率，然后利用夹角公式求解即可．
本题考查了直线方程的理解与应用，直线斜率的求解，两条直线夹角公式的运用以及反三角函数的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆的圆心，
圆的圆心到直线的距离是：．
故答案为：．
求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，，即，变形可得，
解可得：；
又由，即，解可得，
故．
故答案为：．
根据题意，设等比数列的公比为，分析可得即，变形可得的值，进而求出的值，计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点为，
即有双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，
则，
由渐近线方程为
则有有，
又，
解得，，
则双曲线的方程为．
故答案为：．
求出抛物线的焦点，即有，求得渐近线方程即有，结合，，的关系，即可解得，，进而得到双曲线方程．
本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知得，，
故，同理，
，
故，，
所以所求四边形的面积为．
故答案为：．
求出的模长和夹角的正弦值，套用三角形的面积公式求解．
本题考查空间向量坐标条件下数量积的计算，模长和夹角的计算等，属于中档题．
 

17.【答案】解：由已知可得，，
．
，，
，存在实数使得，
，，，联立解得． 

【解析】利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解．
本题空间向量夹角公式以及向量的共线定理，属于中档题．
 

18.【答案】解：当时，直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离为，则，
．
当弦被点平分时，，
，
，
直线的方程为，即． 

【解析】本题考查直线方程，考查两条直线垂直的条件，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
当时，求出直线的方程，圆心到直线的距离，即可求的长；
当弦被点平分时，，求出直线的斜率，即可写出直线的方程．
 

19.【答案】证明：由题意，当时，，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，
可得，
整理，得，
两边同时加，
可得，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由可得，，
则，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
数列的前项和为． 

【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导转化即可证得数列是以为首项，为公比的等比数列；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可推导出数列的前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论，整体思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列的通项公式及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

20.【答案】解：因为，所以，
由得或，
故函数的单调递增区间为，；
由得，
故函数的单调递减区间为．
令得，
由可知，在上有极小值，极大值，
而，，
所以在上的最大值为，最小值为． 

【解析】求导数，利用导数的正负，即可求的单调区间；
由可知，在上有极小值，极大值，而，，即可求在上的最大值和最小值．
本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由椭圆的方程：，
可得，，，
所以离心率；
由可得，，设，
则，即，
可得，而，
可得，可得，，
所以或或或；
设直线与椭圆的交点分别为，，
联立，整理可得：，
，即，且，，
所以弦长，
解得：，
所以直线的方程为． 

【解析】由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，再求离心率的值；
由可得左右焦点的坐标，设的坐标，代入椭圆的方程，可得点的横纵坐标的关系，再由，可得的横纵坐标的关系，进而求出的坐标；
联立直线与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，求出弦长的表达式，由题意可得的值，进而求出直线的方程．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．