2022-2023学年北京市顺义区高二(下)期中数学试卷(含解析)
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一、单选题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 计算( )
A. B. C. D.
2. 函数的导数是( )
A. B. C. D.
3. 已知数列满足,,则( )
A. B. C. D.
4. 乘积展开后的项数有( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
5. 某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试,其中,语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 设等比数列的公比,前项和为,则( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象如图所示,那么下列各式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如果、、、、成等比数列,那么( )
A. , B. ,
C. , D. ,
9. 已知函数,下列说法中正确的是( )
A. 既是的一个零点,又是的一个极小值点
B. 既是的一个零点,又是的一个极大值点
C. 是的一个零点,不是的极值点
D. 既不是的一个零点,也不是的极值点.
10. 在正整数数列中,由开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取;第二次取个连续的偶数,;第三次取个连续奇数,,;第四次取个连续的偶数,,,;第五次取个连续的奇数,,,,;按此规律取下去,得到一个数列,,,,,,,,,,,则这个数列中第个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
11. 在的展开式中,常数项为______用数字作答
12. 一质点沿直线运动,位移单位:与时间单位:之间的关系为,则质点在时的瞬时速度是______ 单位:.
13. ______ 用数字作答
14. 能说明“若函数在上的最大值为,则函数在上单调递减”为假命题的一个函数是______ .
15. 对函数,满足的实数称为的不动点设,其中且有下列四个结论:
当时,函数仅有一个不动点;
当时,函数仅有一个不动点;
当时函数有两个不动点;
当时函数有两个不动点.
其中,所有正确结论的序号是______ .
三、解答题(本大题共6小题,共85.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. 本小题分
已知满足.
Ⅰ求实数;
Ⅱ求,.
17. 本小题分
已知为等差数列,且,.
Ⅰ求的通项公式;
Ⅱ若满足,求数列的前项和公式.
18. 本小题分
已知函数在点处的切线的方程为.
Ⅰ求,的值;
Ⅱ求函数的极值.
19. 本小题分
数列的前项和为,且,,,,,.
Ⅰ求,,的值;
Ⅱ求的通项公式;
Ⅲ设,求的表达式.
20. 本小题分
已知函数,.
Ⅰ求的单调区间;
Ⅱ若有两个零点,求的取值范围.
21. 本小题分
已知无穷数列满足.
Ⅰ若对于任意,有.
当时,求,;
求证:“”是“,,,,为等差数列”的充分不必要条件.
Ⅱ若,对于任意,有,求证:数列不含等于零的项.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:.
故选:.
根据阶乘公式列式计算即可.
本题考查阶乘的计算,是基础题.
2.【答案】
【解析】解:,
,
故选:
根据导数的运算公式即可得到结论.
本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见函数的导数公式,比较基础.
3.【答案】
【解析】解:在数列中,由,,
可知数列是公差为的等差数列,
则.
故选:.
由已知可得数列是公差为的等差数列,再由等差数列的通项公式得答案.
本题考查数列递推式,考查等差数列的通项公式,是基础题.
4.【答案】
【解析】解:依题意从第一个括号中选一个字母有种方法,从第二个括号中选一个字母有种方法,
按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项.
故选:.
根据分步乘法计数原理计算即可.
本题考查排列组合的应用,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试,
若语文、数学这门课程同时入选,则只需从剩余门课程中选择门即可,
故不同选法共有种.
故选:.
根据题意可知,若语文、数学这门课程同时入选,则只需从剩余门课程中选择门即可,结合组合的知识,求解即可.
本题考查排列组合的应用,属于基础题.
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,属于基础题.
根据等比数列的性质,借助公比表示出和之间的关系,易得与间的关系,然后二者相除进而求得答案.
【解答】
解:由于,
;
故选:.
7.【答案】
【解析】解:结合图像,在单调递减,
故,且递增,
故,
故选:.
结合函数的图像以及导数的单调性判断即可.
本题考查了函数的单调性问题,考查数形结合思想,是基础题.
8.【答案】
【解析】解:由、、、、成等比数列,
得到,
解得:或,
又,,
则,.
故选:.
根据等边数列的性质,由已知的数列得到相邻三项,中间一项的平方等于其他两项的积,求出的值及的值.
此题考查了等边数列的性质,属于基础题.学生做题时,要根据完全平方数大于判定出小于,从而把不合题意得值舍去.
9.【答案】
【解析】解:已知,函数定义域为,
可得,
易知函数和在上都是增函数,
所以在上是增函数,
又,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以当时,取到极小值,没有极大值,
因为,
所以为函数的零点,
综上,既是的一个零点,又是的一个极小值点.
故选:.
由题意,对函数进行求导,利用导数得到的单调性,再结合特殊点对选项进行判断即可.
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查了逻辑推理和运算能力.
10.【答案】
【解析】解:由题意可得:奇数次取奇数个奇数,偶数次取偶数个偶数,
前次共取了个数,且第次的最后一个数为,
当时,,故到第次取时取了个奇数,且前次共取了个数,即第个数为,
时,依次为,,,,,,,,
第个数为.
故选:.
由题意找出取数的规律为:奇数次取奇数个奇数,偶数次取偶数个偶数,前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到,且第次的最后一个数为,据此即可求解.
本题主要考查了归纳推理,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:.
令得,.
常数项为.
故答案为:.
求出通项,并令的指数为零即可.
本题考查二项式展开式的应用.属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:,
则,
当时,.
故答案为:.
根据已知条件,结合导数的几何意义,即可求解.
本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
13.【答案】
【解析】解:.
故答案为:.
根据组合数及组合数公式,计算即可.
本题考查组合数及组合数公式,属于基础题.
14.【答案】答案不唯一
【解析】解:例如函数在上先减后增,在处取得最大值.
故答案为:答案不唯一.
由已知结合基本初等函数的性质即可判断.
本题主要考查了函数的单调性与函数最值取得条件的判断,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:令,得,即,
所以,
令,
,
令得,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以,
当时,;时,,
当,即时,函数与只有一个交点,
所以方程只有一个根,
所以方程只有一个根,
所以函数只有一个不动点,故错误;
当,即时,函数与只有一个交点,
所以方程只有一个根,
所以方程只有一个根,
所以函数只有一个不动点,故正确;
当,即时,函数与有两个交点,
所以方程有两个根,
所以方程有两个根,
所以函数有两个不动点,
当,即时,函数与没有交点,
所以方程没有根,
所以方程没有个根,
所以函数没有不动点,
所以当时,可能有两个不动点,也可能没有不动点,故错误;
当时函数可能有两个不动点,也可能没有不动点,故错误,
故答案为:.
令,得,即,则,令,求导分析单调性,极值,则与交点个数为函数不动点个数,即可得出答案.
本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.
16.【答案】解:Ⅰ满足,
通项公式为,
,
实数.
Ⅱ根据通项公式为,
可得当时,,当时,.
【解析】Ⅰ由题意,根据二项展开式的通项公式,求得的值.
Ⅱ由题意,根据二项展开式的通项公式,求得,的值.
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.
17.【答案】解:Ⅰ为等差数列,且,.
,,
;
的通项公式;
Ⅱ,
.
【解析】Ⅰ求得公差,可求的通项公式;
Ⅱ由,可求数列的前项和公式.
本题考查求数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的前项和,属基础题.
18.【答案】解:Ⅰ函数,,
,
函数在点处的切线的方程为,
,,
解得,.
Ⅱ由可得:,
,
令,
解得,
时,,函数单调递增;时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.
时,函数取得极大值,;时,函数取得极小值,.
【解析】Ⅰ函数,,利用导数运算法则可得,根据函数在点处的切线的方程为,可得,,解得,.
Ⅱ由可得:,,利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论.
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、切线方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19.【答案】解:Ⅰ由,,得,即;
,则;
,则;
Ⅱ由,得,
,得,
由Ⅰ得,,不适合上式,
数列从第二项起构成以为公比的等比数列,
则的通项公式;
Ⅲ数列是以为首项,以为公比的等比数列,
则.
【解析】Ⅰ由已知结合数列递推式求,,的值;
Ⅱ由数列递推式可得数列从第二项起构成以为公比的等比数列,则的通项公式可求;
Ⅲ数列是以为首项,以为公比的等比数列,再由等比数列的求和公式求解.
本题考查数列递推式,考查等比数列的通项公式与前项和,考查运算求解能力,是中档题.
20.【答案】解:Ⅰ已知,,函数定义域为,
可得,
当时,恒成立,在定义域上单调递增;
当时,令,解得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
Ⅱ由得,当时,在定义域上单调递增,不可能有两个零点,不符合题意;
当时,在上单调递增,在上单调递减,
当时,,时,,
若函数有两个零点,则,
解得,
故的取值范围为
【解析】Ⅰ先对函数求导,结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求;
Ⅱ结合中函数的单调性,再由函数零点判定定理可求.
本题主要考查了导数与单调性关系的应用,还考查了函数零点存在条件的应用,体现了分类讨论思想的应用,属于中档题.
21.【答案】解:Ⅰ因为,所以当,
数列为递增数列,且公差为,不能存在降低的部分,
所以,;
若,由于,
所以当,数列为递增数列,且公差为,不能存在降低的部分,
否则达不到,所以其是充分条件,
若数列的公差为,,可见其是不必要条件,
所以””是“,,,,为等差数列”的充分不必要条件;
Ⅱ证明:假设,,是数列第一个为项,则,
所以,或,以此类推,可得为整数,显然与已知矛盾
所以数列不含等于零的项.
【解析】Ⅰ代入计算即可;
若,由于,所以当,数列为递增数列,不能存在降低的部分,否则达不到,若数列的公差为,;
Ⅱ假设为数列的第一个为项,而后进行反证即可.
本题主要考查等差数列的相关性质,分析数列的增减性并利用反证,是解决本题的关键,属中档题.
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