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    2022-2023学年北京市顺义区高二(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年北京市顺义区高二(下)期中数学试卷(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年北京市顺义区高二(下)期中数学试卷

    一、单选题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1.  计算(    )

    A.  B.  C.  D.

    2.  函数的导数是(    )

    A.  B.  C.  D.

    3.  已知数列满足,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    4.  乘积展开后的项数有(    )

    A.  B.  C.  D.

    5.  某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试,其中,语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有(    )

    A.  B.  C.  D.

    6.  设等比数列的公比,前项和为,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    7.  已知函数的图象如图所示,那么下列各式正确的是(    )

    A.
    B.
    C.
    D.


     

    8.  如果成等比数列,那么(    )

    A.  B.
    C.  D.

    9.  已知函数,下列说法中正确的是(    )

    A. 既是的一个零点,又是的一个极小值点
    B. 既是的一个零点,又是的一个极大值点
    C. 的一个零点,不是的极值点
    D. 既不是的一个零点,也不是的极值点.

    10.  在正整数数列中,由开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取;第二次取个连续的偶数;第三次取个连续奇数;第四次取个连续的偶数;第五次取个连续的奇数;按此规律取下去,得到一个数列则这个数列中第个数是(    )

    A.  B.  C.  D.

    二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)

    11.  的展开式中,常数项为______用数字作答

    12.  一质点沿直线运动,位移单位:与时间单位:之间的关系为,则质点时的瞬时速度是______ 单位:

    13.  ______ 用数字作答

    14.  能说明“若函数上的最大值为,则函数上单调递减”为假命题的一个函数是______

    15.  对函数,满足的实数称为的不动点,其中有下列四个结论
    时,函数仅有一个不动点;
    时,函数仅有一个不动点;
    时函数有两个不动点;
    时函数有两个不动点.
    其中,所有正确结论的序号是______

    三、解答题(本大题共6小题,共85.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    16.  本小题
    已知满足
    求实数

    17.  本小题
    已知为等差数列,且
    的通项公式;
    满足,求数列的前项和公式.

    18.  本小题
    已知函数在点处的切线的方程为
    的值;
    求函数的极值.

    19.  本小题
    数列的前项和为,且
    的值;
    的通项公式;
    ,求的表达式.

    20.  本小题
    已知函数
    的单调区间;
    有两个零点,求的取值范围.

    21.  本小题
    已知无穷数列满足
    若对于任意,有
    时,求
    求证:“”是“为等差数列”的充分不必要条件.
    ,对于任意,有,求证:数列不含等于零的项.

    答案和解析

     

    1.【答案】 

    【解析】解:
    故选:
    根据阶乘公式列式计算即可.
    本题考查阶乘的计算,是基础题.
     

    2.【答案】 

    【解析】解:

    故选:
    根据导数的运算公式即可得到结论.
    本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见函数的导数公式,比较基础.
     

    3.【答案】 

    【解析】解:在数列中,由
    可知数列是公差为的等差数列,

    故选:
    由已知可得数列是公差为的等差数列,再由等差数列的通项公式得答案.
    本题考查数列递推式,考查等差数列的通项公式,是基础题.
     

    4.【答案】 

    【解析】解:依题意从第一个括号中选一个字母有种方法,从第二个括号中选一个字母有种方法,
    按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项.
    故选:
    根据分步乘法计数原理计算即可.
    本题考查排列组合的应用,属于基础题.
     

    5.【答案】 

    【解析】解:某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试,
    若语文、数学这门课程同时入选,则只需从剩余门课程中选择门即可,
    故不同选法共有种.
    故选:
    根据题意可知,若语文、数学这门课程同时入选,则只需从剩余门课程中选择门即可,结合组合的知识,求解即可.
    本题考查排列组合的应用,属于基础题.
     

    6.【答案】 

    【解析】

    【分析】
    本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,属于基础题.

    根据等比数列的性质,借助公比表示出之间的关系,易得间的关系,然后二者相除进而求得答案.
    【解答】
    解:由于


    故选:
     

      

    7.【答案】 

    【解析】解:结合图像,单调递减,
    ,且递增,

    故选:
    结合函数的图像以及导数的单调性判断即可.
    本题考查了函数的单调性问题,考查数形结合思想,是基础题.
     

    8.【答案】 

    【解析】解:由成等比数列,
    得到
    解得:


    故选:
    根据等边数列的性质,由已知的数列得到相邻三项,中间一项的平方等于其他两项的积,求出的值及的值.
    此题考查了等边数列的性质,属于基础题.学生做题时,要根据完全平方数大于判定出小于,从而把不合题意得值舍去.
     

    9.【答案】 

    【解析】解:已知,函数定义域为
    可得
    易知函数上都是增函数,
    所以上是增函数,

    时,单调递减;
    时,单调递增,
    所以当时,取到极小值,没有极大值,
    因为
    所以为函数的零点,
    综上,既是的一个零点,又是的一个极小值点.
    故选:
    由题意,对函数进行求导,利用导数得到的单调性,再结合特殊点对选项进行判断即可.
    本题考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查了逻辑推理和运算能力.
     

    10.【答案】 

    【解析】解:由题意可得:奇数次取奇数个奇数,偶数次取偶数个偶数,
    次共取了个数,且第次的最后一个数为
    时,,故到第次取时取了个奇数,且前次共取了个数,即第个数为
    时,依次为
    个数为
    故选:
    由题意找出取数的规律为:奇数次取奇数个奇数,偶数次取偶数个偶数,前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到,且第次的最后一个数为,据此即可求解.
    本题主要考查了归纳推理,属于基础题.
     

    11.【答案】 

    【解析】解:
    得,
    常数项为
    故答案为:
    求出通项,并令的指数为零即可.
    本题考查二项式展开式的应用.属于基础题.
     

    12.【答案】 

    【解析】解:

    时,
    故答案为:
    根据已知条件,结合导数的几何意义,即可求解.
    本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
     

    13.【答案】 

    【解析】解:
    故答案为:
    根据组合数及组合数公式,计算即可.
    本题考查组合数及组合数公式,属于基础题.
     

    14.【答案】答案不唯一 

    【解析】解:例如函数上先减后增,在处取得最大值
    故答案为:答案不唯一
    由已知结合基本初等函数的性质即可判断.
    本题主要考查了函数的单调性与函数最值取得条件的判断,属于基础题.
     

    15.【答案】 

    【解析】解:令,得,即
    所以



    所以在单调递增,
    单调递减,
    所以
    时,时,
    ,即时,函数只有一个交点,
    所以方程只有一个根,
    所以方程只有一个根,
    所以函数只有一个不动点,故错误;
    ,即时,函数只有一个交点,
    所以方程只有一个根,
    所以方程只有一个根,
    所以函数只有一个不动点,故正确;
    ,即时,函数有两个交点,
    所以方程有两个根,
    所以方程有两个根,
    所以函数有两个不动点,
    ,即时,函数没有交点,
    所以方程没有根,
    所以方程没有个根,
    所以函数没有不动点,
    所以当时,可能有两个不动点,也可能没有不动点,故错误;
    时函数可能有两个不动点,也可能没有不动点,故错误,
    故答案为:
    ,得,即,则,令,求导分析单调性,极值,则交点个数为函数不动点个数,即可得出答案.
    本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.
     

    16.【答案】解:满足
    通项公式为

    实数
    根据通项公式为
    可得当时,,当时, 

    【解析】由题意,根据二项展开式的通项公式,求得的值.
    由题意,根据二项展开式的通项公式,求得的值.
    本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.
     

    17.【答案】解:为等差数列,且


    的通项公式


     

    【解析】求得公差,可求的通项公式;
    ,可求数列的前项和公式.
    本题考查求数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的前项和,属基础题.
     

    18.【答案】解:函数

    函数在点处的切线的方程为

    解得
    可得:


    解得
    时,,函数单调递增;时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.
    时,函数取得极大值,时,函数取得极小值, 

    【解析】函数,利用导数运算法则可得,根据函数在点处的切线的方程为,可得,解得
    可得:,利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论.
    本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、切线方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
     

    19.【答案】解:,得,即
    ,则
    ,则
    ,得
    ,得
    得,,不适合上式,
    数列从第二项起构成以为公比的等比数列,
    的通项公式
    数列是以为首项,以为公比的等比数列,
     

    【解析】由已知结合数列递推式求的值;
    由数列递推式可得数列从第二项起构成以为公比的等比数列,则的通项公式可求;
    数列是以为首项,以为公比的等比数列,再由等比数列的求和公式求解
    本题考查数列递推式,考查等比数列的通项公式与前项和,考查运算求解能力,是中档题.
     

    20.【答案】解:已知,函数定义域为
    可得
    时,恒成立,在定义域上单调递增;
    时,令,解得
    时,单调递增;
    时,单调递减,
    综上所述,当时,上单调递增;
    时,上单调递增,在上单调递减;
    得,当时,在定义域上单调递增,不可能有两个零点,不符合题意;
    时,上单调递增,在上单调递减,
    时,时,
    若函数有两个零点,则
    解得
    的取值范围为 

    【解析】先对函数求导,结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求;
    结合中函数的单调性,再由函数零点判定定理可求.
    本题主要考查了导数与单调性关系的应用,还考查了函数零点存在条件的应用,体现了分类讨论思想的应用,属于中档题.
     

    21.【答案】解:因为,所以当
    数列为递增数列,且公差为,不能存在降低的部分,
    所以
    ,由于
    所以当,数列为递增数列,且公差为,不能存在降低的部分,
    否则达不到,所以其是充分条件,
    若数列的公差为,可见其是不必要条件,
    所以””是“为等差数列”的充分不必要条件;
    证明:假设,是数列第一个为项,则
    所以,以此类推,可得为整数,显然与已知矛盾
    所以数列不含等于零的项. 

    【解析】代入计算即可;
    ,由于,所以当,数列为递增数列,不能存在降低的部分,否则达不到,若数列的公差为
    假设为数列的第一个为项,而后进行反证即可.
    本题主要考查等差数列的相关性质,分析数列的增减性并利用反证,是解决本题的关键,属中档题.
     

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