2022-2023学年江苏省盐城实验高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城实验高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城实验高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知点，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知向量，，其中若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 3.  若数据，，，的方差为，则数据，，，为实数的方差是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为(    )A.
B.
C.
D. 5.  设随机变量等可能取值，，，，，如果，那么(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知函数的导函数为，且满足，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  名学生参加数学建模活动，目前有个不同的数学建模小组，每个小组至少分配名学生，至多分配名学生，则不同的分配方法种数为(    )A.  B.  C.  D. 8.  直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  若，则方程可以表示下列哪些曲线(    )A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆10.  某篮球运动员罚球命中的概率为，若罚球次，各次之间相互独立，其中命中的次数为，则下列结论正确的是(    )A.  B.
C.  D. 11.  已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点异于左，右顶点，且的周长为，则下列结论正确的是(    )A. 椭圆的焦距为
B. 椭圆的短轴长为
C. 面积的最大值为
D. 椭圆上存在点，使得12.  在棱长为的正方体中，，为底面内两动点且满足，异面直线与所成角为，则(    )A.
B. 直线与为异面直线
C. 线段长度最小值等于
D. 三棱锥的体积可能取值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  二项式的展开式中常数项为______ ．14.  如果随机变量，且，，则等于______ ．15.  已知，，，则点到直线的距离为______．16.  在长方体中，，，点为长方体表面上的动点，且，当最小时，的面积为        ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
从个男生，个女生中选出人参加植树节活动．
共有多少种不同的选取方法？
若至少要选出个男生，且男生甲和女生乙不能同去，则共有多少种不同的选取方法？
若恰选出名女生，且人需要排队前往，但女生必须相邻，则共有多少种不同的列？18.  本小题分
袋子中有个大小、材质都相同的小球，其中个白球，个红球每次从袋子中随机摸出个球，摸出的球不再放回，求：
在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
第二次摸到白球的概率．19.  本小题分
求值：．
若，且求的值．20.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，点是线段中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
21.  本小题分
已知点在抛物线：上．
求抛物线的准线方程；
设直线与交于，两点，为坐标原点，且，求面积的最小值．22.  本小题分
已知函数．
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
讨论函数的单调性．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：点，，
．
故选：．
根据空间向量的坐标运算化简即可．
本题考查空间向量的坐标运算，考查学生计算能力，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】【分析】本题考查共线向量的充要条件的应用，属于基础题，这种题目可以作为选择和填空出现在高考题目中，是一个送分题目．
根据两个向量平行，写出两个向量平行的充要条件，得到两个向量的坐标之间的关系，根据横坐标、纵坐标和竖坐标分别相等，得到和的值．
【解答】解：且，
存在，使，
，
，
．
故选：．  3.【答案】 【解析】解：由题设，则，
故选：．
根据方差的性质求新数据集的方差．
本题考查了方差的性质，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：如图，连接，，

，分别是，的中点，
，
是异面直线与所成的角，且是等边三角形，
．
故选：．
可连接，，从而得出是异面直线与所成的角，并且看出是等边三角形，从而可求出的值．
本题考查了三角形中位线的性质，异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解析：因为随机变量等可能取值，，，，，所以：，
因为：．
解得：．
故选C．
首先分析题目已知随机变量等可能取值，，，，，故可以得到取任意一个值的概率都是，又，代入解得即可．
此题主要考查等可能时间的概率问题，对于式子是解题的关键，题目知识点少，计算量小属于基础题目．
 6.【答案】 【解析】【分析】已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，代入求解即可．
此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对进行正确求导，把看成一个常数，就比较简单了．【解答】解：函数的导函数为，且满足，
，把代入可得，
解得，
．
故选：．
   7.【答案】 【解析】解：根据题意，分步进行分析：
，将名同学分成组，
若按、、分组，有种分组方法，
若按、、分组，有种分组方法，
则一共有种分组方法，
，将分好的组全排列，对应个不同的数学建模小组，有种情况，
则不同的分配方案有种．
故选：．
根据题意，分步进行分析：，将名同学分成组，按种分组方法讨论，相加可得方法数目，，将分好的组全排列，对应个不同的数学建模小组，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分组，再进行排列．
 8.【答案】 【解析】解：由直线方程可得，，则，
又，即，根据相似三角形可得，
则，
，
故选：．
根据直线方程可求得，根据相似三角形可得的坐标，再由椭圆定义求得，则可求出离心率．
本题考查椭圆离心率的求法，考查数形结合思想，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：当时，，方程表示双曲线，
当时，方程为，即，表示两条直线，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示圆．
故选：．
分别讨论的取值，结合方程的形式，得到可能表示的曲线．
本题主要考查曲线方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意可得，，
，，．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，以及期望与方差的公式，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意可得：，
解得，
对选项，椭圆的焦距为，选项错误；
对选项，椭圆的短轴长为，选项正确；
对选项，面积的最大值为，选项正确；
对选项，设，，
，，
椭圆上不存在点，使得，选项错误．
故选：．
先根据题意建立方程求出，，，再利用椭圆的几何性质，可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由，可知，
即点在上，连接，则，

由于平面，平面，故AA，
又，且，，平面，
故BD平面，平面，所以，
则，，A正确；
因为异面直线与所成角为，且，
故B与所成角为，即，则，
故点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当为该圆弧与的交点，且为，的交点时，直线与为相交直线，B错误：
由于点在上，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
故线段长度最小值为点到直线的距离减去圆弧的半径，即最小值为，C正确；
三棱锥的高为，假设其体积可取到，则其底面积，
又因为当点位于处，位于其所在圆弧与或的交点处时，
的面积取到最大值，最大值为，
因为，故假设成立，即三棱锥的体积可能取值为，D正确．
故选：．
证明平面，根据线面垂直的性质判断；确定点的轨迹，找到特殊位置说明直线与可以为相交直线，判断；根据圆的几何性质求出线段长度最小值判断；根据三棱锥的体积可能取值为，计算其底面积的取值，求出的面积的最大值，比较即可判断．
本题考查正方体中点的轨迹问题，以及距离最小值问题，体积问题等，属难题．
 13.【答案】 【解析】解：二项式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中常数项为，
故答案为：．
根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于，即可得出，再代入得出答案．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由题意得，，，
解得．
根据二项分布期望与方差的公式列方程求解即可．
本题考查二项分布的期望与方差的公式的应用，是中档题．
 15.【答案】 【解析】解：因为，，，，，
点到直线的距离为：，
故答案为：
根据空间向量点到线的距离公式求解即可．
本题考查空间点、线、面距离的计算，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：设的中点为，则，
由题意得：，且点是长方体表面上的动点，
所以点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，
则，当且仅当点、、三点共线时取等号，
点、在平面上，所以点在平面上，
所以当最小时，以为直径的半圆与的交点即为点，如下图，

过点作于点，
因为，所以，
所以的面积．
故答案为：．
根据条件得到点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，得出点、、三点共线时最小，即可求解．
本题主要考查棱柱的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题．
 17.【答案】解：因为一共有人，所以选出人参加植树节活动有种不同选法；
男生甲去乙不去不同的选法为：，
男生甲不去乙去不同的选法为：，
男生甲不去且乙不去不同的选法为：，
所以不同的选取方法数为：；
选出名女生，且人需要排队前往，但女生必须相邻，则共有种不同选法． 【解析】运用组合的定义进行求解即可；
运用分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可；
运用组合和排列的定义进行求解即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 18.【答案】解：设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
第二次摸到白球的情况分为两种：
第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，
第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，
所以第二次摸到白球的概率． 【解析】利用条件概率的计算公式求解即可；
第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 19.【答案】解：由组合数的性质，可得，解得，
又因为，
所以或，
当时，原式，
当时，原式；
由，得，
即，解得或舍去，所以，
当时，由已知，得，
令，得，令，得，
所以． 【解析】根据组合数的性质推出的取值范围，再分类求解；
先求出的值，再运用赋值法求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 20.【答案】解：证明：取的中点，连接，，如图所示：

因为，分别为，的中点，所以，，
又因为，，所以，，
即四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
平面的法向量为，
平面的法向量为．
所以，，
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【解析】取的中点，连接，，四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定证明即可；
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的求法，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：将点代入抛物线方程，可得，解得，
所以，抛物线的方程为，
则抛物线准线方程为：，
设，，
易知直线的斜率存在，直线的方程为．
联立，得，
则，且．
又，所以，
即，即，
代入可得，解得或不符合题意，舍去，
此时恒成立．
所以，
所以，当时，面积有最小值． 【解析】将点代入抛物线方程，得出抛物线的准线方程；
联立直线与抛物线的方程，由结合韦达定理得出面积的最小值．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 22.【答案】解：在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
，即，
即实数的取值范围为；
由题意得，
则，
令，
当时，，即在上单调递增；
当时，，
若，即时，恒成立，
恒成立，在上单调递增；
若，即且时，由得，，
若，则，则在上恒成立，
恒成立，
在上单调递增；
若，则，
当时，，当时，；
当时，，当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减． 【解析】题意转化为在上恒成立，利用分离变量法，通过求解在的最大值，即可得出答案；
求导后，分别在、、和的情况下，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．