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2023年新七年级数学北师大版暑假预习——第14讲 多边形和圆的初步认识
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第14讲 多边形和圆的初步认识
学习目标
1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；
2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；
3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；
4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.
知识点1：多边形及正多边形
1． 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
2. 正多边形
1.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
2.正多边形的每个内角
3.正多边形每个外角的度数：
（3）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
3．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
多边形公式
1. n 边形一个顶点的对角线数： n-3
2. n 边形的对角线总数：
3. n 边形的外角和： 360°
4. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点2：圆及扇形
1. 圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可. ②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
注意：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
考点1：多边形与正多边形的定义
例1.（2022春•肥城市期中）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选：A．
【变式1-1】（2022秋•朝阳区校级月考）下列平面图形中，属于八边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、是六边形，故此选项不符合题意；
B、是四边形，故此选项不符合题意；
C、是八边形，故此选项符合题意；
D、是圆，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（河北）下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
【变式1-3】（2019春•厦门期末）在四边形ABCD中，边AB的对边是（ ）
A．BC B．AC C．BD D．CD
【答案】D
【解答】解：在四边形ABCD中，边AB的对边是CD．
故选：D．
考点2：多边形的对角线
例2.（2022秋•大兴区期中）若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝4，
解得n＝7，
故选：D．
【变式2-1】（2022秋•江津区校级月考）若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•昭阳区校级月考）过凸十边形的一个顶点发出的对角线有（ ）
A．10条 B．9条 C．8条 D．7条
【答案】D
【解答】解：由题意得10﹣3＝7，
过凸十边形的一个顶点发出的对角线有7条．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•思明区校级期中）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解答】解：如图，
故选：D．
考点3：多边形截去一个角的变形
例3.（2021秋•驿城区校级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•回民区校级月考）将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．3个或4个或5个
【答案】D
【解答】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：
因而还剩下3个或4个或5个角．
故选：D．
【变式3-2】（2021秋•郧阳区期中）若一个多边形截去一个角后，变成十六边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．16或17 C．15或17 D．16或17或18
【答案】A
【解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是15或16或17．
故选：A．
考点4：圆的有关概念
例4.（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得，A图象为圆．
故答案为：A．
【变式4-1】（2022秋•涪城区期中）下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
【答案】B
【解答】解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；
B、半圆是弧，原结论正确；
C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；
D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•启东市校级月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．直径是弦，半圆不是弧
【答案】D
【解答】解：A．直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确；
B．能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确；
C．周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确．
D．直径是弦，半圆是弧，故错误．
故选：D．
考点5：扇形的面积
例5.（2022•温州模拟）若扇形的圆心角为60°，半径为4，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：扇形的面积＝＝，
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•河西区期末）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（ ）
A． B．3π C．5π D．12π
【答案】D
【解答】解：S扇形＝＝12π，
故选：D．
【变式5-2】（2021秋•临漳县期末）如图，⊙O的半径为2，∠AOB＝90°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】C
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴S扇形＝＝π，
故选：C．
【变式5-3】（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（ ）
A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2
【答案】C
【解答】解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15cm，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝600π（cm2），
故选：C．
1．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12π B．6π C．4π D．2π
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴，
故选：B．
2．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
3．（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【解答】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴，
故选：A．
4．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π﹣3 B．3π﹣ C．2π﹣3 D．6π﹣
【答案】B
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝3，
∴OC＝3，AD＝AC＝，
∴AB＝2AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣3×3＝3π﹣，
故选：B．
5．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【答案】D
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
6．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 60 度．
【答案】60．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则＝6π，
解得：n＝60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
7．（2022•河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 + ．
【答案】+．
【解答】解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．
∵OT＝OB，OO′＝O′B，
∴OT＝2OO′，
∵∠OO′T＝90°，
∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，
∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）
＝﹣（﹣×1×）
＝+．
故答案为：+
1．（2022春•博山区校级期中）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由正八边形的定义可知，C选项中的图形是正八边形，
故选：C．
2．（2022秋•黄骅市校级期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
3．（2022春•龙胜县期中）在学习“平行四边形”一章时，小王的书上有一图因不小心被滴上了墨水，如图所示，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（ ）
A．等边三角形 B．四边形 C．多边形 D．正方形
【答案】D
【解答】解：∵正方形具有矩形和菱形所有的性质，
∴正方形既是矩形也是菱形．
故选：D．
4．（2022秋•夏津县期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（ ）
A．30° B．35° C．36° D．45°
【答案】C
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠E＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE，
所以，
所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．
故选：C．
5．（2022秋•大荔县期末）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
【答案】B
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故选：B．
6．（2023•杭州二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
【答案】A
【解答】解：A、∵2+2+2＝6＞5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；
B、∵1+1+5＝7＜8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
C、∵1+2+2＝5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
D、∵1+1+1＝3＜5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．（2022秋•天桥区期末）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝5，
解得n＝8，
故选：B．
8．（2023春•宝安区期末）过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，
∴n﹣2＝5，即n＝7．
故选：C．
9．（2023•酒泉三模）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
【答案】D
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝πm2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：D．
10．（2023•平房区一模）扇形的圆心角为120°，半径为4，则扇形的面积为 π ．
【答案】π．
【解答】解：S扇形＝＝＝π．
故答案为：π
11．（2023•卧龙区一模）如图，以A为圆心AB为半径作扇形ABC，线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，若AB＝6，则阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】．
【解答】解：连接DO，
∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝6，
∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝3，
∴阴影部分的面积是：＝，
故答案为：．
12．（2023•盘龙区二模）已知扇形的半径是2cm，面积是cm2，那么扇形的圆心角是 120 度．
【答案】120°．
【解答】解：根据S＝＝πcm2，
即＝
解得n＝120°．
所以扇形的圆心角为n＝120°．
故答案为：120°．
13．（2023•兴隆台区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是 2π ．
【答案】2π．
【解答】解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC＝S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴S△OBC＝S△DBC，
∴图中阴影部分的面积＝＝2π，
故答案为2π．
14．（2023•临江市一模）⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 cm2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：S阴影＝＝cm2．
故答案为cm2．
15．（2023•孝感一模）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长＝BC+CD＝6，
∴S扇形DAB＝lr＝×6×3＝9．
故答案为：9．
16．（2022秋•薛城区期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 1 条对角线；同样，经过B点可以做 1 条对角线；经过C点可以做 1 条对角线；经过D点可以做 1 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 2 条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：
图2共有 5 条对角线；
图3共有 9 条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 35 对角线．
【答案】（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【解答】解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
十边形有＝35对角线．
故答案为：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．
第14讲 多边形和圆的初步认识
学习目标
1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；
2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；
3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；
4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.
知识点1：多边形及正多边形
1． 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
2. 正多边形
1.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
2.正多边形的每个内角
3.正多边形每个外角的度数：
（3）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
3．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
多边形公式
1. n 边形一个顶点的对角线数： n-3
2. n 边形的对角线总数：
3. n 边形的外角和： 360°
4. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点2：圆及扇形
1. 圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可. ②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
注意：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
考点1：多边形与正多边形的定义
例1.（2022春•肥城市期中）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选：A．
【变式1-1】（2022秋•朝阳区校级月考）下列平面图形中，属于八边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、是六边形，故此选项不符合题意；
B、是四边形，故此选项不符合题意；
C、是八边形，故此选项符合题意；
D、是圆，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（河北）下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
【变式1-3】（2019春•厦门期末）在四边形ABCD中，边AB的对边是（ ）
A．BC B．AC C．BD D．CD
【答案】D
【解答】解：在四边形ABCD中，边AB的对边是CD．
故选：D．
考点2：多边形的对角线
例2.（2022秋•大兴区期中）若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝4，
解得n＝7，
故选：D．
【变式2-1】（2022秋•江津区校级月考）若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•昭阳区校级月考）过凸十边形的一个顶点发出的对角线有（ ）
A．10条 B．9条 C．8条 D．7条
【答案】D
【解答】解：由题意得10﹣3＝7，
过凸十边形的一个顶点发出的对角线有7条．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•思明区校级期中）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解答】解：如图，
故选：D．
考点3：多边形截去一个角的变形
例3.（2021秋•驿城区校级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【答案】C
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•回民区校级月考）将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．3个或4个或5个
【答案】D
【解答】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：
因而还剩下3个或4个或5个角．
故选：D．
【变式3-2】（2021秋•郧阳区期中）若一个多边形截去一个角后，变成十六边形，那么原来的多边形的边数为（ ）
A．15或16或17 B．16或17 C．15或17 D．16或17或18
【答案】A
【解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是15或16或17．
故选：A．
考点4：圆的有关概念
例4.（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得，A图象为圆．
故答案为：A．
【变式4-1】（2022秋•涪城区期中）下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
【答案】B
【解答】解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；
B、半圆是弧，原结论正确；
C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；
D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•启东市校级月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．直径是弦，半圆不是弧
【答案】D
【解答】解：A．直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确；
B．能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确；
C．周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确．
D．直径是弦，半圆是弧，故错误．
故选：D．
考点5：扇形的面积
例5.（2022•温州模拟）若扇形的圆心角为60°，半径为4，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：扇形的面积＝＝，
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•河西区期末）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（ ）
A． B．3π C．5π D．12π
【答案】D
【解答】解：S扇形＝＝12π，
故选：D．
【变式5-2】（2021秋•临漳县期末）如图，⊙O的半径为2，∠AOB＝90°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】C
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴S扇形＝＝π，
故选：C．
【变式5-3】（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（ ）
A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2
【答案】C
【解答】解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15cm，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝600π（cm2），
故选：C．
1．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12π B．6π C．4π D．2π
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴，
故选：B．
2．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
3．（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【解答】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴，
故选：A．
4．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π﹣3 B．3π﹣ C．2π﹣3 D．6π﹣
【答案】B
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝3，
∴OC＝3，AD＝AC＝，
∴AB＝2AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣3×3＝3π﹣，
故选：B．
5．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【答案】D
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
6．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 60 度．
【答案】60．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则＝6π，
解得：n＝60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
7．（2022•河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 + ．
【答案】+．
【解答】解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．
∵OT＝OB，OO′＝O′B，
∴OT＝2OO′，
∵∠OO′T＝90°，
∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，
∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）
＝﹣（﹣×1×）
＝+．
故答案为：+
1．（2022春•博山区校级期中）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由正八边形的定义可知，C选项中的图形是正八边形，
故选：C．
2．（2022秋•黄骅市校级期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
3．（2022春•龙胜县期中）在学习“平行四边形”一章时，小王的书上有一图因不小心被滴上了墨水，如图所示，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（ ）
A．等边三角形 B．四边形 C．多边形 D．正方形
【答案】D
【解答】解：∵正方形具有矩形和菱形所有的性质，
∴正方形既是矩形也是菱形．
故选：D．
4．（2022秋•夏津县期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（ ）
A．30° B．35° C．36° D．45°
【答案】C
【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠E＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE，
所以，
所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．
故选：C．
5．（2022秋•大荔县期末）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
【答案】B
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故选：B．
6．（2023•杭州二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1
【答案】A
【解答】解：A、∵2+2+2＝6＞5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；
B、∵1+1+5＝7＜8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
C、∵1+2+2＝5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
D、∵1+1+1＝3＜5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．（2022秋•天桥区期末）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝5，
解得n＝8，
故选：B．
8．（2023春•宝安区期末）过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，
∴n﹣2＝5，即n＝7．
故选：C．
9．（2023•酒泉三模）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
【答案】D
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝πm2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：D．
10．（2023•平房区一模）扇形的圆心角为120°，半径为4，则扇形的面积为 π ．
【答案】π．
【解答】解：S扇形＝＝＝π．
故答案为：π
11．（2023•卧龙区一模）如图，以A为圆心AB为半径作扇形ABC，线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，若AB＝6，则阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】．
【解答】解：连接DO，
∵线段AC交以AB为直径的半圆弧的中点D，AB＝6，
∴∠DAO＝45°，∠DOA＝90°，DO＝AO＝3，
∴阴影部分的面积是：＝，
故答案为：．
12．（2023•盘龙区二模）已知扇形的半径是2cm，面积是cm2，那么扇形的圆心角是 120 度．
【答案】120°．
【解答】解：根据S＝＝πcm2，
即＝
解得n＝120°．
所以扇形的圆心角为n＝120°．
故答案为：120°．
13．（2023•兴隆台区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是 2π ．
【答案】2π．
【解答】解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC＝S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴S△OBC＝S△DBC，
∴图中阴影部分的面积＝＝2π，
故答案为2π．
14．（2023•临江市一模）⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 cm2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：S阴影＝＝cm2．
故答案为cm2．
15．（2023•孝感一模）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长＝BC+CD＝6，
∴S扇形DAB＝lr＝×6×3＝9．
故答案为：9．
16．（2022秋•薛城区期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做 1 条对角线；同样，经过B点可以做 1 条对角线；经过C点可以做 1 条对角线；经过D点可以做 1 条对角线．通过以上分析和总结，图1共有 2 条对角线
（2）拓展延伸：
运用1的分析方法，可得：
图2共有 5 条对角线；
图3共有 9 条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有 条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有 35 对角线．
【答案】（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【解答】解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
十边形有＝35对角线．
故答案为：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．
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