专题11 抓不变量解题（分数的基本性质） —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题11 抓不变量解题（分数的基本性质）一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。【典例分析01】将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的，由此可求出新分数的分子和分母。”分母：（61-43）÷（1－）＝81分子：81×＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的  与分母的差不变，所以将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。①     的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）②   约分后所得的在约分前是：＝＝③   所加的数是81-61＝20                             答：所加的数是20。【典例分析02】将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”可知，分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。分子：（2+1）÷（－）=12分母：12×-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。①     将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝，＝②   原分数的分母是：18-1＝17或15+2＝17                     答：这个分数为。【典例分析03】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即=，=。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分子和分母再乘以2。所以＝＝，＝＝故原来的最简分数是。解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以                 （+）÷2＝                                 答：原来的最简分数是。【典例分析04】将一个分数的分母加3得，分母加5得。原分数是多少？解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即＝，＝。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将和的分子和分母再同乘以2。则＝＝，＝＝。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是。解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5后是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（－）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是。【典例分析05】有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于，这个分数是多少？根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是。一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•虞城县期末）当的分子加上20时，要使分数的大小不变，分母应（　　）A．加上20 B．乘4 C．乘5【思路点拨】根据分数的基本性质计算：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变；分子加20，由5变成25，是原来分子的5倍，则分母也要扩大5倍，7×5＝35；据此解答。【规范解答】解：当的分子加上20时，要使分数的大小不变，分母应乘5。故选：C。【考点评析】此题需要学生熟练掌握分数的基本性质并灵活运用。2．（3分）（2021秋•北票市期末）下列分数中与大小相等的分数是（　　）A． B． C．【思路点拨】依据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此作答。【规范解答】解：分子父母同时除以9，化简后等于。另外两个分数不符合题意。故选：B。【考点评析】本题考查了分数的基本性质，结合题意分析解答即可。3．（3分）（2022春•汤阴县期末）的分子加8，如果要使这个分数的大小不变，那么分母应该（　　）A．加30 B．加8 C．扩大为原来的2倍 D．加1【思路点拨】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。首先发现分子的变化，由4变为（4+8），也就是分子扩大到原来的3倍，要使分数的大小不变，分母也扩大到原来的3倍，由此通过计算就可以得出。【规范解答】解：原来的分子是4，现在的分子是4+8＝12，也就是分子扩大到原来的3倍，要使分数的大小不变，分母也扩大到原来的3倍，15×3﹣15＝45﹣15＝30，所以分母应该加30。故选：A。【考点评析】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题。4．（3分）（2022春•陵城区期末）如果一个分数的分子、分母都增加100，而分数的大小没有改变，那么原来的分数一定是（　　）A．分子大于分母 B．分子小于分母 C．分子等于分母【思路点拨】解决此题，可以设出这个分数，然后根据分子增加100、分母增加100，得到的新分数与原分数相等，据此得出原分数的分子、分母之间的关系．【规范解答】解：设原来的分数是，则现在的分数是；由于分数的大小没变，所以，        ＝b（a+100）＝a（b+100）   ab+100b＝ab+100a      100b＝100a         a＝b．故选：C．【考点评析】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题．5．（3分）一个真分数，把它的分子、分母同时加上一个相同的自然数（0除外），所得的新分数（　　）A．比原分数小 B．与原分数相等 C．比原分数大【思路点拨】此题可以举几个例子进行验证，得出结论．【规范解答】解：例如：真分数，分子和分母同时加上自然1，变成，因为＝，＝＞，所以＞；一个真分数，把它的分子、分母同时加上一个相同的自然数（0除外），所得的新分数比原分数大．故选：C．【考点评析】此题考查分数的大小比较，解决此题可用举例验证的方法，同时也考查了分数的基本性质的运用．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2022春•青岛期末）一个分数，分子、分母的和是43，如果分子、分母都加上3，所得的分数约分后是，原来的分数是 　　。【思路点拨】用43加上两个3，可是现在分和分母的和。再根据分数约分后是，可知现在分子与分母的比是1：6，将分子与分母的和按照比例进行分配即可求出现在的分子和分母，最后将分子和分母分别减去3即可求出原来的分数是多少。【规范解答】解：43+3+3＝46+3＝491+6＝749×＝749×＝427﹣3＝442﹣3＝394÷39＝原来的分数是。故答案为：。【考点评析】本题考查分数的基本性质，利用比例分配的解答方式进行解答比较简便。7．（2分）（2022春•盐城期末）一个分数，它的分子缩小2倍，分母扩大2倍后得，原来的分数是　　．【思路点拨】根据题意可知：该分数，它的分子缩小2倍，分母扩大2倍后得，则原来的分数应为：现在的分子乘2，分母除以2后的分数．【规范解答】解：＝；故答案为：．【考点评析】解答此题应根据分数的基本性质逆向思维，从结论出发，依次向前推，进而得出结论．8．（2分）（2021春•简阳市 期中）一个分数，分母比分子大15，且与相等，这个分数是　　。【思路点拨】根据一个分数的分母比分子大15，约分后是，分母比分子大8﹣3＝5份，由此可求得1份是多少，进而求得这个分数。【规范解答】解：15÷（8﹣3）＝15÷5＝3＝＝答：这个分数是。故答案为：。【考点评析】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题。9．（2分）（2021春•淄博期末）一个分数，分子比分母少10，约分后等于，这个分数是　　．加上　　等于最小的质数．【思路点拨】①根据题意一个分数的分子比分母小10，可设分子是x，那么分母为x+10，即可得到一个等式，求出未知数后再代入即可得到答案；②最小的质数是2，然后用2减去解答即可．【规范解答】解：①设这个是分数的分子是x，那么分母为x+10，＝    5x＝3×（x+10）    5x＝3x+30     x＝15那么分母为15+10＝25所以这个分数是；②2﹣＝；故答案为：，．【考点评析】此题主要考查的是分数的基本性质，灵活掌握分数的基本性质，是解答此题的关键．10．（2分）（2021•宁波模拟）分子和分母的和是23，分母增加19后得一新分数，将这一新分数化为最简分数为，原来的分数是　　．【思路点拨】一个分数的分子与分母的和是23，如果分母增加19，得到的新分数约分为，则化简前的分数的分子与分母和为23+19＝42，把理解为后来分数的分子和分母的比是1：5，运用按比例分配知识，求出后来分数的分子和分母，然后用后来分数的分母减去19，即原来的分数的分母，继而得出结论．【规范解答】解：23+19＝42，分子：42×＝7，分母：42×＝35，则原来分数的分母是：35﹣19＝16，所以原来的分数是：；故答案为：．【考点评析】首先求出后来分数化简前分子和分母的和，然后根据按比例分配知识求出后来的分数的分子和分母的值是完成本题的关键．11．（2分）（2019春•苍溪县期中）一个分数的分子不变，分母除以10，这个分数就　A　；若分母不变，分子乘5，这个分数就　C　．A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大5倍D．缩小5倍【思路点拨】首先根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变．可得一个分数的分子不变，分母除以10，这个分数就扩大10倍；一个分数的分母不变，分子乘5，这个分数就扩大5倍据此判断即可．【规范解答】解：一个分数如果分子不变，分母除以10，这个分数就扩大10倍．分母不变，分子乘5，这个分数就扩大5倍．故答案为：A，C．【考点评析】此题主要利用分数的基本性质和分数与除法的关系解答问题，分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数．12．（2分）（2019•湖南模拟）的分子增加6，分母应增加　27　，分数的大小才不会改变．【思路点拨】首先发现分子之间的变化，由2变为（2+6）＝8，扩大了4倍，要使分数的大小相等，分母也应扩大4倍，由此通过计算就可以得出．【规范解答】解：原分数分子是2，现在分数的分子是2+6＝8，扩大4倍，要使分数大小不变，分母也应扩大4倍，原分数分母是9，变为9×4＝36，即分母增加了36﹣9＝27．故答案为：27．【考点评析】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题．13．（2分）（2021•西乡县）的分母加上18，要使分数的大小不变，分子应加上 　12　。【思路点拨】根据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，进行分析解答即可．【规范解答】解：的分母加上18，变成了21，扩大了21÷3＝7倍，要使分数大小不变，分子也应该扩大7倍，变成7×2＝14，14﹣2＝12。故答案为：12。【考点评析】此题主要考查分数的基本性质，根据分数的基本性质，再结合题意分析解答即可。三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2021秋•虞城县期末）的分子和分母同时乘a，分数的大小不变。 　×　（判断对错）【思路点拨】分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变。【规范解答】解：的分子和分母同时乘a，这里并没有说明a≠0，所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】此题需要学生熟练掌握分数的基本性质。15．（2分）（2022春•巧家县期中）把一个分数的分子乘2，分母除以2，分数的大小不变．　×　（判断对错）【思路点拨】根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变．首先观察分子的变化，分子乘2，要使分数的大小不变，那么分母也应该乘以2．【规范解答】解：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变．首先观察分子的变化，分子乘2，要使分数的大小不变，那么分母也应该乘以2．所以把一个分数的分子乘2，分母除以2，分数的大小不变说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题主要利用分数的基本性质解答问题，解题的关键是牢记性质，并能熟练运用．16．（2分）（2021春•舒兰市期末）分数的分子和分母同时增加或减少同一个数（0除外）分数的大小不变．　×　．（判断对错）【思路点拨】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘以或同一个不为0的数，分数的大小不变，据此解答即可．【规范解答】解：分数的分子和分母同时乘以或同一个不为0的数，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质；所以原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】本题考查的是分数基本性质的运用，准确掌握分数的基本性质是解答本题的关键．17．（2分）（2021春•市南区校级期末）的分母加12，要使分数大小不变，分子也应加12．　×　．（判断对错）【思路点拨】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变．这叫做分数的基本性质，据此判断即可．【规范解答】解：分数的分子和分母同时乘相同的数（0除外），分数的大小不变，而不是同时加上12，所以原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题．18．（2分）（2019•株洲模拟）的分子加上6，要使分数大小不变，分母也应该加上6．　×　．（判断对错）【思路点拨】依据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，从而可以正确进行作答．【规范解答】解：的分子加上6，变成3+6＝9，扩大了9÷3＝3倍，要使分数的大小不变，分母5也应扩大3倍，变成5×3＝15，所以原分母应加上15﹣5＝10，故原题说法错误；故答案为：×．【考点评析】此题主要考查分数的基本性质的灵活应用．四．解答题（共9小题，满分59分）19．（6分）（2018秋•闵行区期中）一个分数，如果分子加上4，结果是，如果分子加上9，结果是，求原来个分数？解：设这个分数为，则＝，＝，﹣＝﹣，＝，＝，所以＝﹣＝﹣＝。根据上面计算方法解下题：一个分数，如果分子加上28，结果是；如果分子加上4，结果是，求原来的分数。【思路点拨】由题意可得：设这个分数为，则＝，＝，将两个等式相减，即可逐步求出a、b的值，从而求出原分数。【规范解答】解：设这个分数为，则＝，＝，﹣＝﹣＝＝a＝54＝b+4＝×54b＝21﹣4＝17所以＝。【考点评析】此题主要考查了分数的基本性质的应用，注意灵活运用。20．（6分）（2018•东莞市模拟）一个分数的分子与分母的和是23，分母增加19后得到一个新分数，化简后是，求原来的分数．【思路点拨】要求原分数是多少，根据题意可知：分母加上19，则这时分子和分母的和为23+19＝42，再由“新分数化成最简分数是”可知，此时的分数的分子与分母的比是1：5，于是可以利用按比例分配的方法求出现在的分子和分母，现在的分母减去19，就是原分母，从而得到原分数．【规范解答】解：23+19＝4242×＝742×＝35原来的分母为：35﹣19＝16，所以原分数为：．【考点评析】解答此题应从后面分析，根据题目条件，先计算出后来的分数的分子和分母，进而分母再减去19，然后即可得出原分数．21．（6分）（2016春•未央区期末）一个分数，加上它的一个分数单位后是1，减去它的一个分数单位，约分后是，这个分数是多少？【思路点拨】因为加上、减去都是一个分数单位，那么便相差两个分数单位，所以这个分数的分数单位是：（1﹣）÷2＝，根据“加上这个分数的分数单位，和等于1”，则原来的分数是：1﹣＝．【规范解答】解：1﹣（1﹣）÷2＝，＝1﹣÷2，＝1﹣，＝；答：这个分数是．【考点评析】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先求出这个分数的分数单位，再求出原来的分数．22．（6分）（2015秋•浦东新区期中）一个分数，如果分子加上4，结果是；如果分子加上9，结果是．求原来这个分数．解：设这个分数为，则＝，＝．﹣＝﹣＝＝＝﹣＝﹣＝根据上面的计算方法解下题：一个分数，如果分子加上2，结果是；如果分子减去3，结果是．求原来这个分数．【思路点拨】由题意可得：设这个分数为，则，，将两个等式相减，即可逐步求出a、b的值，从而求出原分数．【规范解答】解：设这个分数为，则①，②，①﹣②得：，所以a＝12，将a＝12代入①得：b＝7，所以原来这个分数是；答：原来这个分数是．【考点评析】解答此题的关键是：利用题目已知条件，得出不同的等量关系式，再据等量关系式之间的关系，即可分别求出a、b的值，从而问题得解．23．（7分）（2015春•蓬江区校级期中）一个分数的分子和分母同时除以一个相同的数是，原来分子与分母的和是80，这个分数原来是多少？【思路点拨】一个分数的分子和分母同时除以一个相同的数是，于是可得：分子和分母的比是7：9，总份数是（7+9）份，再求出分子、分母各占和的几分之几，根据一个数乘分数的意义列式解答即可．【规范解答】解：总份数是：7+9＝16（份）；原分子是：80×＝35，原分母是：80×＝45，所以原分数是：；答：这个分数原来是．【考点评析】此题属于按比例分配问题，把分子和分母的和，按照7：9分配，即可求出原来的分子和分母，由此解决问题．24．（7分）（2013春•象山县校级月考）某分数的分母加上2，分子减去2，所得的新分数的分母与分子的差是123，约分后得．原来的这个分数是多少？【思路点拨】要求原来的分数，需先求出新分数；先把的分子和分母都乘一个数，并符合分母与分子的差是123，即可得新分数是；再把新分数的分母减去2，分子加上2，即可得出原分数．【规范解答】解：，147﹣24＝123；；答：原来的分数是．【考点评析】此题先根据分数的基本性质把约分后分数的分子和分母同时乘一个数，求出符合条件的新分数；再根依条件进一步求出原分数．25．（7分）（2011秋•新都区月考）一个分数的分子与分母的和是37，如果分子、分母同时减少5后，化简后变成，原来这个分数是多少？【思路点拨】根据题意，设原来的分数是，根据子、分母同时减少5后，化简后变成，列出方程，求出原来这个分数是多少即可．【规范解答】解：设原来的分数是，由题意得：（x﹣5）：（37﹣x﹣5）＝4：5          4（32﹣x）＝5（x﹣5）             128﹣4x＝5x﹣25                 9x＝153                  x＝1737﹣17＝20所以原来的分数是：．【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．26．（7分）一个分数的分子加上1，这个分数是1，如果把这个分数的分母加上1，这个分数就是，原来这个分数是多少？【思路点拨】由“把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1”可知，这个分数的分母比分子大1，设分子为x，则分母为x+1；由“如果把这个分数的分母加上1，这个分数等于”可得：，解此比例即可解决问题．【规范解答】解：设分子为x，则分母为x+1，           8x＝7x+14             x＝14，14+1＝15，原来这个分数是，答：原来这个分数是．【考点评析】解答此题的关键是：由题意得出“这个分数的分母比分子大1”，再依据分数的变化情况，即可列比例求解．27．（7分）欢欢把分数的分子和分母同时减去同一个数后，得到一个新的分数，再把这个新分数约分后得到，你知道欢欢减去的数是几吗？你是怎么得到这个答案的，请写出你的思考过程．【思路点拨】设减去的数是x，那么分数的分子和分母同时减去同一个数后，得到，再根据分数的基本性质，等于，列出方程即可解答．【规范解答】解：设减去的数是x，     ＝2（181﹣x）＝5（97﹣x）      362﹣2x＝485﹣5x        5x﹣2x＝485﹣362             3x＝123               x＝41答：减去的数是41．【考点评析】本题考查了分数的基本性质的应用．要注意分数的分子和分母同时减去同一个数后和相等