专题14 和倍问题 2022-2023学年三年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

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2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题14 和倍问题专题简析：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和－小数=大数【典例分析01】 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？【思路引导】将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。如图所示：由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。【典例分析02】小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？【思路引导】我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。【典例分析03】被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？【思路引导】由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有这样的7份，一共7＋1=8份。除数：320÷8=40被除数：40×7=280【典例分析04】两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和除数分别为多少？【思路引导】被除数、除数、商和余数的和是479，减去商17和余数6，得到被除数与除数的和为479－17－6=456；又因为被除数比除数的17倍多6，所以456－6=450就相当于除数的（17＋1）倍，因此除数为450÷（17＋1）=25，被除数为25×17＋6=431。【典例分析05】 两个数之和是792，其中一个数的最后一位数数字是0，如果把0去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？【思路引导】把一个数的最后一位数字0去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中大数是小数的10倍。又已知两个数之和是792，那我们就可以求出这两个数分别是多少了。小数：792÷（10＋1）=72大数：72×10=720一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）甲乙共有360元，甲的钱是乙的3倍，乙的钱是（　　）元．A．90 B．120 C．1080【思路引导】把乙的钱数看做1份，则甲的钱数就是3份，则他们的总钱数就是4份，由此求出1份，即求出乙的钱数．【规范解答】解：3+1＝4，360÷4＝90（元），答：乙有90元．故选：A．【考点评析】根据甲乙钱数的倍数关系和甲乙共有的钱数，利用和倍公式即可解答．2．（2分）（2022秋•灌云县期末）学校花坛里有月季花和玫瑰花共114棵，玫瑰花的棵数是月季花的一半，月季花有（　　）棵。A．72 B．38 C．76【思路引导】玫瑰花的棵数是月季花的一半，可以理解为月季花是玫瑰花棵数的2倍，学校花坛里有月季花和玫瑰花共114棵，即玫瑰花棵数的（2+1）倍是114棵，由此根据已知一个数的几倍的多少，求这个数，用除法求出玫瑰花的棵数，进而求出月季花的棵数。【规范解答】解：114÷（1+2）×2＝114÷3×2＝76（棵）答：月季花有76棵。故选：C。【考点评析】明确玫瑰花棵数的（2+1）倍是114棵，由此根据已知一个数的几倍的多少，求这个数，用除法求出玫瑰花的棵数，是解答此题的关键。3．（2分）（2022春•大同期中）小阳有26张卡片，小光的卡片数是小阳的3倍。小阳的卡片数比小光的卡片数少（　　）张。A．52 B．78 C．104【思路引导】用小阳卡片的张数乘3，可以计算出小光有卡片的张数，再用小光有卡片的张数减去小阳有卡片的张数，可以计算出小阳的卡片数比小光的卡片数少多少张。【规范解答】解：26×3﹣26＝78﹣26＝52（张）答：小阳的卡片数比小光的卡片数少52张。故选：A。【考点评析】本题考查表内乘法的应用，理解求几个相同加数的和用乘法计算，求两个数的差用减法计算。4．（2分）（2022秋•英山县期末）足球社团共有40名学生，男生人数是女生的4倍，这个社团男生有（　　）人。A．20 B．25 C．32【思路引导】把女生人数看作1份，则男生人数是4份，用40除以（1+4）求1份的人数，再乘4即可。【规范解答】解：40÷（4+1）×4＝40÷5×4＝8×4＝32（人）答：这个社团男生有32人。故选：C。【考点评析】本题主要考查和倍问题的应用。5．（2分）（2021春•青神县期末）已知2个数的和是84，大数是小数的6倍。小数是（　　）A．11 B．12 C．13【思路引导】因为大数是小数的6倍，所以大数+小数＝小数×7，所以小数＝84÷7＝12，据此回答。【规范解答】解：根据题意得小数＝84÷（6+1）＝84÷7＝12故选：B。【考点评析】本题考查了和倍问题，是易错题。二．填空题（共8小题，满分17分）6．（2分）（2022秋•泗洪县期末）冬冬一家3口去绿地公园游玩。买了2张成人票和1张儿童票，一共付了75元。每张成人票的价格是每张儿童票价格的2倍。一张成人票 　30　元，一张儿童票 　15　元。【思路引导】根据题意，老师买了2张成人票和1张儿童票，成人票的价格是儿童票的2倍，相当于买了2×2+1＝5（张）儿童票，共用了75元，用除法计算得出一张儿童票的价钱，然后再进一步解答。【规范解答】解：75÷（2×2+1）＝75÷5＝15（元）15×2＝30（元）答：一张成人票30元，一张儿童票15元。故答案为：30，15。【考点评析】根据成人票的价格与儿童票价格的倍数关系，以及共花去的钱数，由和倍公式进一步解答。7．（2分）（2019春•曾都区期末）三年级和六年级同学一共植树186棵，六年级植树的棵数是三年级的2倍，三年级植树　62　棵，六年级植树　124　棵．【思路引导】三年级和六年级同学一共植树186棵，六年级植树的棵数是三年级的2倍，那么一共植树的棵数就是三年级的2+1＝3倍，用186÷3＝62棵求出三年级的棵数，然后再用三年级的棵数乘上2，就是六年级的．【规范解答】解：186÷（2+1）＝186÷3＝62（棵）62×2＝124（棵）答：三年级植树62棵，六年级植树124棵．故答案为：62，124．【考点评析】已知两个数的和与倍数关系，根据和倍公式和÷（倍数+1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数进行解答．8．（2分）（2022秋•宜阳县期末）小童和妈妈去看电影，买两张票一共用去108元。小童的票价是妈妈的一半，妈妈的票价是 　72　元。【思路引导】小童的票价是妈妈的一半，那么妈妈一张票就相当于小童的2张票，108元就是买了3张小童的票，用108除以3即可求出小童的电影票价是多少元，进而求出妈妈的电影票票价是多少元。【规范解答】解：108÷（1+2）×2＝108÷3×2＝36×2＝72（元）答：妈妈的电影票票价是72元。故答案为：72。【考点评析】解决本题把妈妈的电影票需要的钱数转化成2张小童电影票需要的钱数，再根据除法平均分的意义求解。9．（3分）（2022秋•花溪区期末）红花：黄花：黄花的朵数是红花的 　4　倍；如果红花是40朵，那么黄花有 　160　朵；如果黄花有320朵，那么红花有 　80　朵。【思路引导】用红花的朵数乘4，即可求出黄花的朵数，用黄花的朵数除以4，即可求出红花的朵数。【规范解答】解：40×4＝160（朵）320÷4＝80（朵）答：黄花的朵数是红花的4倍；如果红花是40朵，那么黄花有160朵；如果黄花有320朵，那么红花有80朵。故答案为：4；160；80。【考点评析】本题考查一位数除整十、整百数的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。10．（2分）（2022秋•沭阳县校级月考）琪琪和爸爸一起玩投球游戏，两个人一共投进去42个球，爸爸投进去的球是琪琪的6倍，琪琪投进去了 　6　个，爸爸投进去了 　36　个。【思路引导】把琪琪投进的个数看作1份，爸爸投进去的球是琪琪的6倍，则爸爸投进去的个数就是6份，用两个人一共投进去的球的个数除以（1+7）份，即可求出琪琪投进的个数，再乘6就是爸爸投进去的个数。【规范解答】解：42÷（1+6）＝42÷7＝6（个）6×6＝36（个）答：琪琪投进去了6个，爸爸投进去了36个。故答案为：6；36。【考点评析】熟练掌握和倍问题的计算方法是解题的关键。11．（2分）（2021秋•盐城期末）在学校组织的迎新年绘画展中，三年级和四年级一共展出了96幅画，三年级展出的数量是四年级的一半，三年级展出了 　32　幅画。【思路引导】根据题意，两个年级展出绘画的和是96幅，四年级展出的图画是三年级的2倍，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，计算出三年级展出绘画的数量，再用三年级展出绘画的数量乘2，计算出四年级展出绘画的数量。【规范解答】解：96÷（2+1）＝96÷3＝32（幅）答：三年级展出了32幅画。故答案为：32。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。12．（2分）（2022春•灵台县期末）参观科技馆的成人人数是儿童的2倍．如果一共有456人参观，儿童有　152　人．【思路引导】根据题意，可得总人数就是儿童的（2+1）倍，由和倍公式“两数和÷份数和＝小数”解答即可．【规范解答】解：456÷（2+1）＝456÷3＝152（人）答：儿童有152人．故答案为：152．【考点评析】根据题意，知道两个数的和与倍数之间的关系，由和倍公式进一步解答．13．（2分）（2021春•平山县期中）阳光小学举办第三届《成语大会》活动，三年级和四年级共有276人参加活动，已知三年级参加的人数是四年级的2倍，三年级有 　184　人参加活动。【思路引导】把四年级参加的人数看作1份，则三年级参加的人数是2份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，计算出四年级的人数，最后用四年级的人数乘2，计算出三年级有多少人参加活动。【规范解答】解：276÷（2+1）＝276÷3＝92（人）92×2＝184（人）答：三年级有184人参加活动。故答案为：184。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。三．判断题（共3小题，满分6分，每小题2分）14．（2分）甲是乙、丙两数和的6倍，正确列式为：甲＝乙+丙×6．　×　．（判断对错）【思路引导】要求甲数，就是求乙、丙两数和的6倍是多少，用乘法解答，即甲＝（乙+丙）×6．【规范解答】解：求甲数，正确列式为：甲＝（乙+丙）×6．故答案为：×．【考点评析】求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答．15．（2分）（2021秋•邢台期末）一行有12个〇，需要涂红、绿两种颜色。要求红色〇的个数是绿色〇的3倍，绿色〇应该涂4个。 　×　（判断对错）【思路引导】红色〇的个数是绿色〇的3倍，则总个数是绿色〇的（3+1）倍，据此用除法解答。【规范解答】解：12÷（3+1）＝12÷4＝3（个）绿色〇应该涂3个。故原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】此题的关键是明确总个数是绿色〇个数的4倍，然后再进一步解答。16．（2分）（2015秋•成都期末）一束花里有百合和玫瑰共24枝，百合的枝数是玫瑰的3倍，百合有18枝．　√　（判断对错）【思路引导】百合的枝数是玫瑰的3倍，百合和玫瑰共24枝是玫瑰的3+1＝4倍，用除法即可得玫瑰的枝数，再求百合的枝数，再判断即可．【规范解答】解：24÷（3+1）＝24÷4＝6（枝），24﹣6＝18（枝），答：百合有18枝，本题说法正确．故答案为：√．【考点评析】本题考查了和倍问题，关键是得出百合和玫瑰共24枝是玫瑰的3+1＝4倍．四．应用题（共14小题，满分67分）17．（4分）（2022春•屯昌县期末）文具店有足球和篮球共45个，已知足球的个数比篮球的3倍多5个，文具店里有足球和篮球各多少个？【思路引导】足球的个数比篮球的3倍多5个，则足球和篮球一共的个数减5个，即是篮球的（3+1）倍，用除法计算，即可得篮球的个数，再求足球的个数即可。【规范解答】解：（45﹣5）÷（3+1）＝40÷4＝10（个）45﹣10＝35（个）答：文具店里有足球35个，篮球10个。【考点评析】本题主要考查了和倍问题，用到两数和÷份数和＝小数。18．（4分）（2021秋•灌云县期末）明明和小花共有水彩笔37支，明明水彩笔的支数比小花的3倍多5支，明明有多少支水彩笔？【思路引导】用总支数减去多的5支，再除以明明和小华一共的份数（1+3），即可求出小花的支数，再用小花的支数乘3再加上5，即可求出明明有多少支水彩笔。【规范解答】解：（37﹣5）÷（1+3）＝32÷4＝8（支）8×3+5＝24+5＝29（支）答：明明有29支水彩笔。【考点评析】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。19．（4分）（2021春•丹江口市期中）妈妈买了一件上衣、一条裤子和一条丝巾，共用了280元，已知上衣的价钱是丝巾的5倍，裤子的价钱是丝巾的2倍．上衣、裤子、丝巾的价钱分别是多少？【思路引导】根据题意，设一条丝巾x元，则上衣为5x，裤子为2x，根据题意列方程为：x+2x+5x＝280，解方程就出丝巾价钱，然后求上衣和裤子的价钱即可．【规范解答】解：设一条丝巾x元，则上衣为5x，裤子为2x，x+2x+5x＝280         8x＝280           x＝355×35＝175（元）2×35＝70（元）答：一件上衣175元，一条裤子70元，一条丝巾35元．【考点评析】此题是典型的和倍问题，用倍数的等量关系设出未知数，用和的等量关系列出方程即可解决此类问题．20．（5分）（2020春•灞桥区期中）书店购进《成语故事》和《数学故事》共540本，其中《成语故事》的本数是《数学故事》的2倍。购进《数学故事》多少本？【思路引导】书店购进《成语故事》和《数学故事》共540本，《成语故事》的本数是《数学故事》的2倍，两种数的本数和就是《数学故事》本数2+1＝3倍，用540除以3即可求出《数学故事》的本数。【规范解答】解：540÷（2+1）＝540÷3＝180（本）答：购进《数学故事》180本。【考点评析】已知两个数的和与倍数关系，根据和倍公式：和÷（倍数+1）＝较小数进行解答。21．（5分）（2021秋•会同县期末）果园里有苹果树、桃树和梨树。苹果树有8棵，桃树的棵数是苹果树的2倍，苹果树的棵数是梨树的2倍，桃树和梨树各有多少棵？【思路引导】根据“苹果树有8棵，桃树的棵数是苹果树的2倍”可根据乘法的意义，求出桃树的棵数，由“苹果树的棵数是梨树的2倍”可知，知道苹果树的棵数，求梨的棵数，根据除法的意义解答。【规范解答】解：8×2＝16（棵）8÷2＝4（棵）答：桃树有16棵，梨树有4棵。【考点评析】已知一个数，求出这个数的几倍是多少，用乘法计算；已知一个数是另一个数的几倍，求这个数，用除法计算。22．（5分）（2021春•新野县期末）植树节一、二年级一共植树126棵，二年级植树的棵数是一年级的2倍，二年级植树多少棵？【思路引导】把一年级植树的棵数看作1份，二年级植树的棵数看作2份，根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，计算出一年级植树的棵数，再用一年级植树的棵数乘2，计算出二年级植树多少棵。【规范解答】解：126÷（2+1）＝126÷3＝42（棵）答：，二年级植树42棵。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。23．（5分）（2022秋•冷水滩区期末）学校合唱队有45人，其中男生人数是女生人数的4倍，请问合唱队里的男生和女生各有多少人？【思路引导】把女生人数看作1份，则男生人数是4份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。【规范解答】解：45÷（4+1）＝45÷5＝9（人）9×4＝36（人）答：男生有36人，女生有9人。【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。24．（5分）（2022春•侯马市期末）张大伯一共养了147只鸡，母鸡的只数是公鸡的6倍。母鸡和公鸡各有多少只？【思路引导】母鸡的只数是公鸡的6倍，所以张大伯一共养了147只鸡是公鸡的（6+1）倍，用除法计算，即可得公鸡的只数，再求母鸡只数即可。【规范解答】解：147÷（6+1）＝147÷7＝21（只）147﹣21＝126（只）答：母鸡有126只，公鸡有21只。【考点评析】本题主要考查了和倍问题，关键是得出张大伯一共养了147只鸡是公鸡的（6+1）倍。25．（5分）（2021秋•舒兰市期末）甲桶有油70千克，乙桶有油20千克，甲桶倒入乙桶 　40　千克油，乙桶油的质量才是甲桶油质量的2倍。【思路引导】因桶中油的总重量不变，当乙桶中油的质量才是甲桶质量的2倍时，油的总重量应是甲桶质量的2+1＝3倍，据此可求出现在甲桶中油的质量，再用原来甲桶中油的质量去减现在甲桶油中的质量，就是甲桶倒入乙桶油的质量，据此解答。【规范解答】解：70﹣（70+20）÷（2+1）＝70﹣90÷3＝70﹣30＝40（千克）答：甲桶倒入乙桶40千克油，乙桶中油的质量才是甲桶质量的2倍。故答案为：40。【考点评析】本题的重点是根据油的总质量不变，求出倒完后甲桶油的质量，进而求出甲桶倒入乙桶油的质量。26．（5分）（2021秋•龙港市期中）两个篮子里共有42个桃子，从第一个篮子里拿走12个桃子，这时第一个篮子里的桃子个数是第二个篮子桃子数的5倍，原来第一个篮子里有多少个桃子？【思路引导】拿走12个桃子后，总数就是30，又知这时第一个篮子里的桃子个数是第二个篮子桃子数的5倍，就是说把这时的总数平均分成了6份，第一个篮子里的桃子占5份。求出拿走后的，原来的即可求。【规范解答】解：（42﹣12）÷（5+1）＝30÷6＝5（个）5×5+12＝25+12＝37（个）答：原来第一个篮子里有37个桃子。【考点评析】明确数量之间的倍数关系是解决本题的关键。27．（5分）（2017春•下城区校级期中）参加科技馆的成人人数是儿童的3倍．如果一共有240人参观，儿童有多少人？【思路引导】要求儿童有多少人，根据题意可知：把儿童的人数看作1倍，成人人数是其3倍，即儿童人数的（3+1）倍是240人；根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答即可．【规范解答】解：240÷（3+1），＝240÷4，＝60（人）；答：儿童有60人．【考点评析】此题解答的关键是：把儿童的人数看作1倍，成人则是3倍，进而根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答即可得出结论．28．（5分）（2022秋•于洪区期末）一条裤子49元，一件上衣的价钱是一条裤子价钱的2倍．买这样一套衣服，需要多少钱？【思路引导】由“一件上衣的价钱是一条裤子价钱的2倍”，把裤子价钱看作单位“1”，则买这样一套衣服的总价钱就是裤子价钱的3倍，那么买这样一套衣服，需要49×3，解决问题．【规范解答】解：49×（2+1）＝49×3＝147（元）．答：买这样一套衣服，需要147元．【考点评析】此题属于和倍问题，运用了关系式：1倍数（较小数）×（倍数+1）＝总数．29．（5分）（2019春•射阳县期末）师徒两人共同加工156零件，师傅加工的是徒弟的3倍．师傅加工了多少个？【思路引导】由题意可知，两人共同加工零件156个，是徒弟加工零件个数的（3+1）倍，由此用除法可求得徒弟加工的个数，进而求得师傅加工的个数．【规范解答】解：156÷（3+1）＝156÷4＝39（个）156﹣39＝117（个）答：师傅加工了117个．【考点评析】此题考查了和倍公式“和÷（倍数+1）＝小数”的灵活运用．30．（5分）（2020秋•湖里区期中）一支钢笔和一支圆珠笔共21元，钢笔的单价是圆珠笔的6倍，圆珠笔和钢笔的单价各是多少？【思路引导】根据题干，圆珠笔的单价看做1份，则钢笔的单价就是6份，那么一支钢笔和一支圆珠笔共21元，对应的份数就是1+6＝7份，据此求出1份是多少，即可解答问题．【规范解答】解：21÷（6+1）＝21÷7＝3（元）3×6＝18（元）答：圆珠笔每支3元，钢笔每支18元．【考点评析】此题考查了利用和倍公式解决实际问题的灵活应用