2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第05讲 立方根

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第05讲 立方根
学习目标
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，求含参数的立方根.
3.掌握立方根的有关运算及实际应用

知识点1：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.

2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

知识点2：立方根的性质

注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

知识点3： 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.


考点一：立方根的概念及性质
例1．（2023春•蜀山区校级期中）﹣64的立方根是（　　）
A．﹣4 B．±4 C．±2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：﹣64的立方根是﹣4，
故选：A．
【变式1-1】（2023春•鄂城区期中）的平方根是（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．±8
【答案】A
【解答】解：∵＝4，4的平方根为±2，
∴±2．
故选：A．
【变式1-2】（2023春•芜湖期中）若一个正方体的体积是64，则它的棱长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【解答】解：设正方体的棱长是a，
由题意得：a3＝64，
∴a＝4．
故选：A．
【变式1-3】（2022秋•遂平县期末）3是27的（　　）
A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方
【答案】C
【解答】解：∵33＝27，
∴3是27的立方根，
故选：C．
考点二：立方根的性质
例2.（2023春•海珠区校级期中）若x、y为实数，且满足，则xy的立方根为 　　．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵，
∴x+3＝0，9﹣y＝0，
∴x＝﹣3，y＝9，
∴xy＝﹣3×9＝﹣27，
∴，
故答案为：﹣3．
【变式2-1】（2022•杭州模拟）已知实数a，b满足|a﹣1|+＝0，则（a+b）2023的立方根是 　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，|a﹣1|≥0，≥0，
∴|a﹣1|＝0，＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴（a+b）2023的立方根是﹣1．
故答案为：﹣1．
【变式2-2】（2019秋•历城区期中）若+|n+2|＝0，则＝ 　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵+|n+2|＝0，
∴m﹣4＝0，n+2＝0，
∴m＝4，n＝﹣2．
∴＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式2-3】（2021秋•阜新县校级期末）若+|b+4|＝0，则﹣ab的立方根为 　　．
【答案】2．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+4＝0，
解得a＝2，b＝﹣4，
∴﹣ab＝﹣2×（﹣4）＝8，
∵23＝8，
∴﹣ab的立方根为2．
故答案为：2．
考点三：开立方运算中小数点移动规律
例3.（2023春•西城区校级月考）已知：，则（　　）
A．﹣46800 B．﹣4680 C．﹣46.8 D．﹣4.68
【答案】A
【解答】解：，则，括号里应为﹣46800，
故选：A．
【变式3-1】（2022秋•秦都区期末）﹣的立方根为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】A
【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，
∴﹣的立方根为﹣．
故选：A．
【变式3-2】（2022秋•射洪市期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（　　）
A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3
【答案】A
【解答】解：∵≈2.872，
∴约等于28.72．
故选：A．
【变式3-3】（2023春•青云谱区校级期中）已知，，，，则　 　．
【答案】﹣10.38．
【解答】解：∵，
∴﹣10.38．
故答案为：﹣10.38．
考点四：利用开立方解方程
例4.（2022秋•姑苏区校级期中）求下列各式中x的值：
（x﹣1）3＝﹣125．
【解答】解：（x﹣1）3＝﹣125，
x﹣1＝﹣5，
解得x＝﹣4．
【变式4-1】（2022秋•高新区校级期中）求下面各式中的x：
（x﹣1）3+8＝0．
【解答】解∵（x﹣1）3+8＝0，
∴（x﹣13＝﹣8，
∴x﹣1＝＝﹣2，
∴x＝﹣1．
【变式4-2】（2022秋•沈北新区期中）求下列各式中x的值：
﹣8（x﹣3）3＝27．
【解答】解：∵﹣8（x﹣3）3＝27，
∴．
∴x﹣3＝﹣．
∴x＝．
【变式4-3】（2022秋•苏州期中）求下列各式中的x：
；
【解答】解：（x﹣1）3＝﹣4，
（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣1＝﹣2，
x＝﹣1；
考点五：平方根与立方根的综合
例5.（2023春•天河区校级期中）已知：a的平方根是2x﹣11和x+5．
（1）求x和a的值；
（2）求a的立方根．
【答案】（1）x＝2，a＝49；（2）．
【解答】解：（1）∵2x﹣11和x+5是a的平方根，∴2x﹣11+x+5＝0，
解得x＝2，
这时x+5＝7，
∴a＝72＝49；
（2）由（1），知a＝49，
∴a的立方根是．
【变式5-1】（2023春•浏阳市期中）已知3a﹣5的立方根是﹣2，b的两个平方根分别为m和1﹣5m．
（1）求a，b的值；
（2）求的值．
【答案】（1）a＝﹣1；；（2）．
【解答】解：（1）∵3a﹣5的立方根是﹣2，
∴3a﹣5＝﹣8，
解得a＝﹣1；
∵b的两个平方根分别为m和1﹣5m，
∴1﹣5m+m＝0，
解得，
∴；
（2）解：∵a＝﹣1，，
∴．
【变式5-2】（2023春•丰台区校级期中）已知：2a﹣5与a+11是某正数的两个不相等的平方根，b﹣22的立方根是﹣2．求：
（1）a，b的值；
（2）b﹣a的算术平方根．
【答案】（1）a的值为﹣2，b的值为14；
（2）b﹣a的算术平方根是4．
【解答】解：（1）∵2a﹣5与a+11是某正数的两个不相等的平方根，
∴2a﹣5+a+11＝0，
解得：a＝﹣2，
∵b﹣22的立方根是﹣2，
∴b﹣22＝﹣8，
解得：b＝14，
∴a的值为﹣2，b的值为14；
（2）∵a＝﹣2，b＝14，
∴b﹣a＝14﹣（﹣2）＝14+2＝16，
∴b﹣a的算术平方根是4．
【变式5-3】（2023春•南宁期中）已知3m+1的平方根是±2，5n﹣2的立方根是2．
（1）求出m和n的值；
（2）求出的平方根．
【答案】（1）m＝1，n＝2；
（2）±3．
【解答】解：（1）由题意得，3m+1＝4，5n﹣2＝8，
解得m＝1，n＝2；
（2）∵m＝1，n＝2，
∴4m+n＝4+5＝9，
∴±＝±3，
∴的平方根为±3．

考点六：立方根的应用
例6.（2023春•庐阳区校级期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．

【答案】6cm．
【解答】解：设正方体的棱长为xcm，由题意得，
π×62×2＝x3，
解得x＝6，
答：正方体的棱长约为6cm．
【变式6-1】（2022春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的棱长．
【答案】cm．
【解答】解：根据题意得：＝＝（cm），
则原来正方体钢铁的棱长为 cm．
【变式6-2】（2023春•普兰店区期中）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设截得的每个小正方体的棱长xcm，
依题意得
1000﹣8x3＝488，
∴8x3＝512，
∴x＝4，
答：截得的每个小正方体的棱长是4cm．
【变式6-3】（2022春•梅里斯区期中）王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这4本字典放入一个容积为512cm3的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度．
【答案】一本字典的厚度为2cm．
【解答】解：∵正方体礼盒的容积为512cm3，
∴正方体礼盒的边长为＝8（cm），
∴一本字典的厚度为8÷4＝2（cm），
答：一本字典的厚度为2cm．

1．（2023•兴庆区校级模拟）下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：＝2，A错误；
＝4，B错误；
＝﹣2，C正确；
（﹣）2＝2，D错误，
故选：C．
2．（2022•陇西县校级二模）若一个正方体的体积是8，则它的棱长是（　　）
A．±±2 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：设正方体的棱长为a，则：
a＝＝2．
故选：B．
3．（2022•武安市一模）若取1.71，计算4﹣8+104﹣100的结果是（　　）
A．71 B．171 C．1.71 D．17.1
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣4+104﹣100
＝100×1.71﹣100
＝171﹣100
＝71，
故选：A．
4．（2022•盈江县模拟）已知a，b都是实数．若|a﹣4|+＝0，则＝　 　．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵|a﹣4|≥0，≥0，
∴a﹣4＝0，b+2＝0，
∴a＝4，b＝﹣2，
∴＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
5．（2023•东胜区模拟）若某正数的两个平方根分别是3a+b与2b﹣3a﹣24，则b的立方根是 　　．
【答案】2．
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是3a+b与2b﹣3a﹣24，
∴3a+b+2b﹣3a﹣24＝0，
∴b＝8，
∴b的立方根是2．
故答案为：2．
6．（2023•道县一模）一个数的立方根是﹣2，则这个数是　 　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝﹣2，
这个数＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
7．（2022•肇东市校级四模）若代数式+x0有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
【答案】x≠0．
【解答】解：在中，2x+1为任何实数，则x为任意实数，
在x0中x≠0，
所以实数x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0．
8．（2022•文山州模拟）已知实数a、b满足|a+3|+（b+5）2＝0，则a+b的立方根是 　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵|a+3|+（b+5）2＝0，|a+3|≥0，（b+5）2≥0，
∴a+3＝0，b+5＝0，
解得a＝﹣3，b＝﹣5，
∴a+b＝﹣8，
∴a+b的立方根为＝﹣2，
故答案为：﹣2．
9．（2022•定陶区校级二模）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 　 　．

【答案】．
【解答】解：由于由8个同样大小的立方体组成的魔方的体积为8，
所以每个小正方体的体积为1，
即小正方体的棱长为1，
所以正方形ABCD的边长AB＝＝，
故答案为：．
10．（2022•丹江口市模拟）定义一种新的运算：a⊗b＝．计算：5⊗（1⊗8）＝　　．
【答案】5．
【解答】解：∵a⊗b＝，
∴5⊗（1⊗8）
＝5⊗
＝5⊗2
＝3×5﹣5×2
＝15﹣10
＝5．
故答案为：5．


1．（2023春•岳麓区校级月考）立方根等于它本身的有（　　）
A．﹣1，0，1 B．0 C．0，﹣1 D．1
【答案】A
【解答】解：立方根等于它本身的有﹣1，0，1．
故选：A．
2．（2022秋•万州区期末）4的算术平方根与的积是（　　）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
【答案】D
【解答】解：∵4的算术平方根是2，＝﹣3，
∴2×（﹣3）＝﹣6．
故选：D．
3．（2021•衡阳）下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3
【答案】B
【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；
根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；
、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
4．（2023春•崇川区期中）若（1﹣x）3＝64，则x的值是 　　．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵（1﹣x）3＝64，
∴1﹣x＝4，
∴x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
5．（2023春•长沙期中）我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为64cm3的魔方，则魔方的棱长为 　　cm．

【答案】4．
【解答】解：根据题意得，设正方体的棱长为x，
∴x3＝64，则x＝4，
∴正方体的棱长为4cm，
故答案为：4．
6．（2023春•鼓楼区期中）小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为 　 　．
【答案】64．
【解答】解：∵2是4的算术平方根，64的立方根为4，
∴输入的数为64．
故答案为：64．
7．（2023春•袁州区校级月考）如果，，那么　 ．
【答案】28.72．
【解答】解：≈2.872，
∴≈2.872×10≈28.72．
故答案为：28.72．
8．（2022秋•卧龙区校级期末）已知实数a、b满足|a+13|+（b+14）2＝0，则a+b的立方根是 　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵|a+13|+（b+14）2＝0，|a+13|≥0，（b+14）2≥0，
∴a+13＝0，b+14＝0，
解得a＝﹣13，b＝﹣14，
∴a+b＝﹣27，
∴a+b的立方根为＝﹣3，
故答案为：﹣3．
9．（2023春•江油市月考）已知2x+7y+1的算术平方根是6，8x+3y的立方根是5，则x+y的平方根为 　 　．
【答案】±4．
【解答】解：∵2x+7y+1的算术平方根是6，
∴2x+7y+1＝36，
即2x+7y＝35，
∵8x+3y的立方根是5，
∴8x+3y＝125，
解，
得，
∴x+y＝16，
∴x+y的平方根为±4．
故答案为：±4．
10．（2023春•东莞市月考）已知2a+1和a﹣7是某数的两个平方根，4﹣3b的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【答案】（1）a＝2，b＝4；（2）．
【解答】解：（1）∵2a+1和a﹣7是某数的两个平方根，
∴2a+1+a﹣7＝0，
∴a＝2，
∵4﹣3b的立方根是﹣2，
∴4﹣3b＝（﹣2）3，
∴b＝4，
（2）a+b
＝2+4
＝6，
∴a+b的算术平方根是．
11．若一个正方体铁块的体积是现将它重铸成8个同样大小的小正方体铁块，求每个小正方体铁块的表面积．
【答案】每个小正方体木块的表面积为cm2．
【解答】解：设小正方体木块的棱长为xcm，
根据题意得，8x3＝3，
∴x3＝，
∴x＝．
∴每个小正方体木块的表面积为6×（）2＝（cm2）．
答：每个小正方体木块的表面积为cm2．
12．（2023春•谯城区校级月考）观察下列规律回答问题：＝﹣0.1，＝﹣1，＝﹣10，＝0.1，＝1，＝10…
（1）则＝　 　；＝　 　；按上述规律，已知数a小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？
（2）已知＝1.587，若＝﹣0.1587，用含x的代数式表示y，则y＝　 　；
（3）根据规律写出与a的大小情况．
【答案】（1）0.01、100；
（2）﹣；
（3）当a＜﹣1或0＜a＜1时，＞a；
当a＝﹣1或a＝1时，＝a；
当﹣1＜a＜0或a＞1时，＜a．
【解答】解：（1）＝0.01；＝100；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：0.01、100；
（2）已知＝1.587，若＝﹣0.1587，用含x的代数式表示y，则y＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）∵＝﹣0.1，＝﹣1，＝﹣10，＝0.1，＝1，＝10…
∴与a的大小情况为：
当﹣1＜a＜0或0＜a＜1时，＞a；
当a＝﹣1或a＝1时，＝a；
当a＜﹣1或a＞1时，＜a．