2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第12讲 正比例函数

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第12讲 正比例函数
学习目标
1. 理解正比例函数的定义；
2. 学会观察正比例函数图像并分析，判断函数值随自变量的变化而变化 ；
3. 掌握正比例函数性质。

知识点1：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
知识点2：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号
图像
经过象限
性质


k＞0



第一、三象限


y随x的增大而增大


k＜0



第二、四象限


y随x的增大而较少

知识点3：待定系数法求正比例函数解析式
1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．
2.确定正比例函数表达式的一般步骤：
(1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——；
(3)求——k；
(4)写——

考点一：正比例函数的定义
例1．（2022春•兴隆县期中）下列函数中是正比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x2 D．y＝﹣
【答案】A
【解答】解：A、y为x的正比例函数，所以A选项符合题意；
B、y是x的一次次函数，所以B选项不符合题意；
C、y为x的二次函数，所以C选项不符合题意；
D、y是x的反比例函数，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】（2022春•东莞市期中）在下列四个函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝
【答案】D
【解答】解：根据正比例函数的定义，y＝是正比例函数，
故选：D．
【变式1-2】（2022春•东城区期中）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝3x﹣5
【答案】A
【解答】解：A、y为x的正比例函数，所以A选项符合题意；
B、y是x的二次函数，所以B选项不符合题意；
C、y为x的反比例函数，所以C选项不符合题意；
D、y是x的一次函数，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-3】（2021春•临沂期末）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（　　）
A．汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系
B．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系
C．某水池有水15m3，我打开进水管进水，进水速度5m3/h，xh后水池有水ym3
D．有一个棱长为x的正方体，则它的表面积S与棱长x之间的函数关系
【答案】A
【解答】解：选项A：y＝80x，属于正比例函数，两个变量之间成正比例函数关系，符合题意；
选项B：y＝πx2，属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意；
选项C：y＝15+5x，属于一次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意；
选项D：S＝6x2，属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意；
故选：A．
考点二： 判断正比例函数图像所在象限
例2.（2020秋•英德市期中）正比例函数y＝3x的图象经过（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】B
【解答】解：正比例函数y＝3x中k＝3＞0，
因此图象经过第一、三象限，
故选：B．
【变式2-1】函数y＝﹣3x的图象经过（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解答】解：∵y＝﹣3x，﹣3＜0，
∴函数y＝﹣3x经过第二、四象限且经过原点，
故选：C．
【变式2-2】下列正比例函数中，y随x的增大而增大的函数是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x
【答案】B
【解答】解：∵正比例函数中，y随x的值增大而增大，
∴k＞0，
A、k＝﹣1＞0，故本选项不符合题意；
B、k＝1＞0，故本选项符合题意；
C、k＝﹣3＜0，故本选项不符合题意；
D、k＝﹣＜0，故本选项不符合题意；
故选：B．
考点三：正比例函数的性质
例3.已知正比例函数y＝x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵正比例函数y＝x中＞0，
∴y随x的增大而增大，y随x的减小而减小，故①正确，②正确；
③当x＞0时，y＞0，正确；
④当x＞1时，y＞，错误，
∴正确的是①②③，
故选：C．
【变式3-1】已知函数y＝（m﹣2）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，则下列判断正确的是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＜2 D．m＞2
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，
∴m﹣2＞0，
解得m＞2，
故选：D．
【变式3-2】（2020•碑林区校级模拟）正比例函数y＝﹣x，当y每增加6时，则x对应的变化情况为（　　）
A．减小9 B．增加9 C．减小4 D．增加4
【答案】C
【解答】解：当y＝6时，﹣x＝6，解得x＝﹣4，
所以当y每增加6时，则x对应的减小4．
故选：C．
【变式3-3】（2021春•沙河口区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（　　）
A．a≥b B．a＞b C．a≤b D．a＜b
【答案】D
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1＜1，
∴a＜b，
故选：D．
考点四：判断正比例函数的比例系数大小
例4.（2021春•双辽市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系　 　．

【答案】b＞a＞c
【解答】解：由图象可得，
c＜0，b＞a＞0，
∴b＞a＞c，
故答案为：b＞a＞c．
【变式4】正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k、m、n的大小关系是 　 　（用“＞”号连接）．

【答案】k＞m＞n
【解答】解：∵正比例函数y＝nx经过二、四象限，y＝kx与y＝mx经过一、三象限，
∴n＜0，k＞0，m＞0．
又∵y＝kx经过（1，k），y＝mx经过（1，m），
当x＞0时，y＝kx的图象在y＝mx的上方，
∴k＞m，
故答案为：k＞m＞n．
考点五：待定系数法求正比例函数解析式
例5.（2022秋•蒲城县期末）已知：y与x成正比例，且当x＝5时，y＝2．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝5时，x的值是多少？
【解答】解：（1）设y＝kx，
把x＝5，y＝2代入得5k＝2，
解得k＝，
∴y与x之间的函数表达式为y＝x；
（2）当y＝5时，5＝x，
解得x＝．
【变式5-1】（2022秋•城关区校级期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，
（1）求m的值，
（2）求这个函数的解析式．
【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，
∴将点（，1）代入正比例函数y＝（3m﹣1）x，
即：1＝（3m﹣1）×，
整理得：3m＝3，
解得：m＝1；
∴m的值为1；

（2）解：∵m的值为1；
∴代入y＝（3m﹣1）x，即可求出，
y＝（3×1﹣1）x＝2x，
∴这个函数的解析式为：y＝2x．
【变式5-2】（2022春•白河县期末）已知y是x的正比例函数，且当x＝3时，y＝﹣6．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）若点（a，y1），（a+1，y2）在该函数图象上，试比较y1，y2的大小．
【解答】解：（1）设正比例函数的解析式是y＝kx（k≠0），
∵当x＝3时，y＝﹣6，
∴3k＝﹣6，
解得k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式是y＝﹣2x；
（2）∵﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又a＜a+1，
∴y1＞y2．
【变式5-3】（2021秋•莲湖区期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3），
则y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3），
由题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3），
即y＝2x+6，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6．
考点六：正比例函数的图像性质综合
例5.（2022春•老城区校级期中）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为5，且△AOH的面积为10．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在坐标轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为8？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点A的横坐标为5，且△AOH的面积为10
∴点A的纵坐标为﹣4，点A的坐标为（5，﹣4），
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴5k＝﹣4，解得，
∴正比例函数的解析式是；
（2）∵点A的坐标为（5，﹣4），△AOP的面积为8，
当点P在x轴上，有，
解得：x＝±4，
∴点P的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
当点P在y轴上，有，
解得：，
∴点P的坐标为：或；
综合上述，点P的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或或．
【变式6】（2022春•德城区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8，
∴•4•AH＝8，
解得AH＝4，
∴A（4，﹣4），
把A（4，﹣4）代入y＝kx得4k＝﹣4，
解得k＝﹣1，
∴正比例函数解析式为y＝﹣x；
（2）存在．
设P（t，0），
∵△AOP的面积为10，
∴•|t|•4＝10，
∴t＝5或t＝﹣5，
∴P点坐标为（5，0）或（﹣5，0）．

1．点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
【答案】D
【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k＝﹣，
故选：D．
2．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，
可得：m＝±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
3．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【答案】D
【解答】解：A、m＞0，n＞0，则A、B两点在同一象限，故A错误；
B、m＞0，n＜0，则A、B两点不在同一个正比例函数，故B错误；
C、m＜0，n＞0，则A、B两点不在同一个正比例函数，故C错误；
D、m＜0，n＜0，则A、B两点在同一个正比例函数的不同象限，故D正确．
故选：D．
4．若正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象必经过点（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，3）
【答案】D
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣3），
所以﹣3＝2k，
解得：k＝﹣，
所以y＝﹣x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y＝﹣x中，等号成立的点就在正比例函数y＝﹣x的图象上，
所以这个图象必经过点（﹣2，3）．
故选：D．
5．若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞
【答案】D
【解答】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，
则k＜0，即1﹣2m＜0，m＞．
故选：D．
6．若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（　　）
A．（﹣3，2） B．（，﹣1） C．（，﹣1） D．（﹣，1）
【答案】C
【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝2k，
解得k＝﹣；
∴正比例函数的解析式是y＝﹣x；
A、∵当x＝﹣3时，y≠2，∴点（﹣3，2）不在该函数图象上；故本选项错误；
B、∵当x＝时，y≠﹣1，∴点（，﹣1）不在该函数图象上；故本选项错误；
C、∵当x＝时，y＝﹣1，∴点（，﹣1）在该函数图象上；故本选项正确；
D、∵当x＝﹣时，y≠1，∴点（﹣，1）不在该函数图象上；故本选项错误．
故选：C．
7．下列关于正比例函数y＝﹣5x的说法中，正确的是（　　）
A．当x＝1时，y＝5
B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y随x的增大而增大
D．它的图象经过第一、三象限
【答案】B
【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣5，错误；
B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；
C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；
D、图象经过二四象限，错误；
故选：B

1．若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a≠2 B．b＝0 C．a＝2且b＝0 D．a≠2且b＝0
【答案】D
【解答】解：∵y＝（a﹣2）x+b是y关于x的正比例函数，
∴b＝0，a﹣2≠0，
解得：b＝0，a≠2．
故选：D．
2．已知函数y＝（1﹣3m）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＜ C．m＞1 D．m＜1
【答案】B
【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣3m）x中，y随x的增大而增大，
∴1﹣3m＞0，解得m＜．
故选：B．
3．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　）

A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3
【答案】B
【解答】解：设函数解析式为y＝kx（k≠0），
∵图象经过（3，﹣3），
∴﹣3＝k×3，
解得k＝﹣1，
∴这个函数的关系式为y＝﹣x，
故选：B．
4．下列函数中，属于正比例函数的是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x+1 C．y＝ D．y＝
【答案】D
【解答】解：A．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．是正比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
5．已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
【答案】B
【解答】解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝﹣6，
∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3．
故选：B．
6．已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故选：B．
7．下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（　　）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【答案】B
【解答】解：A、当x＝3时，y＝9，故本选项错误；
B、∵直线y＝3x是正比例函数，∴它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；
C、∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、∵直线y＝3x是正比例函数，k＝3＞0，∴此函数的图象经过一三象限，故本选项错误．
故选：B．
8．已知正比例函数y＝（k+5）x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5
【答案】D
【解答】解：∵正比例函数y＝（k+5）x中若y随x的增大而减小，
∴k+5＜0．
∴k＜﹣5，
故选：D．
9．已知正比例函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0
【答案】A
【解答】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则m﹣1＜0，即m＜1．
故选：A．
10．如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（　　）

A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m
【答案】A
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，y＝mx的图象在一、三象限，
∴k＞0，m＞0，
∵y＝kx的图象比y＝mx的图象上升得快，
∴k＞m＞0，
∵y＝nx的图象在二、四象限，
∴n＜0，
∴k＞m＞n，
故选：A．
11．对于正比例函数y＝﹣2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：令x＝a，则y＝﹣2a；
令x＝a+1，则y＝﹣2（a+1）＝﹣2a﹣2，
所以y减少2；
故选：D．
12．正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝　3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（1，3），
∴k＝3．
故答案为：3．
13．已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为 　或﹣　．
【答案】或﹣．
【解答】解：当k＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y＝3，
∴2k＝3，解得k＝；
当k＜0时，函数y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y＝3，
∴﹣2k＝3，解得k＝﹣．
∴k的值为或﹣，
故答案为或﹣．
14．已知：y与x成正比例，且当x＝5时，y＝2．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝5时，x的值是多少？
【答案】（1）y＝x；
（2）．
【解答】解：（1）设y＝kx，
把x＝5，y＝2代入得5k＝2，
解得k＝，
∴y与x之间的函数表达式为y＝x；
（2）当y＝5时，5＝x，
解得x＝．
15．已知函数y＝（m﹣1）x是正比例函数．
（1）若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值．
【答案】（1）m＝﹣2；
（2）m＝2．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x是正比例函数，
∴，
解得：m1＝﹣2，m2＝2．
（1）∵函数关系式中y随x的增大而减小，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1，
∴m＝﹣2．
（2）∵函数的图象过第一、三象限，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴m＝2．
16．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴3k＝﹣2解得k＝﹣，
∴正比例函数的解析式是y＝﹣x；

（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），
∴OP＝5，
∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）.