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一、区分万有引力问题中的几组概念

1.两个速度——运行速度和发射速度

(1)发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的速度，且一旦发射后就再也没有能量补充，被发射物仅依靠自身的初速度克服地球引力上升一定高度，进入运行轨道。要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面运行的卫星(即近地卫星)的发射速度最小，其运行速度等于第一宇宙速度。

(2)运行速度是指卫星在进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。根据v＝可知，卫星的运行半径越大，卫星的运行速度(环绕速度)越小。近地卫星可认为v发＝v运，其他高轨道卫星v发＞v运。

(3)人造地球卫星的发射速度与运行速度之间的大小关系：

11.2 km/s＞v发≥7.9 km/s＞v运。

(4)距地面越高的卫星运行速度越小，向距地面越高的轨道发射卫星越困难。向越高的轨道发射卫星时，火箭克服地球对它的引力所做的功越多，因此所需的发射速度越大。

2.两个半径——天体半径和轨道半径

(1)在中学物理中通常把天体看成球体，天体半径就是对应的球体的半径，反映了天体的大小。

(2)轨道半径是指围绕中心天体运行的天体做圆周运动时的圆形轨道的半径。

说明：天体运行的轨道半径总大于中心天体的半径。当天体贴近中心天体表面运动时，可近似认为轨道半径等于中心天体的半径。

3.两个向心加速度——物体随地球自转的向心加速度和卫星绕地球运行的向心加速度

前者a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度；后者a＝，r为卫星与地球中心的距离，M为地球的质量(地面附近a近似等于g)。

4.两种周期——自转周期和公转周期

(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢。

(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体的轨道半径。

5.卫星的两种状态——稳定运行和变轨过程

卫星只有在圆轨道上稳定运行时，万有引力才等于向心力。在变轨的过程中万有引力不等于向心力，做离心运动的过程中万有引力小于向心力，做近心运动的过程中万有引力大于向心力。

[例1] 登上火星是人类的梦想。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比(　　)

A.火星的公转周期较小

B.火星做圆周运动的加速度较小

C.火星表面的重力加速度较大

D.火星的第一宇宙速度较大

解析　火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由＝mr＝ma知，因r火＞r地，而＝，故T火＞T地，选项A错误；向心加速度a＝，则a火＜a地，选项B正确；地球表面的重力加速度g地＝，火星表面的重力加速度g火＝，代入数据比较知g火＜g地，选项C错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v地＝ ，v火＝ ，代入数据比较可知v地＞v火，选项D错误。

答案　B

方法总结　天体(卫星)运动问题的处理方法

(1)一个模型：匀速圆周运动模型。

(2)两条思路

①万有引力提供向心力，即G＝m＝mω2r＝mr＝ma。

②不考虑地球或其他天体自转影响时，物体在地球或其他天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G＝mg，变形得GM＝gR2。

[针对训练1] (多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是某宇宙飞船(周期约90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列有关说法中正确的是(　　)

A.它们运动的向心加速度大小关系是a乙＞a丙＞a甲

B.它们运动的线速度大小关系是v乙＜v丙＜v甲

C.已知甲运动的周期T甲＝24 h，可计算出地球的密度ρ＝

D.已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球的质量M＝

解析　对于乙和丙，由G＝ma＝m可得a＝G，v＝，所以a乙＞a丙，v乙＞v丙，选项B错误；甲和丙的角速度相同，由a＝ω2r可得，a丙＞a甲，故a乙>a丙>a甲，选项A正确；甲是赤道上的一个物体，不是近地卫星，故不能由ρ＝计算地球的密度，选项C错误；由G＝mr乙可得，地球质量M＝，选项D正确。

答案　AD

二、人造卫星的发射、变轨与对接

1.发射问题

要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星以很大的发射初速度，且发射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F向，即G＝m，从而使卫星进入预定轨道。

2.变轨问题

发射过程：如图所示，一般先把卫星发射到较低轨道1上，然后在P点点火，使卫星加速，让卫星做离心运动，进入轨道2，到达Q点时，再使卫星加速，进入预定轨道3。

回收过程：与发射过程相反，当卫星到达Q点时，使卫星减速，卫星由轨道3进入轨道2，当到达P点时，再让卫星减速进入轨道1，再减速到达地面。

3.对接问题

如图所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道。通过控制使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接。

[例2] 我国第五颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星。如图所示，假若第五颗北斗导航卫星先沿椭圆轨道Ⅰ飞行，后在远地点P处由椭圆轨道Ⅰ变轨进入地球同步圆轨道Ⅱ。下列说法正确的是(　　)

A.卫星在轨道Ⅱ运行时的速度大于7.9 km/s

B.卫星在椭圆轨道Ⅰ上的P点处加速进入轨道Ⅱ

C.卫星在轨道Ⅱ运行时不受地球引力作用

D.卫星在轨道Ⅱ运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度小

解析　人造地球卫星的运行速度最大为近地表面绕地球做圆周运动时的速度，即7.9 km/s，因此，在轨道Ⅱ上运行时的速度小于7.9 km/s，选项A错误；卫星在椭圆轨道Ⅰ上的P点时，由于地球对卫星的万有引力大于此时卫星所需的向心力，因此沿着椭圆轨道Ⅰ运动，要使之沿轨道Ⅱ运动，则必须增大卫星的速度，因此，卫星在椭圆轨道Ⅰ上的P点处进入轨道Ⅱ要加速，选项B正确；卫星在轨道Ⅱ运行时仍然受到地球的引力作用，选项C错误；由于轨道Ⅱ是地球同步圆轨道，与地球自转的周期相同，根据a＝ω2r可得，卫星在轨道Ⅱ运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度大，选项D错误。

答案　B

[针对训练2] (多选)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调整后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测。已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星(　　)

A.在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为

B.在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为b

C.在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度

D.从停泊轨道进入到地月转移轨道，卫星必须加速

解析　设地球、月球、卫星的质量分别为M、m、m0，则在停泊轨道：G＝m0，在工作轨道G＝m0，所以＝＝，选项A正确；由T＝知，＝·＝b，选项B正确；由万有引力提供向心力得G＝m0，v＝，当r＝R(R为地球半径)时运行速度为第一宇宙速度，所以停泊轨道的速度小于第一宇宙速度，选项C错误；从停泊轨道进入地月转移轨道，卫星做离心运动，故应加速，选项D正确。

答案　ABD

三、万有引力定律与天体表面的抛体运动的综合应用

万有引力定律常与抛体运动综合命题。在地球上所有只在重力作用下的运动形式：如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，要特别注意在不同的天体上重力加速度一般不同。

[例3] 若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为(　　)

A.R   B.R 

C.2R   D.R

解析　做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h＝gt2，所以x＝v0，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以＝，根据公式G＝mg可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，故C正确。

答案　C

[针对训练3] 火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，地球表面上有一质量为m＝50 kg的宇航员。

(1)宇航员在火星表面上受到的重力是多少？

(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？(不考虑宇航员的身高，在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)

解析　(1)设地球的质量为M，半径为R，火星的质量为M′，半径为R′。在地球表面mg＝G，得g＝G

同理可知，在火星上有g′＝G

即g′＝＝＝g＝ m/s2

宇航员在火星上受到的重力

G′＝mg′＝50× N＝222.2 N。

(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝

在火星表面宇航员跳起的高度h＝

综上可知，h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。

答案　(1)222.2 N　(2)3.375 m