2023年辽宁省辽阳二中协作校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年辽宁省辽阳二中协作校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校为了培养学生爱国主义情怀，举行了主题为“捍卫和平，让历史照亮未来”的演讲比赛，其中九年级的位参赛选手的比赛成绩单位：分分别为：，，，，，则这个数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  二次函数的图象与轴的交点情况是(    )

A. 有个交点 B. 有个交点 C. 无交点 D. 无法确定

7.  我国古代数学经典著作九章算术中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，连接，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式解集为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象得出下列结论：且；；关于的方程的两根分别为和；若点，，均在二次函数图象上，则：，其中正确的结论有个．(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  中国科学技术大学利用“墨子号”科学实验卫星，首次实现在地球上相距公里的两个地面站之间的量子态远程传输，对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步，这个数用科学记数法可表示为______ ．

12.  分解因式：______．

13.  如图，直线，点、分别在直线、上，，若，则的度数为______．

14.  一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球，个黄球从中任意摸出个球是红球的概率为______ ．

15.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是______．

16.  如图，已知点，，以点为位似中心，按：的比例把缩小，则点的对应点的坐标为______ ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则 ______ ．

18.  如图，在边长为的等边中，点，分别是边，上，且，连接，交于点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
年月日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图如图请结合图中信息解答下列问题：
本次共调查了______名学生，并补全条形统计图．
若该校共有名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁名学生中，随机抽取名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．

 

21.  本小题分
为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，种奖品的单价比种奖品的单价多元，用元购买种奖品的件数与用元购买种奖品的件数相同．
求，两种奖品的单价各是多少元；
学校为获奖的名学生购买奖品每人一件种奖品或一件种奖品，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少件种奖品？

22.  本小题分
小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰的长度军舰停放位置平行于岸边主于道，军舰距离岸边主干道的距离是米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道从点处走米到点处，在点处测得军舰头部点位于南偏东，在点处测得军舰尾部点位于南偏东求军舰的长度结果保留位小数，，，

23.  本小题分
超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为元件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的现在超市的销售单价为元，每天可售出件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨元，每天销售量会减少件．设上涨后的销售单价为元，每天售出件．
请写出与之间的函数表达式并写出的取值范围；
设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少元时最大，最大为多少元？

24.  本小题分
如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，．
连接，求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
在中，，，线段绕点逆时针旋转得到线段，点为上任意一点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接．
如图， ______ ；填“”、“”或“”
求证：；
如图，当，时，写出的长直接写结果．

 

26.  本小题分
如图，抛物线与直线交于，两点，抛物线与轴负半轴交于点．
求抛物线的解析式；
在第二象限抛物线上，作轴交于点，作轴，轴，垂足分别是，，当四边形为正方形时，求的长；
为第一象限抛物线上的点，为直线上的点，当与相似时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答求解．
本题考查了相反数的意义，理解相反数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：选项B、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为、、．
故选：．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：．
根据判别式，得出结论．
本题考查抛物线与轴的交点，关键是抛物线与轴交点个数与判别式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：设有人，买此物的钱数为，
由题意得：，
故选：．
设有人，买此物的钱数为，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，由尺规作图可知为的垂直平分线，

，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
为斜边上的中线，
，
故选：．
如图，连接，根据作图可知为的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出，，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
本题主要考查了垂直平分线的作法与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入得，
解得，
则，
由图象可知当时，，
所以关于的不等式解集为．
故选：．
先把代入中求出得到，然后根据图象写出直线在直线的上方所对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴在轴的左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，正确；
抛物线经过，
，正确．
抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
另一个交点为，
关于的一元二次方程的两根分别为和，正确；
，抛物线开口向下，
，错误．
抛物线与轴的一个交点坐标为，
，
，
，
，错误．
故选：．
由抛物线的对称轴的位置以及与轴的交点可判断；由抛物线过点，即可判断；由抛物线的对称性可判断；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断；对称轴可得，由抛物线过点可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
原式提取后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
．
．
故答案为：．
利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一共有个只有颜色不同的球，其中红球有个，
从中任意摸出个球是红球的概率为．
故答案为：．
用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故答案为：．
首先根据圆周角定理可得，然后再根据圆内接四边形对角互补可得答案．
此题主要考查了云内接四边形的性质和圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

16.【答案】或 

【解析】解：以点为位似中心，按：的比例把缩小，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

等腰直角三角形的斜边轴于点，
，
，
，，
是的中点，
，
．
故答案为：．
如图，过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质可得，得点和的坐标，根据中点坐标公式可得点的坐标，从而得结论．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
过作于，
，，
，
，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，过作于，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：；
补全条形统计图，如下，

名，
答：该校名学生中参与“洗衣服”的学生约有名；
从甲、乙、丙、丁四个人中选择个人所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，其中甲、乙同时被抽中的有种，
所以甲、乙同时被抽中的概率为． 

【解析】解：名，名，
故答案为：，补全条形统计图如下：

名，
答：该校名学生中参与“洗衣服”的学生约有名；
从甲、乙、丙、丁四个人中选择个人所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，其中甲、乙同时被抽中的有种，
所以甲、乙同时被抽中的概率为．
从两个统计图中可知，样本中参与“做饭”的有人，占调查人数的，由频率可以求出调查人数，进而求出参与“扫地”的频数，补全条形统计图；
用样本中参与“洗衣服”的所占的百分比估计总体中参与“洗衣服”的百分比，进而求出相应的人数；
用列表法表示从甲、乙、丙、丁四个人中选择个人所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元．
设购买件种奖品，则购买件种奖品，
依题意得：，
解得：．
答：最多可以购买件种奖品． 

【解析】设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买种奖品的件数与用元购买种奖品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买件种奖品，则购买件种奖品，利用总价单价数量，结合购买的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：过作于，过作于，
则四边形是矩形，
米，，
在中，，米，
米，
在中，米，
米，
米，
米，
答：军舰的长度为米． 

【解析】过作于，过作于，根据矩形的性质得到米，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题上涨的单价为元
所以；
根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
该种玩具每件利润不能超过进价的
，
，
当时，最大，
答：当为时最大，最大值是元． 

【解析】根据“每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件”列函数关系式即可；
根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
 

24.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
与相切，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，，，
，
，，
∽，
，
设的半径为，则，
解得，
在中，，，，
，
，
即的长为． 

【解析】根据证≌，得出，即可得出结论；
根据勾股定理求出，证∽，设圆的半径为，根据线段比例关系列方程求出，利用勾股定理求出，最后根据求出即可．
本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，，
，，
又，
，
；
证明：如图过点作，交于，

，
，
又，，
≌，
，，
，，
，
又，，
≌，
，
；
解：如图，过点作，交的延长线于，

由可知：，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
由旋转的性质可得，，由余角的性质可求解；
由“”≌，可得，，由“”可证≌，可得，可得结论；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：将点，代入，
，
解得，
；
设直线的解析式为，
，
，
，
设，，
轴交于点，
，
轴，
，
四边形为正方形，
，
，
解得舍或，
；
令，则，
解得或，
，
，，
，，，
是直角三角形，，
设，，
如图，当，时，
过点作轴交直线于点，交轴于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
；
如图，当，时，
，
点的纵坐标为，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
；
如图，当，时，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
；
如图，当，时，
，轴，
点纵坐标为，
，；
综上所述：点的坐标为或或或 

【解析】将点，代入，即可求解；
设，，由题意求出，，再由，求出的值即可求解；
设，，分四种情况讨论：当，时，过点作轴交直线于点，交轴于点，由，求出点，再由，求出，即可求点坐标；当，时，则，可求出，再由，可得，求出点坐标；当，时，过点作轴交于点，由，求出，再由，求得，求出点坐标；当，时，则，轴，可求，
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．