2022-2023学年四川省达州市万源中学高二（下）入学数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省达州市万源中学高二（下）入学数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在中，“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也又非必要条件

2.  已知则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知等比数列的前项和为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  命题：“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知直线：，：，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某人有年北京亚运会吉祥物“盼盼”，年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  执行如图所示的程序框图，输出的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  已知集合，，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设点是曲线：上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为(    )

A. 最大值，最小值 B. 最大值，最小值
C. 最大值，最小值 D. 最大值，最小值

12.  如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，是底面上一点．若平面，下列说法正确的是(    )

A. 线段长度最大值为，无最小值
B. 线段长度最小值为，无最大值
C. 线段长度最大值为，最小值为
D. 线段长度无最大值，无最小值

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，且，则的最大值为______ ．

14.  若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为______．

15.  已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线的方程是______ ．

16.  过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，求面积的最大值．

18.  本小题分
已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和．

19.  本小题分
命题：，，：，．
若为真命题，求实数的取值范围；
若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．

20.  本小题分
某校从参加考试的学生中抽出名学生，将其成绩均为整数分成六组，，后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：

求成绩落在上的频率，并补全这个频率分布直方图；
估计这次考试的及格率分及以上为及格和平均分；
按分层抽样从成绩在，两个分数段的学生中选出人，再从这人中选人参加培训，求选出的人在同一分数段的概率．

21.  本小题分
如图，在长方体中，，，为棱的中点．
证明：平面；
求二面角的大小．

22.  本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．
若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
设的斜率为，，求双曲线的方程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，
所以““是““的充要条件．
故选：．
根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
由诱导公式化简后即可求值．
本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据向量的运算的几何表示结合条件即得．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，为等比数列，
则，
，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，命题：“，”是特称命题，
其否定是，，
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意命题的否定方法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

连接 交于，设与平面所成角为，
，与平面所成角为，
由已知可得，，为的中点，则，
由长方体的结构特征可得，又，
平面，则平面平面，则在平面上的射影在上，
，即，
，，
．
即与平面所成角的正弦值为．
故选：．
由题意画出图形，把问题转化为与平面所成角，再求解三角形得答案．
本题考查空间中直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为直线：，：，，
所以，解得．
故选：．
根据直线垂直的性质，建立关于的方程求出的值．
本题考查了直线垂直的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有个，
故所求概率为 ．
故选：．
根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，本程序框图为求的和
循环体为“直到型“循环结构
第次循环：    
第次循环：    
第次循环：   
第次循环：  
规律为第次循环时，   
第次循环：，
此时，不满足条件，跳出循环，输出．
故选C．
首先分析程序框图，循环体为“直到型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的．
本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果．属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出集合，是解决本题的关键，属于基础题．
求出不等式对应的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：，
或，
“”是“”的充分非必要条件，则，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意知点到原点距离为，
由于点是曲线：上任意一点，可得，
当且仅当时取等号，即曲线上的点，到原点距离最小，最小值为；
又因为，，，所以，，
当且仅当时取等号，
故，即，当且仅当时取等号，
即点到原点距离的最大值为，
故选：．
由题设明确点到原点距离为，结合曲线方程：，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案．
本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：分别取，的中点，，

，平面，平面，
平面，同理可得平面，
，，平面，
点的轨迹为线段，
正方体的棱长为，，，
当与点或重合时，，
当为线段的中点时，，
线段长度最大值为，最小值为．
故选：．
分别取，的中点，，根据面面平的判定定理可得平面平面，故点的轨迹为线段，当与点或重合时，线段最长，当为线段的中点时，线段长度最小，求解即可．
本题考查线段长的最值问题，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，且，
由基本不等式可得，
当且仅当且，即时等号成立，
即，
所以．
故答案为：．
由已知结合基本不等式及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：对于双曲线，其渐近线方程为，
对于圆，有，
圆心为，半径，
渐近线被圆截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为，
由点到直线距离公式得：，，，
，．
故答案为：．
根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出与的关系即可．
本题考查双曲线的方程和性质，考查圆的方程的运用，考查离心率的求法，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知可知双曲线的焦点为，
设抛物线方程为，则，
所以，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
设抛物线方程为，求出双曲线的焦点，即抛物线的焦点，从而可得出答案．
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，代入双曲线可得：，两式相减可得：，而由题意可得，，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即，代入双曲线的方程可得：，
因为直线与双曲线由两个交点，所以，且，
即，解得：，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
设，的坐标代入双曲线的方程，由点差法求出直线的斜率，进而由中点坐标球心直线的方程，与双曲线联立，再由直线与双曲线由两个交点可得判别式大于零，及双曲线的方程中的范围，求出的取值范围．
考查双曲线的性质，及点差法求中点弦所在的直线方程，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
由正弦定理角化边得，即，
由余弦定理得，
又，；
由得，
，则，当且仅当时等号成立，
面积，
故面积的最大值为． 

【解析】利用正弦定理化角为边和余弦定理，可得，即可得出答案；
由得，利用基本不等式得，利用三角形的面积公式，即可得出答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设的公差为，的公比为，，，
联立，整理可得，解得，
所以，．
解：由知，
则，，
，，
，得．
所以． 

【解析】直接利用题中的已知条件，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；
由的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
 

19.【答案】解：因为：，为真命题，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
综上所述，；
若：，为真，
当时，，，
设，则在上单调递增，
所以，
所以，即，
因为为真命题，且为假命题，
所以真假或假真，
当真假时，有，解得；
当假真时，有，解得；
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】分和两种情况讨论即可；
由题先求出为真时的取值范围，然后分真假或假真两种情况，分别解出即可．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意，，
所以成绩落在上的频率为，在频率分布直方图中高为，补齐如图：

由频率分布直方图中数据知及格率为：，
平均分：；
成绩是分组有人，成绩在分组有人，
按分层抽样组抽人记为，，，，，，组抽人记为，，，，，
从这人中抽人有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种选法，
两人来自同一组有有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种选法，
所以两人来自同一组的概率为． 

【解析】利用频率和为计算得到答案，在频率分布直方图中高为频率除以组距，补齐即可；
直接根据频率分布直方图数据计算求解，把每一组的组中值乘以面积相加即可得到平均分；
按分层抽样确定两个分数段人数，列出所有情况，统计满足条件的的种数，计算得到答案．
本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：因为是长方体，
所以侧面，而平面，所以，
在中，，，，
所以，所以，
又，，平面，
因此平面；
如图，以点为坐标原点，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，所以，取，则，
所以，
设是平面的法向量，
则，所以，取，则，
所以，
所以，
因为二面角大于，
所以二面角的大小． 

【解析】本题考查线面垂直的判定，以及利用空间向量研究二面角的大小，考查空间想象能力，属于中档题．
根据线面垂直的性质及判断定理，即可证明平面；
建立空间直角坐标系，求出坐标，写出向量，求得平面的法向量，求得法向量的夹角，即可求得二面角的大小．
 

22.【答案】解：由题意可得：，，
解得，，，
双曲线的焦点坐标为；
，，双曲线的方程为，．
设直线的方程为，，，
把代入双曲线的方程可得：，
则，，
，
，
，
，
，
化为：，解得．
由，
可得，，．
直线的方程为，，，
把直线的方程代入双曲线方程可得：，
，，，
，，，
化为，
，
化为，，
，，
，，
，
解得，，
双曲线的方程为． 

【解析】由题意可得：，，解得，，，即可得出双曲线的焦点坐标；
，，可得双曲线的方程为，设直线的方程为，，，把代入双曲线的方程可得关于的一元二次方程，由，可得，利用根与系数的关系即可得出结论．
由，可得，，直线的方程为，，，把直线的方程代入双曲线方程可得：，利用根与系数的关系即可得出．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、方程的解法、向量数量积性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．