2024届新高三数学开学摸底试卷二（新高考专用）（Word版附解析）

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2024届新高三开学摸底试卷二（新高考专用）
数学
(时间：120分钟　满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x0}
B．{x|0c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则(　　)
A．ab的最大值为8 B．2a＋b的最小值为8
C．a＋b的最小值为6－3 D.＋的最小值为
10．(2023·青岛模拟)已知圆C：x2＋2＝1上两点A，B满足|AB|≥，点M(x0,0)满足|MA|＝|MB|，则下列结论中正确的是(　　)
A．当|AB|＝时，x0＝
B．当x0＝0时，过点M的圆C的最短弦长是2
C．线段AB的中点纵坐标的最小值是
D．过点M作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是∪
11.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球球心为O，E，F分别是棱AB，CC1的中点，点G在棱BC上移动(含端点)，则(　　)

A．对于任意点G，OA∥平面EFG
B．存在点G，使得OD⊥平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为
12．(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款的成本为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20%的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记X为检验结束时所进行的检验次数，则(　　)
A．P(X＝4)＝0.102 4
B．E(X)18
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知sin＝，则cos＝________.
14．已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．
15．在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.

四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知数列{an}，Sn是an的前n项和，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}是等差数列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn＝(－1)n，求{cn}的前n项和Dn.








18．(12分)在①b(1＋cos A)＝asin B；②bcos ＝asin B；③asin C＝ccos这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．
(1)求A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．








19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：
投入x(千万元)
5
7
8
10
11
13
收益y(千万元)
11
15
16
22
25
31
(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？(精确到0.01)
(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市．求：
①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；
②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)
参考数据及公式：iyi＝1 186，＝＝，＝－.





20．(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PB＝BD＝PD＝4，PA＝4.

(1)证明：PC⊥平面ABCD；
(2)如图，取BC的中点E，在线段DE上取一点F使得＝，求平面PAF与平面PAC夹角的大小．









21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．






22．(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2－2.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

答案及解析
1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x0}
B．{x|0b D．b>a>c
答案　D
解析　构造函数f(x)＝，x>e，则f′(x)＝f(13)，即>，则a＝log1213＝
＝＝>0，则a>c，因此b>a>c.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则(　　)
A．ab的最大值为8
B．2a＋b的最小值为8
C．a＋b的最小值为6－3
D.＋的最小值为
答案　ABC
解析　因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，
解不等式得－4≤≤2，即018，则定价a>18才能保证获利，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知sin＝，则cos＝________.
答案　
解析　cos＝1－2sin2＝1－2×＝.
14．已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．
答案　
解析　当点P到直线2x－y－3＝0的距离最小时，曲线y＝ex＋x在点P处的切线与直线2x－y－3＝0平行，对函数y＝ex＋x求导得y′＝ex＋1，令y′＝2，可得x＝0，则y＝e0＋0＝1，此时，点P的坐标为(0,1)，因此，点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为＝.
15．在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
答案　6
解析　∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(Cx4－Cx3y＋Cx2y2－Cxy3＋Cy4)，
∴展开式中含x2y3的项为y·Cx2y2＝Cx2y3＝6x2y3，
故它的展开式中x2y3的系数为6.
16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.
答案　5
解析　如图，为y＝10x和y＝2x的图象，设两个交点为A，B，

因为a1＝10－2＝8>0，所以0