（4）导数及其应用——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）暑假作业

（4）导数及其应用

——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）暑假作业

1.已知函数的图象如图所示，则函数在下列区间上的平均变化率最大的是(   )

A. B. C. D.

2.下列函数求导运算正确的个数为(   )

①；

②；

③；

④.

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知点，在函数的图象上，若函数在区间上的平均变化率为，则下列叙述中正确的是(   )

A.直线AB的倾斜角是 B.直线AB的倾斜角是

C.直线AB的斜率是 D.直线AB的斜率是

4.曲线在点处的切线斜率等于(   )

A.3 B.4 C. D.

5.函数在处的导数为-2，则曲线在点处的切线方程为(   )

A.

B.

C.

D.

6.已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7.如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是(   )

A.是函数的极小值点

B.当或时，函数的值为0

C.函数在上是增函数

D.函数在上是增函数

8.若函数在区间上不单调，则在R上的极小值为(   )

A. B. C.0 D.

9.已知函数若函数有三个零点，则(   ).

A. B. C. D.

10.如图，将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得柱体积最大时，AB的长为(   )

A. B. C. D.1

11.（多选）已知函数，则(   ).

A.的极大值为-1

B.的极大值为

C.曲线在点处的切线方程为

D.曲线在点处的切线方程为

12.（多选）已知函数，则(   )

A.在上单调递增

B.有两个零点

C.曲线在点处切线的斜率为

D.是偶函数

13.（多选）已知，则下列结论中正确的是(   )

A. B. C. D.

14.（多选）已知函数，则(   )

A.当时，恒成立

B.当时，是的极值点

C.若有两个不同的零点，则a的取值范围是

D.当时，只有一个零点

15.已知函数，则_______________.

16.已知函数，过点作曲线的切线l，则l的方程为________.

17.函数有两个零点，且极大值小于1，则实数a的取值范围是________.

18.已知函数若关于x的方程恰有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是______________.

19.已知函数，.

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围.

20.已知函数.

(1)若函数在上恒成立，求a的取值范围；

(2)若是函数的两个零点，证明：.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由函数图象，可得函数在区间上的平均变化率小于0，在区间，，上的平均变化率均大于0.因为函数在区间上的图象比区间，上的图象都更加陡峭，所以函数在区间上的平均变化率最大.

2.答案：A

解析：①，故错误；

②，故正确；

③，故错误；

④，故错误.

故选A.

3.答案：B

解析：函数在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率，则，所以直线AB的倾斜角是.

4.答案：A

解析：，当时，，即切线斜率等于3.

5.答案：C

解析：因为，所以，解得，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选C.

6.答案：A

解析：由题意，得在区间上恒成立，则，所以.

7.答案：D

解析：由函数的导函数图象可知，当，时，，则原函数为减函数；当时，，则原函数为增函数，故D正确，C错误；不是函数的极值点，故A错误；当或时，导函数的值为0，函数的值未知，故B错误.

8.答案：A

解析：由题意得，因为在区间上不单调，所以，由，得或；由，得，所以的极小值为.故选A.

9.答案：C

解析：由题意可得，的图象与直线有三个交点，

当时，，则，

在上，单调递增，在上，单调递减，

当时，有最大值，最大值为，且在上，，在上，，当时，，函数单调递增，

的图象如图所示.

由图知，要使函数有三个零点，则.故选C.

10.答案：B

解析：设，则，所以，，则，由，得，解得；由，得，解得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当，即，时，取得最大值.

11.答案：BD

解析：因为，所以，所以当或时，，当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；

因为，，所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确.故选BD.

12.答案：AC

解析：由知函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，D错误；，当时，恒成立，所以在上单调递增，故A正确；当时，，，当时，单调递增，且，所以只有一个零点0，故B错误；由知C正确，故选AC.

13.答案：BD

解析：因为，所以，故A错误，B正确；，故C错误，D正确.故选BD.

14.答案：BD

解析：当时，，易知，所以选项A错误；

当时，，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极值点，选项B正确；函数有两个不同的零点，即关于x的方程有两个不相等的实数根，易知，所以，即直线与函数的图象有两个不同的交点，

，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，又，，，，所以，选项C错误；当时，结合选项C可知，此时函数只有一个零点，选项D正确.故选BD.

15.答案：

解析：，故.

16.答案：

解析：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线l的斜率，

整理得，，则，所以l的方程为，即.

17.答案：

解析：由题知的定义域为，则，

当时，，则在上单调递增，函数不可能有两个零点；

当时，令，得；

令，得，则在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值，极大值为.

又当时，；当时，，且有两个零点，

，解得.

的极大值小于1，，解得.

综上，实数a的取值范围是.

18.答案：

解析：设，则是定义域为的偶函数，

当时，，

令得.

记，

则，易知，

故函数在上递增，又，所以当时，；当时，，

所以在上递减，在上递增，，

当时，，当时，，

因此函数的大致图像为

其与直线有四个不同的交点，

因此实数a的取值范围是.
19.（1）答案：是的极大值点，无极小值点

解析：由已知可得，函数的定义域为，且，

当时，；当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以是的极大值点，无极小值点.

（2）答案：当时，恒成立

解析：设，，

则，

令，，

则对任意恒成立，

所以在上单调递减.

又，，

所以，使得，即，则，

即.

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减，

故，解得，

所以当时，恒成立.

20.答案：(1)取值范围是.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)定义域为，

，即在上恒成立.

令，则.

当时，；

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

.

若函数在上恒成立，

则，

a的取值范围是.

(2)证明，.

是的两个零点，

故，

两式相减得.

要证，

只需证，即证，

即证，

证，即成立，

即证成立.

不妨设，则，

故只需证.

令，设.

，

在上单调递增，则，

故，即成立，

不等式成立.